умк_Вабищевич_Физика_ч

Если проводник имеет произвольную форму и поле неоднородно, то выражение (5) принимает вид

где dlG – малый участок проводника, имеющий направление, совпадающее с направлением тока.

ние силы. Зная направление и модуль силы, действующей на любой участок dli проводника, можно определить силу, действующую на весь проводник. Для этого определяется векторная сумма сил dF, действующих на все участки проводника:

101

силы Fl, которые взаимно скомпенсированы. На каждую из вертикальных сторон а действует сила Fa = IBa . Эти силы создают пару сил, вращающий

где ϕ – угол между вектором B и плоскостью контура.

Момент сил стремится повернуть контур так, чтобы поток Ф, пронизывающийконтур, былмаксимальным. Подставляяв(7) выражениедлясилы, имеем

M = IBal cosϕ

В векторной форме соотношение (8) имеет вид

M = pGm , BG .

Напряженность магнитного поля. Закон Био – Савара – Лапласа

Опыт показал, что если магнитное поле создается в различных средах, то магнитная индукция зависит от вещества, в котором возбуждается магнитное поле.

Величина, показывающая, во сколько раз магнитная индукция в данной среде больше или меньше, чем в вакууме (воздухе), называется относительной магнитной проницаемостью среды:

µ = B .

B0

Относительная магнитная проницаемость – безразмерная величина. Величина, характеризующая магнитное поле и не зависящая от среды,

Единица напряженности магнитного поля – ампер на метр (А/м).

102

Индукциямагнитногополявсредесмагнитнойпроницаемостьюµ равна

(9)

Векторное произведение dl ×rG показывает, что вектор dHG перпен-

дикулярен плоскости, образуемой векторами dl и r . Чтобы найти напряженность поля, создаваемого всем проводником, применяется принцип супер-

i=1

где n – общее число участков, на которые разделен проводник с током.

ПрименениезаконаБио– Савара– Лапласакрасчетумагнитногополя

Определим напряженность поля, создаваемого прямолинейным бесконечным проводником с током в точке С, находящейся на кратчайшем расстоянии R от проводника. Выделим на проводнике с током I элемент тока (рис. 1.6) и проведем радиус – вектор r в точку С. Для определения напряженности поля используем закон Био – Савара – Лапласа в скалярной форме (рис. 1.6). Для элемента dl закон Био – Савара – Лапласа имеет вид (в системе СИ)

Из рис. 1.6 следует, что

r = sinRα ; dl = sindSα = sinrdαα .

103

Магнитное поле кругового тока

Пусть ток протекает по окружности (кольцевому проводнику) (рис. 1.7). Вэтомслучаевсеэлементыdl проводникаперпендикулярнырадиус– вектору r ,

104

Для проводников, не образующих замкнутое кольцо, но имеющих определенный радиус кривизны, выражение (16) преобразуется к виду

H = 2IR f ,

где f – доля, которую составляет длина проводника от всей длины окружности с радиусом кривизны проводника.

Магнитное поле движущегося заряда

Напряженность магнитного поля движущегося заряда также можно определить, используя закон Био – Савара – Лапласа. Для этого ток в выражении (12) необходимо выразить через заряд. Силу тока можно оценить через плотность тока j и площадь S поперечного сечения проводника (I = jS), а плотность тока j – через концентрацию n заряженных частиц и скорость их направленного движения (j = nqυ, где q – заряд частицы). Таким образом

Idl = jSdl = nqυSdl = nqdV υ = Nqυ,

где dV – объем элемента проводника dl, N – полное число частиц в отрезке dl проводника.

Согласно (12)

= Nqυsin α dH 4πr2 ,

а напряженность поля, создаваемого одной заряженной частицей в момент времени, соответствующий расстоянию r между зарядом и точкой С (см. рис. 1.6) в скалярнойформе

В векторной форме (17) запишется в виде

105

Формула (18) определяет H для положительного заряда, движущегося со скоростью υG. Для отрицательного заряда направление изменяется на противоположное.

Закон полного тока

Циркуляцией вектора напряженности H по произвольно выбранному замкнутому контуру называется интеграл

где Hl – проекция вектора напряженности H в некоторой точке контура

циркуляции на элемент dl; dlG – вектор элемента длины выбранного контура циркуляции, направленный в направлении обхода контура.

Hl = H cosα,

В электрическом поле (потенциальном) циркуляция вектора EG вдоль замкнутого контура равна нулю (признак потенциального характера электрического поля):

∫Edl = 0 .

L

Если в магнитном поле контур циркуляции выбрать вдоль силовой линии В, то, учитывая вихревой характер поля, можно утверждать, что v∫ Hldl ≠ 0 . Например, силовые линии бесконечно длинного прямолинейного

проводника представляют собой концентрические окружности, охватывающие проводник. В каждой точке этого контура вектор H одинаков по модулю. Следовательно, циркуляциявектора H поданномуконтуруравна

где r0 – радиус выбранной силовой линии, т.е. окружности, в каждой точке которой H = 2πIr0 .

106

Соотношение (20) справедливо для любого произвольно выбранного контура циркуляции и является частным случаем закона полного тока, который в общем случае записывается в виде

i=1

где правая часть равенства – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром циркуляции.

Положительным считается ток, направление которого совпадает с обходом контура, проводимым по правилу правого винта. Ток противоположного направлениясчитаетсяотрицательным.

Выражение (21) справедливо для бесконечно длинных проводников с током. Это ограничение снимается более строгой формулировкой закона полного тока, который может быть применен и к проводникам конечной длины. Прежде чем привести эту формулировку, следует отметить, что проводник, который создает напряженность магнитного поля в некоторой точкеG С, всегда является элементом замкнутой цепи. Поэтому определяя H в точке С, мы должны учитывать все элементы этой цепи. Это может быть достигнуто, если закон полного тока сформулировать следующим образом: циркуляция вектора H по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, пересекающих любую поверхность, опирающуюся на этот контур. При этой формулировке приходится учитывать и проводники, подводящие и отводящие заряды от некоторого элементаG (ограниченной длины) цепи с током, вклад которого в формирование H в точке С мы пытаемся определить.

Магнитное взаимодействие токов

107

нитного поля, создаваемого первым проводником в месте нахождения второго проводникаG ).

Вектор B направлен перпендикулярно току I, поэтому sin α =1. Учитывая это, находим

dFi = µ2µπ0dI1 I2dl2i .

Применяя правило левой руки, определяем направление этой силы. Чтобы определить силу F21, т.е. силу, действующую со стороны проводника 1 на проводник 2, нужно просуммировать все элементарные силы dFi:

Сила, с которой проводник 1 действует на проводник 2, согласно третьему закону Ньютона, численно равна силе, с которой проводник 2 действует на проводник 1.

Если по проводникам текут токи в одинаковых направлениях, то проводники притягиваются, а если в противоположных – отталкиваются.

Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

Iствием этой силы проводник l за некоторое время пе-

реместится на расстояние dx. Элементарная работа

Работа, совершаемая при перемещении проводника с током в магнитном поле, равна произведению силы тока на магнитный поток сквозь поверхность, описываемую проводником при его движении. G

В более общем случае, когда I есть функция времени или B в про-

странстве движения проводника изменяется, работа перемещения определяется интегрированием (23), в которой В или (и) I записываются в виде соответствующих функций. Например, пусть по длинному проводнику М и

108

Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

Силу действия магнитного поля на движущийся заряд можно найти исходя из закона Ампера. Пусть по проводнику длиной dl за промежуток времени dt проходит n элементарных зарядов величиной q, т.е. через про-

водник протекает ток, сила которого I = nqdt .

Согласно закону Ампера, на nq зарядов будет действовать сила dF = BIdl sin α = B nqdt dl sin α .

Сила, с которой поле действует на каждый заряд, равна

FЛ = dFn = Bq dtdl sin α,

где dldt = υ – скорость движения заряда; α – угол между вектором скорости υ и вектором магнитной индукции B .

109

Сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущийся заряд, равна (в скалярной и векторной формах)

входит в ладонь, большой палец показывает направление силы. С изменением знака заряда направление силы изменяется на противоположное.

Из (23) можно сделать выводы:

– если скорость заряда равна нулю (υ = 0), то FЛ = 0, т.е. магнитное поле не действует на неподвижную заряженную частицу;

– если α = 0, sinα = 0, то FЛ = 0, т.е. если частица движется так, что вектор скорости υG частицы параллелен вектору магнитной индукции B , то магнитное поле на движение заряда не действует.

Так как сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору скорости частицы, то она не изменяет величину скорости, а изменяет лишь направление движения частицы, т.е. по физической сути является центростремительной силой. Действие этой силы не приводит к изменению энер-

Если частица движется под углом β к линиям B , то траекторией ее движения будет винтовая линия (спираль) (рис. 1.12). Шаг h спирали опре-

110