besov

§ 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 131

ряда (6) можно представить в виде

Z π

˜ − ˜ − −

Sn(x; f) = Dn(t)[f(x + t) f(x t)] dt =

0

Лемма 3. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема, ak, bk — ее коэффициенты Фурье.

Тогда при некотором C > 0 и n > 2

щью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем

|f(x + t) − f(x − t)| 6 2M1t, 0 < t 6 π,

откуда следует, в частности, что f˜(x) существует для каждого x (как интеграл от непрерывной на (0, π] и ограниченной функции). Оценим

132 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

Так же, как при доказательстве теоремы 24.1.2, получаем

что равносильно (7).

В теореме 15.4.2 (признак Дирихле сходимости числового

∞

P

ряда) установлена сходимость ряда akbk и оценка его

k=1

суммы

Теорема 2. Пусть при m N 2π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно непрерывную производную f(m).

Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и

Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоремой 24.2.2. Пусть ϕ B f(m−1) и αk, βk — коэффициенты Фурье функции ϕ. По теореме 24.2.2

чала m − 1 — четно. Тогда в силу m − 1 раз примененной

§ 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 133

и теорема доказана.

Теорема 2 показывает, что чем больше производных имеет функция f, тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье.

З а м е ч а н и е 2. Лемму 2 и теорему 2 можно переформулировать для функции f, заданной лишь на отрезке [−π, π], добавив условия в концах отрезка, гарантирующие выполнение для ее 2π-периодического продолжения условий соответственно леммы 2 и теоремы 2. Именно, следует для функции f: [−π, π] → R считать выполненными следующие дополнительные условия на односторонние производные:

f(j)(−π) = f(j)(π) при j = 0, 1, . . . , m − 1.

При соответствующей переформулировке теоремы 24.2.2 и теоремы 1 для функции f: [−π, π] → R следует считать выполненным равенство f(−π) = f(π).

Наряду с теоремой 2 установим и другую теорему 20, хотя и менее сильную, но также указывающую на связь между дифференциальными свойствами 2π-периодической функции и скоростью сходимости ее ряда Фурье.

Доказательство теоремы 20 в отличие от доказательства теоремы 2 опирается не на анализ сходимости сопряженного с рядом Фурье ряда, а на неравенство Бесселя (1).

Читатель может по своему усмотрению ограничиться изучением одной из этих двух теорем.

Теорема 20. Пусть при m N 2π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно непрерывную производную f(m).

Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на

R и

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функции f ее ряда Фурье установлена в теореме 24.2.2. Оценим остаток ее ряда Фурье.

где αk, βk — коэффициенты Фурье функции f(m), а последнее неравенство получено m-кратным применением теоремы 1. В силу неравенства Коши–Шварца (10.1.2)

136 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

Кроме того, ее производная F 0(t) = f(t) − a20 кусочно не-

прерывна на [−π, π]. В силу теоремы 2 и замечания к ней ряд Фурье функции F сходится к ней равномерно на [−π, π]:

§ 24.5. Ряды Фурье 2l-периодических функций. Комплексная форма рядов Фурье

Пусть l > 0 и f — 2l-периодическая функция, абсолютно

мая на отрезке [−π, π]. Построив для fl ряд Фурье и произведя

где

который называется тригонометрическим рядом Фурье функции f периода 2l.

Подобным же образом переносится и вся теория тригонометрических рядов Фурье на случай 2l-периодических функций.

Вместо такого способа перенесения теории на случай 2lпериодических функций можно было бы с самого начала рассмотреть ортогональную на [−l, l] систему тригонометриче-

и на ее основе построить теорию тригонометрических рядов Фурье, повторяющую все полученные при l = π результаты и выкладки.

Оба указанных подхода приводят к одним и тем же результатам.

Для рядов Фурье существует комплексная форма записи.

Пусть

Заменим в членах этого ряда cos kx, sin kx, воспользовавшись формулами Эйлера:

138 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

начали строить такую же теорию рядов Фурье, как для тригонометрической системы.

Глава 25 МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§ 25.1. Метрические и нормированные пространства

Определение 1. Множество R называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x, y поставлено в соответствие действительное неотрицательное число ρ(x, y) > 0, называемое расстоянием между элементами x и y и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):

1.◦ ρ(x, y) > 0, ρ(x, y) = 0 x = y;

2.◦ ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии);

3.◦ ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) (неравенство треугольника). Элементы метрического пространства называют также

точками.

Примером метрического пространства является n-мерное евклидово пространство Rn элементов x = (x1, . . . , xn), xi R

t

Другим примером является множество C([a, b]) непрерывных на отрезке [a, b] функций с расстоянием

ρ(f, g) = max |f(t) − g(t)|.

a6t6b

С помощью понятия расстояния можно ввести понятия сходящейся последовательности точек метрического пространства, фундаментальной последовательности, полноты метрического пространства, ε-окрестности точки, открытого и замкнутого множества, замыкания множества и другие. Мы познакомимся с этими понятиями на примере линейных нормированных пространств, входящих в класс метрических про-

140 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

странств. Перенос этих понятий и свойств на случай произвольного метрического пространства не составляет труда.

λx R, удовлетворяющие следующим аксиомам: 1.◦ x + y = y + x x, y R;

2.◦ (x + y) + z = x + (y + z) x, y, z R;

◦ в существует такой элемент ~ что ~

3. R 0, x + 0 = ~x x R; 4.◦ для каждого x R существует противоположный эле-

− − ~

мент, обозначаемый через x такой, что x + ( x) = 0

x R;

5.◦ (λ + µ)x = λx + µx x R, λ, µ R; 6.◦ λ(x + y) = λx + λx x, y R, λ R;

7.◦ (λµ)x = λ(µx) x R, λ, µ R (C);

8.◦ 1x = x x R.

Вычитанием называется операция, обратная сложению. Под разностью x − y понимают x − y B x + (−y).

Если в этом определении множество R вещественных чисел заменить на множество C комплексных чисел (λ, µ C), то по-

лучим определение комплексного линейного (векторного) пространства.

Определение 3. Если в линейном пространстве можно найти n линейно независимых элементов, а любые n + 1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что линейное пространство имеет размерность n.

Если же в линейном пространстве можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что линейное пространство бесконечно-

мерно.

Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любое конечное число ее элементов линейно независимо.