besov

Глава 26 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ

ОТ ПАРАМЕТРА

§ 26.1. Интегралы Римана, зависящие от параметра

Интегралы Римана вида

называются интегралами, зависящими от параметра. Здесь будут изучены такие их свойства, как непрерывность, интегрирование и дифференцирование по параметру y.

Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на [a, b] × [c, d]. Тогда интеграл I(y) = Rab f(x, y) dx непрерывен на [c, d].

где ω(Δ, f) — модуль непрерывности функции f. В силу непрерывности, а значит, и равномерной непрерывности функции f на [a, b] × [c, d] ω(δ, f) → 0 при δ → 0, откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема 2. Пусть функции ϕ, ψ непрерывны на [c, d],

= R ψ(y) f(x, y) dx непрерывен на [c, d].

ϕ(y)

172 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

теореме о непрерывности композиции непрерывных функций. По теореме 1 интеграл J(y) непрерывен на [c, d].

Теорема 3 (об интегрировании под знаком интеграла). Пусть

Z d Z b Z b Z d

f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx.

c a a c

Эта теорема вытекает из теорем 19.3.1, 19.3.10. Последняя формула справедлива, в частности, если функ-

ция f непрерывна на [a, b] × [c, d].

Теорема 4 (правило Лейбница). Пусть f и ∂f∂y непре-

рывны на [a, b] × [c, d]. Тогда функция

Z b

Тогда, используя формулу конечных приращений Лагранжа, имеем

рывности ∂f∂y на [a, b] × [c, d]

[a, b] × [c, d], ϕ, ψ — непрерывно дифференцируемы на [c, d], a 6 ϕ(y) 6 ψ(y) 6 b при y [c, d].

Тогда на отрезке [c, d] существует производная

Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим на [c, d] × [a, b] × [a, b] функцию

Z v

F (y, u, v) B f(x, y) dx.

u

Тогда

J(y) = F (y, ϕ(y), ψ(y)).

Формула (1) получается, очевидно, при дифференцировании последнего равенства в соответствии с правилами дифференцирования интеграла с переменным верхним (нижним) пределом и дифференцирования сложной функции. Для об-

174 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

основания последнего достаточно убедиться в непрерывности

Производные Fu0 , Fv0 непрерывны в силу непрерывности функции f.

Производная Fy0, вычисленная по правилу Лейбница (теорема 4), с помощью замены переменной в интеграле записывается в виде

По теореме о непрерывности композиции непрерывных функций подынтегральная функция h непрерывна на [c, d] ×

нее свойство можно установить с помощью непосредственной оценки:

где ω(δ, h) — модуль непрерывности функции h, (Δy)2+(Δu)2+ + (Δv)2 6 δ2.

§ 26.2. Равномерная сходимость на множестве

Определение 1. Пусть X R, Y R, y0 — предельная точка множества Y (не исключается y0 = +∞, −∞, ∞).

Пусть заданы функции f: X ×Y → R, ϕ: X → R. Говорят,

что функция f равномерно на X стремится к ϕ при Y 3 y →

→ y0, и пишут

Можно сформулировать определение равномерного стремления f к ϕ, эквивалентное определению 1, если вместо условия (1) написать:

| − | ∩ ˚

ε > 0 U(y0) : f(x, y) ϕ(y) < ε y Y U(y0).

В последней формулировке вместо U(y0) можно написать

Uδ(y0), где δ = δ(ε) > 0.

Пример 1. Пусть функция f непрерывна на [a, b] × [c, d], y0 [c, d]. Тогда

f(x, y) f(x, y0).

Всамом деле, из равномерной непрерывности функции f на [a, b] × [c, d] следует, что для

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : |f(x, y) − f(x, y0)| < ε при |y − y0| < δ.

Вслучае Y = N, y0 = +∞ значения функции f на X × × Y можно записать как fn(x) B f(x, n). Тогда понятие рав-

fn(x) ϕ(x) — со сходимостью этой последовательности по норме:

kfn − ϕkM → 0 при Y 3 y → y0.

176 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

Если же X = [a, b], и f(x, y) непрерывна на [a, b] как функция x при каждом y Y , то вместо M([a, b]) можно взять

C([a, b]).

Так же, как для случая равномерной сходимости последовательности функций, доказываются следующие три теоремы.

Теорема 1 (критерий Коши). Для того чтобы заданная на X × Y R × R функция f равномерно на X стремилась к какой-либо функции при Y 3 y → y0, необходимо и достаточно выполнения условия Коши

ε > 0 δ = δε > 0 : sup |f(x, y0) − f(x, y00)| < ε

x X

0 00 ∩ ˚

y , y Y Uδ(y0).

Теорема 2. Пусть заданная на X × Y R × R функция f при каждом фиксированном y Y непрерывна как функция от x в точке x0 X (по X)

Тогда ϕ непрерывна в точке x0 (по X).

Теорему 3 называют теоремой о предельном переходе под знаком интеграла, поскольку она утверждает, что

Упражнение 1. Получить в качестве следствия из теоремы 3 теорему 26.1.1.

Упражнение 2. Сравнить теоремы 1, 2, 3 соответственно с теоремами 16.1.1, 16.3.1, 16.3.2.

§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 177

Упражнение 3. Сформулировать и доказать аналог тео-

ремы 16.3.3.

§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Будем рассматривать несобственные интегралы

ном случае несобственный интеграл I(y) называется расходя-

щимся.

Определение 1. Говорят, что несобственный интеграл

178 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

однако быстрота этого стремления к нулю может существенно зависеть от y. Условие же 2◦ показывает, что стремление к нулю интеграла в (3) «в равной мере быстрое» на множестве точек из Y (точнее говоря, имеется стремящаяся к нулю миноранта скорости этого стремления).

Пример 1.

Z ∞

Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла). Для того чтобы несоб-

ственный интеграл (1) сходился равномерно на Y , необходимо и достаточно выполнения условия Коши:

Z η00

а достаточности — на критерии Коши сходимости несобствен-

ного интеграла (теорема 14.7.1) и предельном переходе при η00 → b − 0 в неравенстве | Rηη000 f(x, y) dx| < ε.

§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 179

З а м е ч а н и е 2. Доказательство теоремы 1 можно получить в качестве следствия теоремы 26.2.1, используя замечание 1.

Упражнение 1. Доказать, что несобственный интеграл

сходится равномерно на Y = [0, +∞).

Теорема 2 (признак сравнения). Пусть функции f, g:

[a, b) × Y → R, [a, b) R, Y Rm. Пусть при некотором M > > 0 |f(x, y)| 6 Mg(x, y) при (x, y) [a, b) × Y и несобственный интеграл Z b

J(y) = g(x, y) dx

a

сходится равномерно на Y .

Тогда несобственный интеграл

Z b

I(y) = f(x, y) dx

a

сходится равномерно на Y .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ε > 0. Тогда в силу равномерной сходимости J(y) и критерия Коши

Z η00

Z η00

дится равномерно на Y .

Частным случаем признака сравнения (теоремы 2) является

180 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 3 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла). Пусть

f : [a, b) × Y → R, ϕ : [a, b) → R,

сходится равномерно на (−∞, +∞).

Установим достаточные условия непрерывности несобственного интеграла I(y) (1), возможности его интегрирования и дифференцирования под знаком интеграла.

Теорема 4. Пусть функция f непрерывна на [a, b) × Π,

где ω(δ, f, Πε) — модуль непрерывности функции f на замкнутом прямоугольнике Πε B [a, ηε] × Π, который (при фиксированном ε > 0) стремится к нулю при δ → 0. Следовательно,