§ 3. Использование формально-логических законов в процессе обучения

Закон тождества как нормативное правило мышления запре­щает в процессе рассуждения всякое понятие (или суждение) под­менять другим нетождественным понятием (или суждением), за­прещает употреблять термины в различных смыслах, требует четкости, ясности и однозначности понятий. В работе учителя это проявляется в необходимости четкого определения вводи­мых понятий, и в первую очередь основных, опорных. В процес­се обучения учащиеся встречаются с синонимами (око - глаз, болезнь - хворь) и омонимами (поле, класс, группа и др.). Упот­ребление омонимов особенно опасно, если они имеют близкое значение. Нельзя спутать употребление понятия “поле” в биоло­гии (например, “ржаное поле”), в математике (“числовое поле”) или физике (“электромагнитное поле”). Аналогично трудно спу­тать биологический класс животных, класс (в смысле множест­ва) в математике и класс как школьную группу. Однако в препо­давании одной школьной дисциплины отсутствие омонимии -необходимое требование, ибо каждый термин или каждый знак (символ) должны определяться лишь один раз, т. е. однозначно. В математике ошибки иногда проистекают из-за того, что один и тот же термин употребляется в разных смыслах. Например, раньше запись [АВ] обозначала как отрезок с концами А и В, так и его длину; теперь [ав] обозначает просто отрезок, а длина его обозначается через ,│AВ│ , при этом запись “ │АВ│ = 3 см” читает­ся как “длина отрезка АВ равна 3 см”. Слово “цифра” использо­валось для обозначения соответствующего однозначного числа, что приводило к путанице при изложении материала.

Ясность и однозначность употребления понятий и символов в математике требуют особого математического языка, крат­кого и точного, с правилами, которые в отличие от правил обы­чной грамматики не терпят никаких исключений. “С этой точ­ки зрения, составление уравнений имеет сходство с пере­водом, переводом с обычного языка на язык математических символов”'.

____________________________

¹Пойа Д. Как решать задачу. М., 1961. С. 116.

123

Анализируя новую задачу, учащиеся должны ввести подходящие обозначения. Д. Пойя пишет о том, что хорошая система обозначений должна удовлетворять следующим требованиям: быть однозначной, содержательной, легко запоминающейся. Нель­зя одним и тем же знаком обозначать разные объекты (в одной и той же задаче), но можно использовать различные символы для одного и того же объекта (например, конъюнкцию суждений можно обозначать как а&b, или а^b, или а*b). Учитель должен показать учащимся, что язык математических символов помогает им в решении задач.

Важно использование закона тождества на уроках гуманитарного профиля: русского языка, литературы, истории и др. Закон тождества, как и в математике, требует однозначного употребления понятий, недопустимости логической ошибки -“подмены понятия”. К сожалению, учащиеся путают некото­рые понятия, например, не могут удовлетворительно объяснить понятие “собственность”.

Закон тождества на уроках литературы учителя используют для обучения школьников работе над сочинениями. Нарушение закона тождества проявляется в отступлении от обсуждаемой темы или подмене одного предмета обсуждения другим. Уча­щиеся при написании сочинений умеют определять границы темы, отбирать соответствующий материал, отвечать на вопрос темы, развертывать и доказательно раскрывать основную мысль сочи­нения. Недостатки в сочинениях проявляются в нарушении ком­позиции: отсутствии вступления, выводов по теме, многословии, нарушении логики повествования. Законы логики (в том числе закон тождества) требуют ясности, сжатости изложения, уме­ния полностью охватить тему сочинения, последовательности в изложении, построения системы аргументации. Но иногда вме­сто сжатости изложения сужается тема, не проявляется способ­ность к обобщениям и выводам. Отходом от закона тождества является злоупотребление иностранными словами, неумение най­ти тождественное слово в родном языке. Некоторые учащиеся отвечают на вопросы и передают содержание прочитанного “кни­жными” фразами и не могут кратко передать главную мысль

124

своими словами (в частности, при переводе с иностранного язы­ка на русский).

Закон тождества при обучении используется в операциях де­ления и классификации, когда осуществляется требование посто­янства признака, являющегося основанием этих операций. Нару­шение этого требования приводит к логическим ошибкам, выража­ющимся в том, что члены деления не исключают другу друга.

На основании закона тождества осуществляется идентифика­ция, широко применяющаяся юристами-криминалистами, истори­ками (в ходе изучения археологических раскопок), филологами, биологами, химиками, геологами, географами и др. На соответст­вующих уроках учителя используют нужный материал, подтверж­дающий идентификацию (отождествление) различных объектов в ходе их изучения. Правильное отождествление дает нам зна­ние об общих признаках предметов.

Закон непротиворечия связан с законом тождества, ибо пер­вый выражает отношение логической несовместимости, а вто­рой - отношение логической однозначности. Использование за­конов тождества и непротиворечия в школе тесно взаимосвяза­но с операцией сравнения, в процессе которой устанавливаются сходства и различия рассматриваемых предметов. К. Д. Ушинский в своей педагогической деятельности сравнению отводил одно из ведущих мест. При сравнении мы встречаемся с двумя формами несовместимости: а и а (первая, более простая); а и b, где b распадается на не-а + с (вторая, более сложная). Закон непротиворечия охватывает обе эти формы несовместимости. Форма а и â, примененная к суждениям, выражает отношения между суждениями А и О, Е и I. Форма а и b выражает отноше­ния между суждениями А и Е (см. “логический квадрат”).

Закон непротиворечия используется в школе при осуществле­нии дихотомического деления понятий, когда мы понятие А делим на B и не-В (например, растения делятся на съедобные и несъе­добные; дроби делятся на правильные и неправильные). При этом В и не-В являются несовместимыми понятиями, находящимися в отношении противоречия (т.е. противоречащими понятиями). К не­совместимым понятиям относятся и противоположные понятия

125

бумага - черная бумага; наказание - награда; надежда - отчая­ние). Закон непротиворечия, подобно закону тождества, распро­страняется не только на суждения, но и на понятия в логике классов - на классы, где он выражается формулой [буквойА обозначается класс (множество)]. Когда мы имеем дело с опе­рацией дополнения к классу А, обозначаемой А', для которой дей­ствует закон А • А' = Ø (пересечение класса А с его дополнени­ем пусто), то встречаемся с законом непротиворечия.

В школе закон непротиворечия, примененный к понятиям, про­является в использовании в письменной и устной речи слов-ан­тонимов, имеющих прямую противоположность по своему основ­ному значению и обозначающих противоположность тех или иных предметов, качеств, действий, состояний, явлений, желаний, ре­зультатов и т. д. (например, ласка - строгость, продление - со­кращение, легкий труд - нелегкий труд и т. д.).

В зависимости от выражаемого типа противоположности антонимы делятся на следующие классы:

1) выражающие качественную противоположность. “Полную, истинную антонимию выражают крайние симметрич­ные члены такого противопоставления, средние же указывают на возрастание (или убывание) степени качества: легкий (про­стой, пустяковый), нетрудный, средней трудности, нелегкий, труд­ный (сложный)”;

2) выражающие дополнительность. Это сравнительно не­большой класс антонимов, которые представляют собой два про­тивоположных члена, дополняющих друг друга “до выражения той или иной сущности, так что отрицание одного из них дает значение другого: не + холостой = женатый. Ср.: слепой - зря­чий, конечный-бесконечный...”;

3) выражающие противоположную направленность дей­ствий, признаков и свойств (разбирать - собирать, увеличи­вать - уменьшать, зажигать - гасить, тушить и др.)¹.

По способу образования слов антонимы можно подразде­лить с помощью дихотомического деления (т. е. на А и не-А) таким образом:

______________________________

¹Классификация антонимов дана Новиковым Л. А. См.: Львов М. Р. Словарь антонимов русского языка (под ред. Новикова Л. А.). М., 1985. С. 15-18.

126

Рис. 20

Антонимы могут выражаться с помощью формально разли­чных средств, поэтому одному антониму могут противопостав­ляться два слова или даже несколько слов. Например, в словаре М. Р. Львова имеются два антонима для слова “друг” - “враг”, “недруг”; для слова “серьезный” антонимами являются слова “несерьезный”, “легкомысленный”; для слова “благородный” ан­тонимами являются слова “низкий” (“благородный поступок” -“низкий поступок”), “неблагородный” (“благородный человек” -“неблагородный человек”), “низменный” (“благородные побуж­дения” - “низменные побуждения”)¹.

Из приведенных примеров видно, что несовместимые понятия, находящиеся в отношении противоречия или отношении противо­положности, могут выражаться словами-антонимами, имеющими

___________________________________

¹См.: Львов М. Р. Словарь антонимов русского языка. С. 42-43, 331-332.

127

разную структуру: 1) А - В (доброта - злоба; герой - трус); 2) А -не-А (грамотность - неграмотность; виновность - невиновность).

Закон непротиворечия распространяется на понятия обоих ви­дов - соответственно и на антонимы указанных двух видов.

Задача учителя русского языка, литературы и других пред­метов, - во избежание нарушения закона непротиворечия тщательно следить за использованием антонимов в письменной и устной речи. Следует отличать смысловые оттенки двух анто­нимов к одному и тому же слову (например, действие - бездей­ствие и действие - противодействие; выгодно - невыгодно; вы­годно - убыточно).

На уроках литературы учащиеся знакомятся с отдельными проявлениями противоречивости в мышлении литературных гeроев, учатся анализировать допущенные противоречия в своих сочинениях, в ответах своих одноклассников.

Если человек нечто утверждает, а затем то же самое отрицает, т. е. допускает противоречие, то его рассуждение непра вильное, так как им нарушен закон непротиворечия. Например, в романе И. С. Тургенева “Рудин” есть такой диалог Рудина и Пигасова:

“- Прекрасно! - промолвил Рудин. - Стало быть, по-Вашему, убеждений нет?

- Нет и не существует.

- Это ваше убеждение?

-Да.

- Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на первый случай.

Все в комнате улыбнулись и переглянулись”. В работе по развитию речи учителя используют различные ме­тоды, формы и средства обучения. Учащимся пятого класса было дано задание подобрать дома открытку или репродукцию неболь­шого размера с изображением уголка природы, найти точные и яркие слова, словосочетания для описания этого предмета или яв­ления. На уроке учащиеся смотрели через эпидиаскоп открытки и слушали описание того, что на них изображено. В одной из работ ученик написал: “Вся поляна наполнилась янтарным блеском. От берез и елей на землю падали унылые тени...” (На экране -

128

соответствующее изображение открытки). Сразу поднимается множество рук, так как учащиеся замечают отсутствие яркого света на открытке. Оказалось, что ученик не знает значения сло­ва “янтарный”. Сообща находят синонимы: желтый, золотистый, золотисто-желтый. Смотрят на картину и видят, что такого осве­щения на ней нет. И уже сам ученик, автор сочинения, замечает, что “янтарный блеск” и “унылые тени” - несовместимы.

В школьном преподавании отдельных предметов, и в первую очередь математики, часто используется метод “приведения к абсурду” (reductio ad absurdum). Применение этого метода в математике основано на законе непротиворечия таким образом, что если из допущения а вытекает противоречие, т. е. b ^ , то а должно быть отвергнуто как ошибочное. Однако Д. Пойа при­водит ряд аргументов, свидетельствующих о недостатках ме­тода “приведения к абсурду” и метода косвенного доказатель­ства, ибо мы все время вынуждены концентрировать свое вни­мание не на истинной теореме, которую следует запомнить, а на ложном допущении, которое следует забыть. Словесная форма изложения, подчеркивает Д. Пойа, может стать утомительной и даже невыносимой, так как неоднократно повторяются слова “гипотетически”, “предположительно”, “якобы”¹. Однако было бы неблагоразумно совсем отказаться от “reductio ad absur­dum” в математике, хотя лучше там, где это возможно, следует этот прием и метод косвенного доказательства заменить пря­мым доказательством.

Закон непротиворечия используется в ходе проведения диспутов в школе. Выдвинутое суждение одного учащегося и противореча­щее ему суждение другого (например, А - общеутвердительное и О - частноотрицательное) не могут быть одновременно и в од­ном и том отношении истинными, одно из них обязательно ложно. В ходе дискуссии ложность одного суждения и должна быть про­демонстрирована. Диспуты, в частности, применяются в процессе формирования читательских интересов школьников наряду с обзо­рами новинок литературы, обсуждениями, конференциями и дру-

____________________________________

См.: Пойа Р.. Как решать задачу. М., 1961. С. 176-178.

129

гими способами повышения уровня читательской культуры учащихся. Диспуты используются при обсуждении проблем этических, эстетических и др. Предметом дискуссии становится вопрос, который в литературе и в жизни разрешается отдельными людьми по-разному. Изучаемая проблема допускает несколько толкований (особенно нравственные проблемы), и в ходе дискуссии путем сравнения, анализа, обсуждения различных точек зрения учащиеся приходят к правильному выводу. Такие дискуссии можно проводить на уроках литературы, истории. В ходе дискуссии учащиеся ставят остро волнующие их вопросы, приводят отрицательные факты и явления, заслуживающие общественно порицания и наказания (в частности, жизнь не по средствам, взяточничество, должностные злоупотребления, организованная преступность и т. д.).

Закон исключенного третьего в процессе обучения используется в многообразных функциях, но мы отметим лишь некоторые, наиболее важные. Закон исключенного третьего требует выбора одной из двух взаимоисключающих альтернатив.

Аналогично закону непротиворечия и закону тождества закон исключенного третьего применим не только к суждениям, но и понятиям, а также к классам, выражающим объем понятия (формула A v Ā для классов). В соответствии с этой формулой используется дихотомическое деление понятия на два взаимно-ис­ключающих и взаимно дополняющих (до универсума) класса. Во всех науках, а соответственно, в любой школьной дисциплине, используется дихотомия. Например, предложения бывают просты­ми и сложными (непростыми); внимание бывает произвольное и непроизвольное; числовой ряд конечный или бесконечный и т. д., и кроме этих А или не-А, третьего не дано.

Дополнение к классу А, т. е. А', строится в соответствии с за­коном исключенного третьего и подчиняется формуле А + А'= 1. На уроках математики эта формула и построение дополнения к классу А находят широкое применение.

На уроках русского языка, литературы и других используют­ся антонимы типа: известность - неизвестность; здоровье - нездоровье; любезный - нелюбезный и пр., построенные по за­кону исключенного третьего.

130

Закон достаточного основания в процессе обучения находит важное применение в следующих аспектах: требование доказа­тельности в изложении учителя и в ответах учащихся, опти­мального отбора информации; о строгих и нестрогих доказа­тельствах в математике; использование прямых и косвенных до­казательств.