besov

лютно интегрируема (т.е абсолютно интегрируема на каждом отрезке [a, b] (−∞, +∞)). Тогда функционал, определенный равенством

является обобщенной функцией, т. е. элементом D0.

Определение 7. Обобщенная функция называется регулярной, если ее значения на ϕ D представимы в виде (1) с некоторой локально абсолютно интегрируемой функцией f.

В противном случае обобщенная функция называется син-

гулярной.

Регулярная обобщенная функция, определяемая формулой (1), обозначается тем же символом f и отождествляется с локально абсолютно интегрируемой функцией f. Можно сказать, таким образом, что D0 содержит все локально абсолютно интегрируемые функции.

202 Глава 28. Обобщенные функции

Пример 3. δ-функция, определяемая формулой

(δ, ϕ) = ϕ(0) ϕ D,

является сингулярной обобщенной функцией. Покажем это. Допустив противное, предположим, что δ-функция является регулярной обобщенной функцией, т. е. что при некоторой локально абсолютно интегрируемой функции f

Но это равенство не выполняется при малых значениях a, т. к. его левая часть ограничена интегралом

Z a

|f(x)| dx → 0 при a → 0 + 0.

−a

Следовательно, δ-функция не является регулярной, а значит, является сингулярной обобщенной функцией.

Пример 4. Последовательность {fk}∞k=1 неотрицательных абсолютно интегрируемых на (−∞, +∞) функций называется

Упражнение 1. Показать, что если {fk}∞k=1 — δ-образная последовательность, то

fk → δ в D0 при k → ∞,

т. е. (в соответствии с определением сходимости в D0)

Z ∞

fk(x)ϕ(x) dx → ϕ(0) при k → ∞ ϕ D.

−∞

§ 28.2. Дифференцирование обобщенных функций

называется производной обобщенной функции f.

Читателю предлагается проверить, что функционал, стоящий в правой части (1), является линейным и непрерывным на D, т. е. обобщенной функцией.

Переход от обобщенной функции к ее производной называ-

ется операцией дифференцирования.

Теорема 1. Справедливы следующие свойства операции дифференцирования:

1.◦ линейность, т. е.

(αf + βg)0 = αf0 + βg0 f, g D0, α, β R; 2.◦ непрерывность, т. е. при k → ∞

fk → f в D0 fk0 → f0 в D0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦. Для ϕ D имеем

((αf + βg)0, ϕ) = −(αf + βg, ϕ0) = −α(f, ϕ0) − β(g, ϕ0) =

= α(f0, ϕ) + β(g0, ϕ) = (αf0 + βg0, ϕ).

2◦. Пусть при k → ∞ fk → f в D0. Тогда для ϕ D

(fk0 , ϕ) = −(fk, ϕ0) → −(f, ϕ0) = (f0, ϕ).

Пример 1. Пусть θ — функция Хевисайда

(

0при x < 0,

θ(x) =

1при x > 0.

Рассматривая θ как обобщенную функцию, найдем ее производную. Пусть ϕ D. Тогда

называется производной порядка n от обобщенной функции f.

Так же, как для n = 1, проверяется, что функционал (f, ϕ(n)) из правой части (2) является линейным и непрерывным на D, т. е. обобщенной функцией.

Упражнение 1. Вычислить вторую производную функ-

ции f(x) = |x|.

Мы видим, что каждую обобщенную функцию f ( D0) можно дифференцировать и притом сколько угодно раз, а ее производная f(n) любого порядка n также является обобщенной функцией (элементом D0).

При x → ±∞ функция ϕ S и каждая из ее производных убывает быстрее любой степени функции |x1|. Такую функцию называют быстро убывающей.

Заметим, что C0∞ S, однако S не совпадает с C0∞. Так, функция ϕ(x) = e−x2 принадлежит S, но не C0∞.

Введем в S понятие сходимости.

Определение 2. Последовательность {ϕk}∞k=1 функций ϕk S называется сходящейся к функции ϕ S, если

kϕk − ϕkn,m → 0 при k → ∞ для n, m N0. (2)

В других терминах сходимость (2) означает, что для любых n, m N0

xnϕ(km)(x) xnϕ(m)(x) на (−∞, +∞) при k → ∞.

Определение 3. Линейное пространство S с введенной сходимостью (2) называется пространством S основных функций.

Определение 4. Линейный непрерывный функционал над S называется обобщенной функцией медленного роста.

Пример 1. Пусть функция f локально абсолютно интегрируема и при некоторых A > 0, n N

|f(x)| 6 A(1 + |x|n), x (−∞, ∞).

Тогда

Z ∞

(f, ϕ) B f(x)ϕ(x) dx ϕ S

−∞

является обобщенной функцией медленного роста.

Определение 5. Пространством S0 обобщенных функ-

ций (медленного роста) называется множество (линейное пространство) всех обобщенных функций медленного роста с введенными в нем операциями сложения, умножения на комплекс-

ные числа и сходимостью по следующим правилам:

1.◦ (αf +βg, ϕ) = α(f, ϕ)+β(g, ϕ), f, g S0, α, β C, ϕ S, 2.◦ последовательность {fk}∞k=1, fk S0 k N, называется

сходящейся в S0 к f S0 при k → ∞, если

(fk, ϕ) → (f, ϕ) при k → ∞ ϕ S.

Определение 6. Преобразованием (обратным преобразованием) Фурье обобщенной функции f S0 называется обобщенная функция F [f] (F −1[f]), определенная равенством

Упражнение 2. Установить следующие свойства пре-

образования Фурье обобщенных функций: 1.◦ f S0 F [f] S0, F −1[f] S;

2.◦ S0 ↔F S0;

3.◦ непрерывность — при k → ∞

fk → f в S0 F [fk] → F [f] в S0, F −1[fk] → F −1[f] в S0;