besov

192 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

Таким образом, теорема 1 установлена.

Многие свойства интегралов Фурье аналогичны соответствующим свойствам рядов Фурье по тригонометрической системе. В качестве примера можно сравнить формулировки теорем 1 и 24.2.1. Для интегралов Фурье, как и для рядов Фурье, справедлив принцип локализации, аналогично формулируются различные условия сходимости в точке (например, в терминах условий Гёльдера) и равномерной сходимости, одинаково влияние гладкости функции на скорость сходимости рядов Фурье и интегралов Фурье, имеется аналог равенства Парсеваля и т. п.

Напомним, что для комплекснозначной функции действительного аргумента

w(t) = u(t) + iv(t), u(t), v(t) R t

интеграл Римана и несобственный интеграл Римана определяются так же, как для действительнозначной функции. При этом

Z b Z b Z b

w(t) dt = u(t) dt + i v(t) dt,

a a a

если два последних интеграла существуют, и

w(t) dt 6 |w(t)| dt,

aa

если интеграл в левой части существует как интеграл Римана или абсолютно сходится как несобственный интеграл с несколькими особенностями.

Определение 2. Пусть функция f: (−∞, +∞) → R интегрируема по Риману на любом отрезке [−η, η], η > 0. Тогда

Пусть функция ϕ: [a, b]\{x0} → R, x0 (a, b), интегрируема по Риману на любом множестве [a, b] \ Uε(x0), ε > 0. Тогда

aε→0 [a,b]\Uε(x0)

Введенные конструкции называются главными значениями

(valeur principale) интегралов.

Если интеграл сходится как несобственный, то он имеет, очевидно, и главное значение, совпадающее с несобственным интегралом. Обратное неверно. Например, главные значения интегралов R−∞∞ sin x dx, R−11 dxx существуют и равны нулю, но сами интегралы не сходятся как несобственные.

Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и в каждой точке имеет обе односторонние производные (а зна-

194 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

Последняя формула называется комплексной записью ин-

теграла Фурье.

§ 27.2. Преобразование Фурье

Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и

вкаждой точке x оси имеет односторонние производные f+0 (x), f−0 (x) (а значит, и непрерывна на (−∞, +∞)). Тогда она может быть разложена в интеграл Фурье. Это разложение, имеющее

вкомплексной форме вид (27.1.7), можно переписать так:

Правая часть (1) представляет собой результат двух последовательно примененных интегральных преобразований.

Определение 1. Пусть функция f: (−∞, +∞) → C (комплекснозначная) абсолютно интегрируема на любом отрезке

[−η, η] (−∞, +∞).

Преобразование Фурье функции f определяется формулой

Обратное преобразование Фурье функции f определяется фор-

мулой

В частности, если f — комплекснозначная абсолютно интегрируемая на (−∞, +∞) функция, то

Теорема 1. Пусть f: (−∞, +∞) → R абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и имеет в каждой точке обе односторонние производные, то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая из формул (5) совпадает с ранее установленной формулой (1). Вторая получается применением первой к функции f (x) B f(−x).

Формулы (5) называют формулами обращения.

З а м е ч а н и е 1. Теорема 1 установлена для действительнозначных функций f. Она справедлива и для комплекснозначных функций f действительного аргумента (f: (−∞, +∞) → C), поскольку каждую такую функцию можно представить в виде f(x) = g(x) + ih(x), где g, h: (−∞, +∞) → → R, и воспользоваться теоремой 1 для функций f и h.

Эти же соображения применимы и при выводе ряда других свойств преобразований F и F −1. Поэтому при их формулировке и доказательстве можно ограничиться рассмотрением лишь действительнозначных функций.

Установим некоторые свойства преобразования Фурье аб-

солютно интегрируемых функций (f1, f2, f): 1.◦ (линейность)

F [λ1f1 + λ2f2] = λ1F [f1] + λ2F [f2] λ1, λ2 C,

196 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

2.◦ fˆ = F [f] — непрерывна на (−∞, +∞),

fˆ(y) → 0 при y → ±∞,

3.◦ fˆ — ограничена на (−∞, +∞).

Изучим преобразование Фурье производных и производные преобразования Фурье.

Теорема 2. Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и f0 непрерывна и абсолютно интегрируема на (−∞, +∞). Тогда

Следствие 1. Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) вместе со своими производными до порядка n

(−∞, +∞). Тогда

d

dy F [f](y) = F [−if1](y) = F [−ixf(x)](y).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя первый из интегралов (4) по параметру y, получаем на основании тео-

Заметим, что последний интеграл сходится равномерно на (−∞, +∞) по признаку Вейерштрасса с мажорантой ϕ(x) = = |xf(x)|.

Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на (−∞, +∞), а функция fn (fn(x) = xnf(x)) при некотором n N абсолютно интегрируема на (−∞, +∞). Тогда при y (−∞, +∞) существует

dnn F [f](y) = F [(−i)nfn](y) = F [(−ix)nf(x)](y). dy

Как видим, наши требования к предельной «функции» δ(x) противоречивы, если понимать их в классических математических терминах. Этот (в частности) вопрос разрешим в рамках теории обобщенных функций, созданной С.Л. Соболевым

иЛ. Шварцем.

Врассмотренном примере можно использованное понятие поточечного предельного перехода заменить другим. Если ϕ

— произвольная непрерывная на (−∞, +∞) функция, то суще-

ствует

Z +∞

lim δε(x)ϕ(x) dx = ϕ(0).

ε→0 −∞

Формально это записывают так:

Отображение, которое каждой функции некоторого класса ставит в соответствие число, называется функционалом. Последнее равенство означает, что δ(x) — функционал, определенный на множестве всех непрерывных на (−∞, +∞) функций и ставящий в соответствие каждой непрерывной функции ее значение в точке 0. Функционал δ(x) называют δ-функцией Дирака. Функцию δε(x) также можно рассматривать как функционал на множестве всех непрерывных функций, действующий по формуле

Z ∞

ϕ → δε(x)ϕ(x) dx,

−∞

в которой интеграл можно понимать как интеграл Римана

hi

по отрезку − 2ε , 2ε , а предельный переход δε → δ (называ-

емый слабой сходимостью) понимать как предельный переход на множестве функционалов.

Перейдем к точным формулировкам. Будем далее рассматривать лишь одномерный случай.

Функция f: R → R называется финитной, если f = 0 вне некоторого отрезка.

тогда и только тогда, когда ее носитель компактен (т. е. является замкнутым ограниченным множеством).

Символом C0∞ обозначается множество бесконечно дифференцируемых финитных функций.

Оно является линейным пространством при естественном определении операций сложения функций и умножения функции на число.

Введем в C0∞ понятие сходимости.

Определение 1. Последовательность {ϕk}∞k=1 функций

ϕk C0∞ называется сходящейся к функции ϕ C0∞, если

1.◦ [a, b]: supp ϕk [a, b] k N,

2.◦ sup |ϕ(ks) − ϕ(s)| → 0 при k → ∞, s N0.

Определение 2. Линейное пространство C0∞ с введенным определением 1 понятием сходимости называется простран-

ством D основных функций.

Пусть f — функционал на пространстве D основных функций. Значение f на ϕ D обозначается через (f, ϕ).

Определение 5. Всякий линейный непрерывный функционал на D называется обобщенной функцией.

Определение 6. Пространством обобщенных функций D0 называется множество (линейное пространство) всех обобщенных функций с введенными в нем операциями сложения, умножения на число и сходимостью по следующим правилам: