besov

Далее через R обозначаем предгильбертово пространство,

через kxk = p(x, x) — норму его элемента x, через {ej}∞j=1 — ортогональную последовательность в нем. Напомним, что по

определению kejk > 0 j N.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу леммы скалярное произведение суммы сходящегося в R ряда можно производить почленно. Используя свойство ортогональности, имеем

∞

X

(x, es) = αk(ek, es) = αs(es, es),

k=1

откуда и следует (2).

Определение 2. Пусть x R, {ek}∞k=1 — ортогональная

последовательность в R. Тогда αk = (x, ek2) называются коэф- kekk

∞

фициентами Фурье элемента x по системе {ek}∞k=1, ряд P αkek

k=1

— рядом Фурье элемента x по системе {ek}∞k=1, Sn = Sn(x) =

n

= P αkek — n-й суммой Фурье элемента x по системе {ek}∞k=1.

k=1

162 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

Таким образом, каждому элементу x R ставится в соответствие его ряд Фурье:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя (5), имеем

kxk2 = k(x − Sn) + Snk2 = ((x − Sn) + Sn, (x − Sn) + Sn) =

= kx − Sn(x)k2 + kSn(x)k2.

Теорема 2 (минимальное свойство коэффициентов

леммы 2 и (4)

kx − Tnk2 = k(x − Tn) − Sn(x − Tn)k2 + kSn(x − Tn)k2 =

= kx − Sn(x)k2 + kSn(x) − Tnk2 > kx − Sn(x)k2.

Следствие 1.

kx − Sn(x)k 6 kx − Sm(x)k при n > m.

Теорема 3 (неравенство Бесселя). Пусть x R, αk —

его коэффициенты Фурье по ортогональной системе {ek}∞k=1.

Тогда справедливо неравенство Бесселя:

зать, что 2◦ 3◦ с помощью почленного скалярного умножения ряда из 2◦ на x.

Теорема 4. Пусть {ek}∞k=1 — ортогональная последовательность в R. Тогда для каждого элемента x R следующие утверждения эквивалентны (αk — коэффициент Фурье элемента x):

164 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что 1◦ 2◦. В силу минимальности свойств коэффициентов Фурье 1◦ эквивалентно тому, что

ε > 0 nε N : kx − Snε (x)k < ε,

азначит, в силу следствия 1 — тому, что

kx − Sn(x)k < ε при n > nε.

Последнее эквивалентно 2◦.

Эквивалентность 2◦ 3◦ становится очевидной, если переписать (6) в виде

n

X

kxk2 = kx − Sn(x)k2 + αk2kekk2.

k=1

З а м е ч а н и е 1. Равенство Парсеваля (8) является бесконечномерным аналогом теоремы Пифагора.

Определение 3. Система {xk}∞k=1 элементов предгильбертова (или линейного нормированного) пространства R называется полной в R, если множество (конечных) линейных комбинаций ее элементов плотно в R.

Теорема 5 (критерий полноты ортогональной после-

довательности). Пусть {ek}∞k=1 — ортогональная последовательность в R. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

(αk — коэффициенты Фурье элемента x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно воспользоваться теоремой 4 для каждого x R.

Теорема 6 (Рисса–Фишера). Пусть {ek}∞k=1 — ортого-

нальная система в гильбертовом пространстве H, и пусть действительные числа α1, α2, α3, . . . таковы, что ряд

∞

X

k=1

∞

P

сходится. Тогда ряд αkek сходится в H к некоторому эле-

k=1

менту x H:

∞

X

αkek = x.

k=1

До к а з а т е л ь с т в о. В силу сходимости ряда (9) ε > 0

nε N такое, что

XX

k=n+1 k=n+1

см. теорему 16.1.2 (критерий Коши сходимости числового

Лемма 3. Пусть {ek}∞k=1 — ортогональная система в гильбертовом пространстве H. Тогда для x H сходится (в H) его ряд Фурье по этой системе:

∞∞

причем (x − x0, ej) = 0 j N.

Отсюда следует в силу замкнутости системы, что x − x0 =

в силу теоремы 24.3.3 Вейерштрасса о приближении непрерывной функции алгебраическими многочленами.

в силу теоремы 24.3.1 Вейерштрасса о приближении непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами.

Пример 6. Тригонометрическая система (10) полна в пространстве функций:

C ([−π, π]) = {f : f — непрерывна на [−π, π], f(−π) = f(π)}

в силу теоремы 24.3.10 Вейерштрасса.

Пример 7. Тригонометрическая система (10) не является полной в пространстве C([−π, π]). Например, никакую непрерывную на [−π, π] функцию f при f(−π) 6= f(π) нельзя с высокой точностью приблизить никаким тригонометрическим многочленом, т. к. для всякого тригонометрического многочлена Tn выполнено условие Tn(−π) = Tn(π).

Пример 8. Последовательность одночленов {xk}∞k=0 полна в пространствах CL1([a, b]), CL2([a, b]), RL1([a, b]), RL2([a, b]),

L1([a, b]), L2([a, b]) в силу примера 4 и плотности множества

RL1((−π, π)), RL2((−π, π)), L1([−π, π]), L2([−π, π]) в силу при-

мера 6 и плотности в указанных пространствах множества

C0([−π, π]) = {f : f — непрерывна на [−π, π],

f(−π) = f(π) = 0}.

Упражнение 2. Показать, что система (10) не полна в

RL1((−π, π + δ)) при δ > 0.

Пример 10. Пусть f L2([−π, π]). Тогда f раскладывается в тригонометрический ряд Фурье:

(сходящийся к f по норме в L2([−π, π]), т. е. в смысле среднего квадратичного), и справедливо равенство Парсеваля

Здесь ak, bk — коэффициенты Фурье по тригонометрической системе, вычисляемые по формулам (24.1.2).

Утверждение вытекает из полноты системы (10) в L2([−π, π]) (см. пример 9) и теоремы 5.

В частности, сформулированные свойства верны для произвольной непрерывной или кусочно непрерывной на [−π, π]

(сходящийся по норме в L2([−1, 1]), т. е. в смысле среднего квадратичного), и справедливо равенство Парсеваля.

Сказанное верно, в частности, для произвольной непрерывной или кусочно непрерывной на отрезке [−1, 1] функции f.

Обоснование то же, что в примере 10.

Определение 5. Пусть R — нормированное пространство. Последовательность {ej}∞j=1, ej R j N, называется

базисом в R, если

1.◦ для x R справедливо представление

∞

X

x = λjej, λj R;

j=1

2.◦ указанное представление единственно.

Упражнение 3. Показать, что система {ej}∞j=1 элементов базиса линейно независима.

Базис является, очевидно, полной системой в R. Обратное не верно. Например, система одночленов {xk}∞k=0, являясь пол-

ной в C([−1, 1]) (см. пример 4), не является в этом простран-

∞

стве базисом. В самом деле, если f(x) = P λkxk, причем ряд

k=0

сходится в C([−1, 1]), т. е. равномерно на [−1, 1], то его сумма f является бесконечно дифференцируемой на (−1, 1), но не произвольной функцией из C([−1, 1]).

Известно, что тригонометрическая система (10) не является базисом в C ([−π, π]), являясь в этом пространстве полной системой (пример 6).

Теорема 8. Пусть {ek}∞k=1 — ортогональная система в предгильбертовом пространстве R. Если {ek}∞k=1 — полная система, то она является базисом в R.

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть {ek}∞k=1 — полная система

впредгильбертовом пространстве R и x R. Тогда в силу

теоремы 5

т. е. x совпадает с суммой своего ряда Фурье. Такое представление единственно по теореме 1. Следовательно, {ek}∞k=1 — базис в R.

170 Глава 25. Метрические, нормированные и гильбертовы пр-ва

Теорема 9 (об ортогонализации). Пусть {xk}∞k=1 —

линейно независимая система элементов в предгильбертовом пространстве R. Тогда в R существует система элементов {ek}∞k=1, удовлетворяющая следующим условиям:

1.◦ система {ek}∞k=1 ортогональная и нормированная, 2.◦ при каждом n N

en = an1x1 + . . . + annxn, ann 6= 0.

Каждый элемент системы {ek}∞k=1 определяется условиями 1◦, 2◦ однозначно с точностью до множителя ±1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Элемент e1 ищется в виде e1 =

Пусть элементы ek ( k 6 n − 1), удовлетворяющие условиям 1◦, 2◦, уже построены.

Ищем элемент en в виде

en = ann(xn − bn1e1 − . . . − bn,n−1en−1).

Здесь виден геометрический смысл выражения

xn − bn,1e1 − . . . − bn,n−1en−1,

состоящий в том, что из элемента xn вычитается его проекция на подпространство, натянутое на элементы e1, . . . , en−1.

Из требований ортогональности (en, ek) = 0 при k < n получаем, что

bnk = (xn, ek) (k = 1, . . . , n − 1).

Из требования нормированности получаем, что

(en, en) = a2nnkxn − bn1e1 − . . . − bn,n−1en−1k2 = 1,

откуда ann (а значит, и en) определяется с точностью до множителя ±1.

Переход от системы {xk}∞k=1 к системе {ek}∞k=1, удовлетворяющей условиям 1◦, 2◦, называется процессом ортогонализа-

ции. Ясно, что системы {xk}∞k=1 и {ek}∞k=1 полны или не полны в R одновременно.