умк_Вабищевич_Физика_ч

Токи при замыкании и размыкании электрической цепи с индуктивностью

Для анализа зависимостей тока в цепи с индуктивностью при подключении цепи к источнику тока и отключении от источника воспользуемся закономОма для участка цепи (рис. 2.4)

Заменим (u − IR) переменной υ

dυυ = − RL dt .

Проинтегрируем полученное выражение ln(u − IR) = − RL t + ln C ,

где ln C – постоянная интегрирования. Потенцируем последнее выражение

При этом постоянная интегрирования находится из начальных условий. При замыкании цепи t = 0, u = u и, согласно (13), С = u. Подставляя С = u в (13), получаем зависимость тока от времени

где I0 = Ru – максимально возможный ток в цепи.

При размыкании цепи t = 0, u = 0, т.к. источник тока отключается от цепи. Поскольку ток в цепи определяется в основном ЭДС самоиндукции; то I = I0, т.е. ток в цепи равен току до момента отключения источника тока.

131

Поэтому согласно (13) при данных начальных условиях C = −I0R . Под-

ставляя С в (13), получаем функцию тока от времени при размыкании цепи с индуктивностью в виде

Из формул (14) и (15) следует, что чем больше R/L, тем быстрее завершается переходный процесс при замыкании и размыкании цепи.

Электромагнитные колебания. LC-контур

Кроме механических колебательных систем, совершающих в процессе движения периодическое изменение состояний относительно равновесного, существуют колебательные системы, в которых осуществляется периодическое изменение состояния полевых структур, в частности электрического и магнитного полей. К таким колебательным системам относятся электрические цепи, включающие конденсатор емкости С и катушку с индуктивностью L.

Пример такого индуктивно-емкостного контура показан на рис. 2.5. Пусть в исходном состоянии ключ К разомкнут, а конденсатор С заряжен до напряжения U0, при котором энергия сосредоточенного в конденсаторе электрического поля равна

При замыкании ключа К конденсатор начинает разряжаться через индуктивность L. Ток разряда конденсатора вызывает появление магнитного поля индуктивности L (например, внутри соленоида с индуктивностью L). Так как ток во времени изменяется, на элементе L возникает ЭДС самоиндукции εс, полярность которой показана на рис. 2.5

где q – заряд конденсатора; dq – изменение заряда конденсатора или заряд, который протекает в цепи за время dt.

Пренебрегая для упрощения анализа активным сопротивлением цепи, согласно 2-му правилу Кирхгофа можем записать

где U – напряжение на конденсаторе в любой момент времени.

132

Уравнение (18) напоминает уравнение колебаний механических систем. Поэтому будем считать, что изменение заряда конденсатора можно описать гармоническим законом

лическая частота колебаний заряда; ϕ0 – начальная фаза колебаний.

От уравнения (19) можно перейти к уравнениям колебаний тока I и напряжения U для LC-контура:

смыслу сопротивлением. Оно названо волновым сопротивлением LC- контура. После полной разрядки конденсатора энергия магнитного поля индуктивности через ЭДС самоиндукции обеспечивает перезарядку конденсатора, т.е. снова переходит в энергию электрического поля. Так как энергия в LC-контуре превращается то в энергию электрического поля, то в энергию магнитного поля, колебания в контуре являются электромагнитными.

133

Магнитные свойства вещества

Вектор намагничивания. Определенными магнитными свойствами обладают все вещества, поэтому термин «магнетики» применим ко всем материалам.

Для объяснения магнитных свойств различных веществ рассмотрим действие магнитного поля на движущиеся заряды (электроны) в молекулах и атомах вещества, используя «орбитальную» модель движения Бора. Условно будем считать, что электрон в атоме движется со скоростью υG по круговой орбите. Это движение можно представить эквивалентным круговым током, которое формирует собственное магнитное поле в веществе. Орбитальный магнитный момент электрона

pMi = IS .

Вектор магнитного момента pM атома равен векторной сумме орбитальных моментов pGMi электронов в атоме

pGM = ∑z pGMi , i=1

где z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева.

Если вещество имеет молекулярное строение, то орбитальный магнитный момент молекулы равен векторной сумме орбитальных магнитных моментов атомов, входящих в состав молекулы.

Кроме орбитального магнитного момента электроны обладают собственным магнитным моментом – спином. Собственным магнитным моментом обладают также ядра атома.

Из этих магнитных моментов формируются полные магнитные моменты атомов и молекул, величина которых может быть равна нулю или больше, а ориентация – различной в пределах вещества.

При внесении магнетика во внешнее магнитное поле может происходить изменение ориентации существующих магнитных моментов атомов и молекул, а также появление несуществовавших в отсутствие внешнего поля магнитных моментов за счет изменения траекторий движения электронов в атомах. В результате этих эффектов в магнетике формируется собственное магнитное поле с индукцией Bc , которое складывается с внешним магнит-

ным полем, индукция которого Bвн. Вектор магнитной индукции BG в магне-

134

где χ – магнитная восприимчивость вещества, характеризующая как сильно

вещество реагирует на внешнее магнитное поле. Подставим (22) в (21)

BG = BGВН + χBGВН = BGВН(1+ χ)

вещества.

Упорядочение направлений векторов магнитных моментов pGm отдель-

ных атомов (молекул) магнетика, а также появление индуцированных магнитных моментовприналожении внешнего магнитного поля, приводитктому, что макроскопический объем приобретает определенный суммарный магнитный момент. Отношение этого суммарного моментакобъему вещества (магнетикаG ), помещенноговмагнитноеполе, называетсявекторомнамагничивания J

где n – число атомов или молекул, входящих в объем.

Вектор намагничиванияG G J связан с напряженностью магнитного поля H соотношением J = χH . В отличие от диэлектрической проницаемости веществ, которая всегда больше единицы, магнитная проницаемость может быть как больше единицы, так и меньше. По величине µ все вещества делятся на три группы: диамагнетики (µ < 1), парамагнетики (µ > 1) и ферромагнетики

(µ >> 1).

Диамагнетики. Суммарный магнитный момент атомов (молекул) диамагнитных веществ равен нулю. При помещении диамагнетика во внешнее магнитное поле возникает индуцированный магнитный момент микрочастицG . Суть этого явления заключается в следующем. Пусть в отсутствие Bвн электрон вращается по круговой орбите с радиусом r и для него выполняется условие

где Fц.с. – центростремительная сила, роль которой выполняет кулоновскаяG сила Fк; m – масса электрона; ω – угловая скорость. При наложении Bвн на

135

движущийся электрон начинает действовать также лоренцева сила FЛ = −e υ×G BGвн , которая

в рассматриваемом случае направлена по радиусу от центра окружности (рис. 2.6). Поэтому (25) запишется

Fц.с. = Fк − FЛ .

Очевидно, что появление лоренцевой Рис. 2.6 силы приведет к изменению угловой скорости

на ∆ω. С учетом этого запишем:

Подставим в (26) υ = rω и раскроем скобки

Так как из (25) Fk = mω2r , то mr∆ω2 – величина много меньшая других элементов равенства (27) и ею можно пренебречь. В результате

где знак «минус» означает, что ∆pM противоположен по направлению pM .

Так как для диамагнетиков суммарный магнитный моментG всех электронов (молекул) в отсутствие Ввн равен нулю, появление ∆pM и суммар-

ного ∆pGM для всех электронов атома свидетельствует о том, что возникает индуцированный в атоме (молекуле) ∆pM ; а значит и собственное магнит-

ное поле, индукция которого направлена против индукции внешнего поля. В результате индукция магнитного поля в диамагнетике меньше, чем индукция внешнего поля, а µ диамагнетиков меньше 1.

136

Зная ∆рМ для одного электрона, можно определить величину магнитной восприимчивости. Модуль ∆рМ(а) (для всех электронов атома (молекулы))

где N – число электронов в атоме; ri – радиус орбиты i-го электрона в атоме. Для всего объема вещества (N0 – атомов) можем записать:

Разделив суммарный магнитный момент вещества (диамагнетика) на объем вещества, получим величину вектора намагничения

Таким образом индуцированное магнитное поле в веществе приводит к снижению магнитного поля в веществе относительно внешнего поля.

Парамагнетики – вещества, в атомах (молекулах) которых магнитные

N

моменты электронов взаимно не скомпенсированы, т.е. ∑∆pM (a) не равен

i=1

нулю. Поэтому собственное магнитное поле возникает как за счет индуцированного магнитного поля (как в диамагнетиках), так и за счет ориентации существующих магнитных моментов. Магнитное поле, обеспечиваемое ориентацией магнитных моментов эквивалентных токов электронов сонаправлено с внешним магнитным полем. Таким образом для парамагнетиков

B = Bвн + В1 − В2 ,

где В1 – собственное магнитное поле, обусловленное ориентацией электронных орбит (магнитных моментов), а В2 – собственное магнитное поле, обусловленное изменением угловой скорости движения электронов на орбитах – ∆ω.

К парамагнетикам относят вещества, у которых В1 незначительно превышает В2, т.е. индукция магнитного поля в веществе незначительно превышает внешнее магнитное поле, поскольку µ ≥1.

137

Ферромагнетики – вещества, у которых суммарный магнитный момент электронов в атоме значителен, а ориентационная компонента собственного магнитного поля в веществе значительно превышает компоненту индуцированного магнитного поля. В ферромагнетиках молекулы (атомы) обычно объединены в группы, в которых магнитные моменты атомов (молекул) ориентированы одинаково (сонаправлены). Эти группы (области вещества) названы доменами (рис. 2.7). В отсутствие внешнего магнитного поля направления магнитных моментов доменов имеет случайный характер. При наложении внешнего магнитного поля происходит ориентация доменов, причем не всех при одинаковом Ввн и в неравной степени. Поэтому между Ввн и В существует нелинейная зависимость. Она определяется предысторией намагничивания ферромагнетика (магнитный гистерезис).

При намагничивании индукция возрастает от 0 донекоторого значения В (рис. 2.8). При увеличении Ввн (от нуля) изменение индукции В в ферромагнетике характеризуется кривой OL. Если уменьшать Ввн, то изменение индукции соответствует (качественно) кривой LM. При Ввн = 0 индукция В отлична от нуля. В этом состоянии ферромагнетик является постоянным магнитом. Чтобы уничтожить отстаточное намагничивание, приходится создавать внешнее поле сВвн, направленнымпротивоположнопервоначальному.

Напряженность магнитного поля, при которой В = 0, называют задерживающей или коэрцетивной силой Вк. При последующем изменении индукции внешнегополяВвн индукцияВизменяется, образуяпетлюгистерезиса(рис. 2.8).

В зависимости от значения коэрцетивной силы ферромагнетики делят на мягкие и жесткие.

Мягкие ферромагнетики имеют узкую петлю гистерезиса и малые значения коэрцетивной силы. Для жестких ферромагнетиков характерны широкая петля гистерезиса и соответственно большие значения коэрцетивной силы.

Площадь петли гистерезиса характеризует работу, которую необходимо совершить для перемагничивания ферромагнетика.

138

Если в процессе использования ферромагнетик должен перемагничиваться в переменном магнитном поле, то целесообразнее использовать мягкие ферромагнетики, площадь петли гистерезиса которых мала. Из мягких ферромагнетиков изготовляют сердечники трансформаторов, генераторов, электродвигателей. Из жестких ферромагнетиков изготавливают постоянные магниты.

При нагревании веществ возрастает энергия теплового движения молекул (атомов) вещества; степень ориентации их магнитных моментов снижается. В результате у парамагнетиков и ферромагнетиков снижается вектор намагничивания их во внешнем магнитном поле и, следовательно, снижается относительная магнитная проницаемость µ. При соответствующих температурах ферромагнетики могут превращаться в парамагнетики. Соответствующие такому превращению температуры называются точкой Кюри (Тк).

К диамагнетикам относятся: вода, мрамор, золото, ртуть, медь, инертные газы. К парамагнетикам относятся: щелочные металлы, кислород, алюминий, платина. К мягким ферромагнетикам относятся: железо, пермаллой (сплав) и другие материалы. К жестким ферромагнетикам относятся некоторые стали и специальные сплавы (например – самарий-кобальтовые).

2.2.Вопросы для самоконтроля

1.В чем заключается явление электромагнитной индукции?

2.Что является причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре? От чего и как зависит ЭДС индукции, возникающая в контуре?

3.Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый проводник в виде одного витка провода?

4.Сформулируйте правило Ленца для индукционного тока, проиллюстрировав его примерами.

5.Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в однородном магнитном поле?

6.Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?

7.В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции?

8.Когда ЭДС самоиндукции больше – при замыкании или размыкании цепи постоянного тока?

9.Напряженность магнитного поля возросла в 2 раза. Как изменилась объемная плотность энергии магнитного поля?

10.Что такое диамагнетики? Парамагнетики? В чем различие их магнитных свойств?

11.Объясните петлю гистерезиса ферромагнетика.

12.Каков механизм намагничивания парамагнетиков и ферромагнетиков?

13.Что скрывается под физическим понятием «точка Кюри»?

139

2.3. Методические указания к практическим занятиям

140