besov

§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 183

У к а з а н и е. Вычислить предварительно вспомога-

под знаком интеграла. Воспользоваться затем упражнением 2. Иногда для доказательства равномерной сходимости несобственного интеграла бывает полезно применить интегрирова-

ние по частям, «улучшающее» сходимость интеграла.

Пример 2.

Z ∞ 1

I(y) = 1 x cos yx dx, Y = (y0, +∞), y0 > 0.

Этот интеграл сходится, но не абсолютно (ср. с примером

Следовательно, I(y) сходится равномерно на Y .

Приведем два признака (признаки Дирихле и Абеля) равномерной сходимости интеграла

Z ∞

a

где функции f, g: [a, +∞) × Y → R, f и ∂y∂g непрерывны по x

при y Y , функция g монотонна по x y Y .

184 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 8 (признак Дирихле). Пусть

1.◦ интегралы

f(x, y) dx 6 M η [a, +∞), y Y,

a

2.◦ g(x, y) 0 при x → +∞.

Y

Тогда интеграл I(y) из (9) сходится равномерно на Y .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся критерием Коши равномерной сходимости несобственного интеграла (теорема 1). Оценим для этого при a < η0 < η00 < ∞ интеграл

и теорема доказана.

Теорема 9 (признак Абеля). Пусть

1.◦ интеграл

Z ∞

f(x, y) dy

a

сходится равномерно на Y ,

§ 26.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 185

Тогда интеграл I(y) из (9) сходится равномерно на Y .

Д о к а з а т е л ь с т в о предлагается читателю провести самостоятельно, оценив (как и при доказательстве признака Дирихле) α(η0, η00, y) с использованием условий теоремы.

Упражнение 7. Установить равномерную сходимость интеграла из примера 2 с помощью признака Дирихле.

Упражнение 8. Доказать с помощью признака Абеля утверждение из упражнения 2, воспользовавшись приме-

ром 14.7.3.

В этом параграфе до сих пор рассматривались несобственные интегралы с особенностью на верхнем пределе. Аналогично изучаются зависящие от параметра несобственные интегралы с особенностью на нижнем пределе (см. определение 14.7.3) и зависящие от параметра несобственные интегралы с несколькими особенностями (см. определение 14.7.5). В последнем случае интеграл с несколькими особенностями

Z b

I(y) = f(x, y) dx, −∞ 6 a < b 6 +∞, y Y,

a

представляется в виде суммы интегралов

−∞ 6 a = c0 < c1 < . . . < ck = b 6 +∞,

где каждый из интегралов Ii(y) является несобственным с одной особенностью на верхнем либо на нижнем пределе. При этом интеграл I(y) называется равномерно сходящимся на Y , если каждый из интегралов Ii(y) равномерно сходится на Y .

Пример 3. (Гамма-функция Эйлера).

Z +∞

(s) = xs−1e−x dx, s > 0. (10)

0

186 Глава 26. Интегралы, зависящие от параметра

Интеграл (10) рассматриваем как несобственный с двумя особенностями: на нижнем и на верхнем пределах. Представим

Интеграл (10) сходится равномерно на [s0, s1] (0, +∞), т. к. на таком отрезке равномерно сходятся оба интеграла в (11), что устанавливается с помощью признака Вейерштрасса с мажорантами соответственно ϕ0(x) = xs0−1, ϕ1(x) = xs1−1e−x. Следовательно, гамма-функция (s) непрерывна при s > 0 по теореме 4.

С помощью интегрирования по частям имеем при s > 0

Последовательно применяя полученное соотношение при

s > 0 имеем

(s + n) = (s + n − 1) . . .(s + 1)s (s).

Из этой формулы видно, что по значениям гамма-функции на полуинтервале (0, 1] можно вычислить ее значения для любого аргумента s > 1.

Поскольку (1) = 1, из последнего соотношения получаем,

т. е. что функция (s + 1) является продолжением функции s! с множества целых неотрицательных чисел n на полуось

{s: s > −1}.

зависящая от двух параметров p, q. Интеграл (12) рассматриваем как несобственный с двумя особенностями: на нижнем и

Глава 27 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

§ 27.1. Интеграл Фурье

Напомним определение 14.8.2.

При −∞ 6 a < b 6 +∞ функция f называется абсолютно интегрируемой на интервале (a, b), если существует конечное число точек {ci}, a = c0 < c1 < . . . < ck = b таких, что

1.◦ функция f интегрируема по Риману на любом отрезке [α, β] (a, b), не содержащем точек ci;

2.◦ сходится несобственный интеграл Rab |f(x)| dx, понимаемый как несобственный интеграл с особенностями в точках c0, c1, . . . , ck.

Множество всех абсолютно интегрируемых на (a, b) функций образует полунормированное пространство RL((a, b)) с полунормой Rab |f(x)| dx, см. пример 25.2.5.

Лемма 1. Пусть функция f абсолютно интегрируема на (a, b), функция ϕ непрерывна и ограничена на (a, b) × [c, d].

190 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

Обоснование предельного перехода в правой части (2) аналогично.

Определение 1. Пусть f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞). Интегралом Фурье функции f называется инте-

Лемма 2. Пусть f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞). Тогда функции a(y), b(y) из (4)

1.◦ непрерывны на (−∞, +∞);

2.◦ a(y), b(y) → 0 при y → ±∞.

Из леммы 2 следует, что интеграл S(x) из (3) является несобственным интегралом с одной особенностью на верхнем пределе.

Как видим, правая часть (3) является аналогом ряда Фурье, а a(y), b(y) из (4) — аналогами коэффициентов Фурье.

Перепишем S(x, f) в виде

Изучим сходимость интеграла Фурье (т. е. внешнего интеграла в правой части последнего равенства). Рассмотрим для этого интеграл

(являющийся аналогом суммы Фурье).