Способы отрицания суждений

Два суждения называются отрицающими или противореча­щими друг другу, если одно из них истинно, а другое ложно (т. е. не могут быть одновременно истинными и одновременно лож­ными).

Отрицающим являются следующие пары суждений:

1. А - О. “Все S суть Р” и “Некоторые S не суть Р”.

2. Е -1. “Ни одно S не суть Р” и “Некото­рое S суть Р”.

3. “Это S суть Р” и “Это S не суть Р”.

Oперацию отрицания в виде образования нового суждения из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отри­цательных суждений. Существует два вида отрицания: внутрен­нее и внешнее. Внутреннее - указывает на несоответствие пре­диката субъекту (связка выражена словами: “не суть”, “не есть”, “не является”). Например: “Некоторые люди не имеют высше­го образования”. Внешнее отрицание означает отрицание всего суждения. Например: “Неверно, что в Москве протекает река Нева”.

82

Отрицание сложных суждении

Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в сво­ем составе лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необходимо поменять знаки операций друг на друга (т. е. конъюнкцию на дизъ­юнкцию и наоборот) и над буквами, выражающими элементарные высказывания, написать знак отрицания, а если он уже есть, то отбросить его.

Имеем:

Эти четыре формулы называются законами де Моргана. При­менив их, получим:

Если в сложном суждении имеется импликация, то ее необхо­димо заменить на тождественную формулу без импликации (с дизъ­юнкцией), а именно:

затем по общему методу находить противоречащее суждение. Например: “Если я буду иметь свободное время (а), то буду вя­зать (b) или посмотрю телевизор (с)”. Формула этого сложного суждения:

Противоречащее суждение будет:

83

Оно читается так: “У меня будет свободное время, но я не буду вязать и не буду смотреть телевизор”.

Исчисление высказываний

I. Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

1. а, b, с,d, е,f... и те же буквы с индексами а₁ ,а₂ ,... Эти символы называются переменными высказываниями, или про­позициональными переменными. С помощью этих символов записываются повествовательные предложения, выражающие суждения (высказывания).

2. Символы, обозначающие логические термины:—, ^, , ύ, . Эти символы выражают следующие логические операции (логические связки): отрицание (“не”), конъюнкция (“и”), нестрогая дизъюнкция (нестрогое “или”), строгая дизъюнкция (строгое “или”), импликация (“если..., то”) эквиваленция (“если и только если, то...”). Подробнее об этих логических терминах см. на с. 26-27 этого учебника.

3. Скобки: ( ).

Иных символов, кроме указанных, исчисление высказываний не имеет.

II. Определение формулы (или правильно построенной формулы - ППФ).

1. Переменное высказывание есть формула (а, b, с ...).

2. Если А и В есть ППФ, то , (А^В), (АВ), (A ύ В), (АB) и (АВ) есть ППФ. (Здесь буквы А, В, С... не явля­ются символами исчисления высказываний. Они представляют собой только условные сокращенные обозначения формул).

Ничто иное не является формулой (ППФ).

Так, не являются формулами: (а ^ b ; а-b; ^ а; аb; а ^ b ; а b . Первое из этих слов содержит незакрытую скобку. Второе и третье слова никак не могут быть построены на осно­вании пункта 2. Четвертое слово не является формулой потому, что хотя а и b - формулы, но соединение формул связкой  всегда сопровождается заключением в скобки; то же са­мое можно сказать и о двух последних словах.

84

Существуют правила опускания скобок. При этом исходят из того, что связка связывает сильнее, чем все остальные; связка ^ сильнее, чем . В силу этих правил формулу (а ^ b) c будем писать в виде а ^ b v с. Формулу (а b)  (с ^ d ) будем писать в виде а v bс ^ d.

Однако не всякая формула может быть записана без упот­ребления скобок. Например, в формулах а  (b  с), а ^ (bс) исключение скобок невозможно.

Для моделирования с помощью ЭВМ текстов естественного языка, включающих отрицание, возможно записать некоторые выражения на языке алгебры логики (А, В, С, D - высказывания, “+” - знак нестрогой дизъюнкции, “•” - знак конъюнкции, “-” -знак отрицания.

____________________________________________

'См.: Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973. С. 68-71.

²См.: Ледли Р. Программирование и использование цифровых вычислитель­ных машин.//Пер. с англ. М., 1966. С. 55. Ледли Р. пользуется иной символикой,

чем в нашей книге.

85