умк_Вабищевич_Физика_ч

Практическое занятие № 2 (2 часа)

Содержание занятия: Ток в различных средах

Рекомендации по решению задач

3.4. Примеры решения задач

Пример 1.

Дана схема (рис. 3.6). Известны емкости С и 2С конденсаторов, сопротивления R и 2R проводников и ЭДС источника ε. Внутренним сопротивлением источника можно пренебречь (r = 0). Определить напряжения U1 и U2 на конденсаторах и заряды q1 и q2 этих конденсаторов.

Решение. Напряжение U1 на конденсаторе С равно разности потенциалов ϕc −ϕa между точками с и а, а напряжение U2 на конденсаторе 2С равно

разности потенциалов ϕd −ϕb между точками d и b. Поскольку ток через

конденсаторы не идет, мы имеем цепь с тремя последовательно соединенными проводниками, по которым идет одинаковый ток I. Тогда разность потенциалов ϕc −ϕa , как следует из закона Ома для участка цепи, равна произ-

81

ведению силы тока I и сопротивления участка ас, которое равно 2R + R = 3R. Поэтому U1 = ϕc −ϕa = 3RI . Аналогично находим разность потенциалов

ϕd −ϕb =U2 = 2RI . Таким образом, чтобы решить задачу, надо определить

силу тока I. Определим ее по закону Ома для замкнутой цепи с учетом того, что внутреннее сопротивление источника r = 0:

или

U1 = 0,75 ε и U2 = 0,5 ε.

Найдем заряды конденсаторов q1 и q2, воспользовавшись определением емкости C = q/U. Отсюда

q1 = CU1 и q2 = 2CU2 .

Пример 2.

Сила тока в проводнике сопротивлением R = 50 Ом равномерно растет от I0 = 0 до Imax = 3 A за время τ = 6 с. Определить выделившееся в проводнике за это время количество теплоты.

Решение. Согласно закону Джоуля – Ленца в случае бесконечно малого промежуткавремени

dQ = I 2Rdt .

По условию задачи сила тока равномерно растет, т.е. I = kt, где коэф-

фициент пропорциональности k = Imax − I0 = const . Тогда можно записать

τ

dQ = k2Rt2dt .

Проинтегрировав это выражение и подставив выражение для k, найдем искомоеколичество теплоты:

Вычисляя, получаем Q = 900 Дж.

Пример 3.

Определить заряд q, прошедший по проводу с сопротивлением R = 3 Ом

82

при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U0 = 2 B до U = 4 B в течение t = 20 c.

Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчета заряда формулой q = It нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда dq = Idt и проинтегрируем

Подставив значения величин в формулу (4), найдем величину заряда q = 20 Кл.

Пример 4.

Определить внутреннее сопротивление источника тока, если во внешней цепи при силе тока I1 = 4 A развивается мощность Р1 = 10 Вт, а при силе тока I2 = 6 A – мощность Р2 = 12 Вт.

Решение. Мощности, развиваемые токами I1 и I2

где R1 и R2 – сопротивления резисторов внешней цепи.

83

где ε – ЭДС источника.

Решив эти два уравнения относительно r, получим

Выразив I1R1 и I2R2 из уравнений (1) и подставив в выражение (2), найдем искомое внутреннее сопротивление источника тока

P1 − P2 r = I1 I2 .

I2 − I1

Вычисляя, получаем r = 0,25 Ом.

Пример 5.

Батарея состоит из пяти последовательно соединенных элементов. ЭДС каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление каждого равно 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определите наибольшую полезную мощность батареи.

Решение. Полезная мощность батареи

где R – сопротивление внешней цепи; I – сила тока, текущего в цепи, которая определяетсяпозаконуОма

где nεI – ЭДС; nri – внутреннее сопротивление n последовательно соединенных элементов.

Выразим R из (1):

R = IPn2 .

Подставив это выражение в (2), получим

Преобразуявыражение(3), получаемквадратноеуравнениеотносительноI:

84

nri I 2 − nεi I + Pn = 0 .

Решая квадратное уравнение, находим:

I1,2 = nεi ± n2εi2 − 4nri Pn . 2nri

Для того, чтобы определить максимальную полезную мощность батареи, найдем зависимость ее от внешнего сопротивления. Подставим в уравнение(1) выражение(2):

Из этой формулы следует, что при постоянных величинах εI и ri мощность является функцией одной переменной – внешнего сопротивления R.

Таким образом задача сводится к определению сопротивления внешней цепи. Из уравнения (5) следует R = nri . Подставляя найденные значе-

ния R в формулу (4), имеем

Пример 6.

Определить плотность j электрического тока в медном проводе (удельное сопротивление ρ = 17 н Ом м), если удельная тепловая мощность тока ω = 1,7 Дж/(м3 с).

85

Решение. Согласно законам Джоуля – Ленца и Ома в дифференциальной форме

где γ и ρ – соответственно удельные проводимость и сопротивление проводника. Из закона (2) получим, что E = ρ j . Подставив это выражение в (1), найдемискомуюплотностьтока

j = ωρ .

Вычисляя, получаем: j = 10 кА/м3.

Пример 7.

Вцепь источника постоянного тока с ЭДС ε = 6 В включен резистор

ссопротивлением R = 80 Ом. Определить: 1) плотность тока в соединительных проводах площадью поперечного сечения S = 2 мм2; 2) число N электронов, проходящих через сечение проводов за время t = 1 c. Сопротивлением источника тока и соединительных проводов пренебречь.

Решение. 1. Плотность тока по определению есть отношение силы тока к площади поперечного сечения провода

Силу тока в этой формуле выразим по закону Ома

где R – сопротивление резистора; R1 – сопротивление соединительных проводов; ri – внутреннее сопротивление источника тока.

Пренебрегая сопротивлениями R1 и ri, получим I = Rε . Подставив это выражение силы тока в (1), найдем j = RSε . Произведя вычисления, получим

j = 80 2610−6 ОмВм2 = 3,75 104 мА4 .

86

2. Число электронов, проходящих за время t через поперечное сечение, найдем, разделив заряд q, протекающий за это время через сечение, на

Пример 8.

Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объем V = 375 см3 и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора S = 250 см2. При каком напряжении U между пластинами конденсатора сила тока I, протекающего через конденсатор, достигнет значения 2 мкА, если концентрация n ионов обоих знаков в газе

м2 . В с

Решение. Напряжение на пластинах конденсатора связано с напряженностью электрического поля между пластинами и расстоянием между ними соотношением

Напряженностьполяможетбытьнайденаизвыраженияплотноститока

Расстояние d между пластинами, входящее в формулу (1), найдем из соотношения d =V / S . Подставив выражения для E и d в (1), получим

Вычисляя, получаем U = 110 B.

87

Пример 9.

Источники тока с электродвижущими силами ε1 и ε2 включены в цепь как показано на рис. 3.7. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях

R2 и R3, если ε1 = 10 В и ε2 = 4 В, а R1 = R4 = 2 Ом и R2 = R3 = 4 Ом. Сопротивлением источников тока пренебречь.

Решение. Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения.

Указание: перед составлением уравнений по закону Кирхгофа необходимо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже; во-вторых, выбрать направление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа).

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком «плюс»; ток, отходящий от узла, – со знаком «минус».

Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три). Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров.

88

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус,

б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус».

По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров

AR1BR2A, AR1BR3A, AR3BR4A:

Подставив в равенства (2) – (4) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:

I1 + I2 + I3 − I4 = 0,

2I1 − 4I2 = 6,

2I1 − 4I3 =10,

4I3 + 2I4 = 0.

Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользоваться методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнения в следующем виде:

I1 + I2 + I3 − I4 = 0;

2I1 − 4I2 + 0 + 0 = 6;

2I1 + 0 − 4I3 =10;

0 + 0 + 4I3 + 2I4 = 0.

Искомые значения токов найдем из выражений

где ∆ – определитель системы уравнений; ∆I2 и ∆I3 – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя ∆ столбцами,

89

составленными из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений. Находим

Отсюда получаем: I2 = 0 ; I3 = −1 A .

Знак «минус» у значения силы тока I3 свидетельствует о том, что при произвольном выборе направления токов, указанных на рис. 3.7, направление тока I3 было указано противоположно истинному. На самом деле ток I3 течет от узла В к узлу А.

3.5.Задачи для самостоятельного решения

1.Сила тока в проводнике равномерно нарастает от I0 = 0 до I = 3 A в течение времени t = 10 c. Определить заряд q, прошедший в проводнике.

2.Определить плотность тока j в железном проводнике длиной l = 10 м, если провод находится под напряжением U = 6 B.

3.На одном конце цилиндрического медного проводника сопротивлением

R0 = 10 Ом (при 0° С) поддерживается температура t1 = 20° С, на другом t2 = 400° С. Найти сопротивление R проводника, считая градиент температуры вдоль его оси постоянным.

4.Проволочный куб составлен из проводников. Сопротивление R1 каждого проводника, составляющего ребро куба, равно 1 Ом. Вычислить сопротивление R этого куба в трех случаях, если он включен в электрическую цепь клеммами А и В (рис. 3.8).

A B

Рис. 3.8

90