besov

по параметру, в качестве которого выбран x (так что x0x = 1,

ности поля~a в условиях II00 было не только доказано существование потенциала, но и указано его выражение через ~a в виде формулы (3).

Упражнение 1. Показать, что если U и V — два потенциала непрерывного поля ~a в области G, то существует постоянная C такая, что

V (x, y, z) = U(x, y, z) + C при (x, y, z) G.

Представляет интерес найти простые (в отличие от II0 или II00) условия потенциальности поля ~a. Введем ротор (или

Определенное в области G векторное поле~a называется без-

~

вихревым, если rot~a = 0 в G.

Теорема 2. Пусть ~a = (P, Q, R) — непрерывно дифференцируемое в области G R3 векторное поле. Тогда

◦ ~

1. если поле ~a потенциально, то rot~a = 0;

72 Глава 20. Криволинейные интегралы

2.◦ если область G поверхностно односвязна, а в плоском случае (G R2, R ≡ 0, P = P (x, y), Q = Q(x, y)) —

Для его обоснования достаточно сослаться на теорему о независимости второй смешанной производной от порядка дифференцирования, если каждая из вторых производных непрерывна.

Аналогично устанавливаются и другие два равенства в (6). Доказательство утверждения 2◦ (после разъяснения встречающихся в нем понятий) будет приведено для плоского случая в теореме 3, а для трехмерного случая будет получено позднее

как следствие из формулы Стокса.

Следующий пример показывает, что без каких-либо предположений о геометрических свойствах области G безвихревое

задано во всех точках плоскости, кроме начала координат. Тогда

Определение 2. Плоская область G называется односвязной, если для всякой ограниченной плоской области D, границей ∂D которой является простой кусочно гладкий контур, из условия ∂D G следует D G.

Односвязность G означает, грубо говоря, что область G не имеет дыр.

Теорема 3. Пусть в плоской односвязной области G задано

непрерывно дифференцируемое векторное поле ~a = (P, Q) и

∂Q∂x − ∂P∂y = 0 в G.

Тогда поле ~a потенциально в G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно (в силу теоремы 1) по-

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е 2. Везде в этом параграфе вместо кусочно гладких кривых можно было бы брать лишь ломаные. Все определения и полученные при этом утверждения оказались бы эквивалентны приведенным в силу леммы 20.2.1 об аппроксимации криволинейного интеграла.

Глава 21 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

§ 21.1. Гладкие поверхности

Для описания и изучения поверхностей будем пользоваться вектор-функциями двух переменных. В соответствии с общим определением функции (отображения) будем говорить, что на множестве E R2 задана вектор-функция ~r: E → R3, если каждой точке (u, v) E поставлен в соответствие трехмерный вектор

Здесь R2, R3 — евклидовы пространства, числовые функции x, y, z называют координатными функциями.

Аналогично соответствующим понятиям вектор-функции одной переменной и числовой функции двух переменных вводятся понятия предела, непрерывности, дифференцируемости и др.

Вектор ~a называется пределом вектор-функции ~r (1) при (u, v) → (u0, v0) по множеству E, если (u0, v0) — предельная точка множества E и

аесли при этом Uδ(u0, v0) E при некотором δ > 0, то пишут

lim ~r(u, v) = ~a.

(u,v)→(u0,v0)

Функцию ~r называют непрерывной в предельной точке

(u0, v0) E, если

E3(u,v)→(u0,v0)

Понятия предела, непрерывности, дифференцируемости и другие можно сформулировать эквивалентным образом в терминах координатных функций (ср. § 8.1).

Часто в качестве области определения E R2 векторфункции (1) будем брать замкнутую область (т. е. замыкание области). В этом случае будем говорить, что производная ~r0u

непрерывна на замыкании D области D, если она непрерывна на области D, и функция ~r0u после подходящего доопределения

на границе ∂D становится непрерывной на D. То же относится и к другим производным вектор-функции ~r.

Определение 1. Множество точек S R3 вместе с кон-

где замкнутая область D R2, а функции x, y, z непрерывны на D, будем называть (параметрически заданной) поверхностью1.

Переменные u, v называются параметрами поверхности (2) или ее координатами.

Ту же поверхность можно задать в виде

S = {~r(u, v), (u, v) D} или S = {rˆ(u, v), (u, v) D},

где ~r(u, v) B (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Точкой поверхности S называют пару {(u, v), rˆ(u, v)}, а (u, v) — координатами этой точки. Ради краткости точку rˆ(u, v) R3 часто также называют точкой поверхности S.

1С общей точки зрения (2) естественнее было бы называть (параметри-

чески заданным) куском поверхности, оставив термин «(параметрически заданная) поверхность» за множеством, формально отличающимся от (2) лишь заменой замкнутой области D на область D. Мы будем придерживаться предложенной терминологии ради простоты записи.

76Глава 21. Элементы теории поверхностей

Вопределении 1 не исключается, что через некоторую точку M R3 поверхность «проходит» не один раз, т. е. что

при некоторых (u1, v1), (u2, v2) D

rˆ(u1, v1) = rˆ(u2, v2) = M.

Поверхность S (2) называется простой, если отображение

rˆ(u, v): D → S является взаимно однозначным.

Определение 2. Поверхность S (2) называется непре-

рывно дифференцируемой, если функции x, y, z непрерывно дифференцируемы на D.

— непрерывно дифференцируемая поверхность, (u0, v0) D.

Заметим, что пересечение D с прямой v = v0 содержит, во всяком случае при (u0, v0) D, некоторый интервал, которому принадлежит точка (u0, v0).

Множество

{~r(u, v0), (u, v0) D}

называется координатной линией v = v0. Вектор ~r0u = ∂u∂~r = = (x0u, yu0 , zu0 ) является ее касательным вектором. Аналогично определяется координатная линия

{~r(u0, v), (u0, v) D}

с касательным вектором

~r0v = ∂v∂~r = (x0v, yv0 , zv0 ).

Определение 3. Точка {(u, v), rˆ(u, v)} непрерывно дифференцируемой поверхности (3) называется неособой, если в

тивном случае эта точка называется особой.

Определение 4. Непрерывно дифференцируемая (параметрически заданная) поверхность без особых точек называется

гладкой (параметрически заданной) поверхностью.

Пример 1. Поверхность

Sε = {(R cos ϕ cos ψ, R sin ϕ cos ψ, R sin ψ),

0 6 ϕ 6 2π, − π2 + ε 6 ψ 6 π2 − ε}, R > 0, 0 6 ε < π2 ,

(сфера при ε = 0, сферический пояс при ε > 0) является непрерывно дифференцируемой параметрически заданной поверхностью, а при ε > 0 — гладкой параметрически заданной поверхностью.

Мы будем рассматривать далее гладкие параметрически заданные поверхности или поверхности, составленные из конечного числа таких поверхностей.

§ 21.2. Касательная плоскость и нормальная прямая

Определение. Плоскость, проходящая через точку {(u0, v0), rˆ(u0, v0)} гладкой поверхности (21.1.3) параллельно векторам ~r0u(u0, v0), ~r0v(u0, v0), называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке.

Пусть (u0, v0) D, {(u(t), v(t)), a 6 t 6 b} — гладкая кривая, u(t0) = u0, v(t0) = v0 при некотором t0, a < t0 < b. Тогда

— гладкая кривая, лежащая на поверхности и проходящая через данную точку {(u0, v0), rˆ(u0, v0)} поверхности. Касательный вектор этой кривой в точке {t0, rˆ(u0, v0)} имеет вид

~r0t(t0) =~r0u(u0, v0)u0t(t0) +~rv(u0, v0)vt0(t0),

т. е. является линейной комбинацией векторов~r0u, ~r0v, а значит, параллелен касательной плоскости.

Следовательно, касательные по всем таким кривым (1) в точке {t0, rˆ(u0, v0)} лежат в касательной плоскости к поверхности в точке {(u0, v0), rˆ(u0, v0)}.

Исходя из определения касательной плоскости к поверхности, можно написать ее уравнение в векторной форме:

Здесь~r0 — радиус-вектор точки касания,~r — текущий радиусвектор точек на касательной плоскости. В координатной

форме уравнение (2) принимает вид

x − x0 y − y0 z − z0

0 yv0 zv0xv

где ~r = (x, y, z), ~r0 = (x0, y0, z0), ~r0u = (x0u, yu0 , zu0 ), ~r0v = = (x0v, yv0 , zv0 ).

Определение. Прямая, проходящая через точку касания поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормальной прямой к поверхности в указанной точке.

Определение. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный нормальной прямой, проходящей через данную точку поверхности, называется нормалью к поверхности в этой точке.

Нормалью к гладкой поверхности (21.1.3) в данной точке является, например, вектор

где x0 = x(u0, v0), y0 = y(u0, v0), z0 = z(u0, v0), а производные x0u, x0v, yu0 , yv0 , zu0 , zv0 вычислены в точке (u0, v0).

где функция f непрерывна на замкнутой области D, называ-

ется явно заданной поверхностью. Это важный частный слу-

чай параметрически заданной поверхности (2).

Явно заданная поверхность является, очевидно, простой. Если при этом функция f непрерывно дифференцируема на

D, то (6) называется гладкой явно заданной поверхностью.

Для ~r(x, y) = (x, y, f(x, y))

(x0, y0, f(x0, y0)) принимает вид

x − x0 y − y0 z − z0

а уравнение нормальной прямой в точке (x0, y0, f(x0, y0)) — вид

§ 21.3. Преобразование параметров гладкой поверхности

Изучим вопрос о преобразовании (замене) параметров на гладкой поверхности. Пусть D — плоская область,

80 Глава 21. Элементы теории поверхностей

— гладкая параметрически заданная поверхность, так что

вектор-функция ~r непрерывно дифференцируема на D и ~r0u ×

× 0 6 ~ ~rv = 0.

Рассмотрим отображение

()

параметризованной, если замена параметров (2) является допустимой, т. е. обладает свойствами:

стимом преобразовании параметров:

a)неособая точка переходит в неособую,

b)гладкая параметрически заданная поверхность переходит в гладкую параметрически заданную поверхность,

c)нормальная прямая и касательная плоскость сохраняются.

Подчеркнем еще, что отображение, обратное допустимому также, очевидно, является допустимым.