умк_Вабищевич_Физика_ч

т.е. сила имеет две составляющие: от воздействия магнитного и электрического полей. Между этими составляющими имеется принципиальная разница. Электрическое поле изменяет величину скорости и кинетическую энергию частицы, а однородное магнитное поле изменяет только направление движения.

Совместное действие на заряженные частицы электрического и магнитного полей используется для определения удельного заряда q/m частицы в приборах, называемых масс-спектрометрами. Измерение q/m для ионов является важнейшим и наиболее точным методом определения атомных масс и широко применяется в современной физике.

Эффект Холла

Американский ученый Э. Холл в 1880 году обнаружил, что в проводнике, помещенном в магнитное поле, при определенных условиях возникает разность потенциалов между его противоположными поверхностяG - ми, параллельными направлению вектора магнитной индукции B и тока I. Опыты показали, что разность потенциалов U определяется равенством

где k – постоянная Холла, зависящая от рода вещества; j – плотность тока

111

давая на ней избыточный отрицательный заряд и потенциал (рис. 1.13). На нижней плоскости остается нескомпенсированный положительный заряд атомов кристаллической решетки, и потенциал S2 становится положительным. Электрическое поле Е, возникающее в проводнике, действует на

электроны с силой FE. Условие F(E) = F(Л) обеспечивает постоянство раз-

ности потенциалов U, равной U = Ed . С учетом равновесия сил FЛ и FE можно записать: U = υBd . Скорость электронов υ можно выразить через плотность тока j. Так как j = neυ, получим

U = ne1 jBd .

Сравнивая это выражение с (25), получаем k = ne1 .

Таким образом постоянная Холла зависит от концентрации электронов в проводнике. Следовательно, через постоянную Холла можно определить концентрацию электронов проводимости в проводнике.

1.2.Вопросы для самоконтроля

1.Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?

2.Что называют индукцией магнитного поля? Как определяют направление вектора магнитной индукции B ?

3.Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока.

4.Что такое линии магнитной индукции? Как определяется их направление? Чемониотличаютсяотлинийнапряженностиэлектростатическогополя?

5.Почему магнитное поле является вихревым?

6.Как вычислить силу взаимодействия между протяженными проводниками с током?

7.Как взаимодействуют между собой тонкие прямолинейные параллельные проводники с током?

8.Сформулируйте закон Био – Савара – Лапласа.

9.Как вычислить вектор магнитной индукции магнитных полей линейных токов?

10.Вычислите магнитную индукцию поля бесконечно прямого проводника

стоком.

112

11.Вычислитемагнитнуюиндукциюполянаосиквадратногоконтурастоком.

12.Когда целесообразно использовать закон полного тока для определения индукции магнитного поля?

13.Что такое поток вектора магнитной индукции?

14.Получите и поясните формулу для силы Лоренца.

15.Опишите движение заряженной частицы в магнитном поле.

16.Когдазаряженнаячастицадвижетсявмагнитномполепоспирали? Отчего зависитшагспирали? (Ответыподтвердитевыводамиформул).

17.Опишите поведение рамки с током в магнитном поле.

18.Как определяется работа, совершаемая силой Ампера при перемещении замкнутого контура в магнитном поле?

19.Поясните, как рассчитать индукцию магнитного поля, создаваемого в некоторой точке проводником произвольной формы.

20.В чем заключается эффект Холла? Выведите формулу для холловской разности потенциалов.

1.3. Методические указания к практическим занятиям

1.3.1.Перечень типовых задач

1.Определение индукции магнитного поля, создаваемого проводником

стоком произвольной формы, в любой точке пространства.

2.Движение зарядов в магнитном поле.

3.Взаимодействие проводников с током с магнитным полем.

4.Определение магнитного поля распределенных токов.

1.3.2.Методические рекомендации

1. При решении задач первого типа рекомендуется на одной или двух задачах довести закон Био – Савара – Лапласа до «инженерной» формулы; научиться применять правило буравчика и принцип суперпозиции полей от элементов проводника; обосновать равенство нулю индукции магнитного поля в точке, лежащей на проводнике.

«Инженерный» вариант закона Био – Савара – Лапласа закрепить применением его при решении 1-й и 2-й задач.

Особое внимание следует уделить определению магнитного поля, создаваемого «эквивалентными токами» движущихся зарядов при движении заряженных тел на примере задач с движением тел с распределенными зарядами (линейными, поверхностными, объемными).

113

2. При решении задач второго типа рассмотреть задачи для электронов и положительных зарядов на определение силы Лоренца. Закрепить навыки решения задач на движение зарядов решением задач на эффект Холла, определяя ЭДС (Холла) или концентрацию свободных зарядоносителей.

3. При решении задач третьего типа целесообразно подчеркнуть, что проводники могут быть замкнутыми или нет; уточнить характер действия магнитного поля на каждый из видов проводников (вращающий момент или перемещение) на основе определения сил Ампера; определить работу, затраченную на движение или вращение проводника (замкнутого). При этом необходимо научиться определять работу в неоднородном магнитном поле. Движение заряженных тел могут создавать эквивалентные (замкнутые) токи, поэтому необходимо подчеркнуть, что такое движение макрозарядов сопровождается совершением работы. Уяснить, откуда берется энергия для совершения работы, если магнитное поле не может изменять энергию зарядов.

Необходимо также ознакомиться с тем, что определяет энергию проводника с током (замкнутого) в магнитном поле.

4. При решении задач четвертого типа необходимо уяснить, что такое распределенные токи, вспомнить понятие плотности токаG. Необходимо научиться выбирать рациональный вид контура циркуляции B для упрощения процедуры нахождения циркуляции. Целесообразно показать применение закона полного тока на примере соленоида и проводниках конечного сечения, проводников из различных материалов, объединенных в один проводник.

1.4. Примеры решения задач

Пример 1.

По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом. Определите индукцию магнитного поля, создаваемого токами в точке А, лежащей посередине между проводами в случаях: а) проводники параллельны и токи текут в одном или в разных направлениях (рис. 1.14); б) проводники перпендикулярны, направления токов показаны на рис. 1.15.

Решение. Результирующаяиндукциямагнитногополявданнойточкеравна векторнойсуммеиндукцийполей, создаваемыхкаждымтокомвотдельности:

где BG1 и BG2 – индукции полей, создаваемых соответственно токами I1 и I2.

114

B2

Если токи текут по параллельным проводникам в одном направлении, то, применив правило правого винта, определяем направления B1 и BG2 . Как видно из рис. 1.14, а B1 и B2 направлены в противоположные сто-

роны, поэтому векторная сумма (1) в данном случае может быть заменена алгебраической:

Индукция полей, создаваемых бесконечно длинными проводниками

где r1 и r2 – соответственно расстояния от проводников до точки, в которой определяется индукция магнитного поля.

Если токи текут в противоположных направлениях (см. рис. 1.14, б), то очевидно:

B = µπ0rI .

В случае, когда проводники перпендикулярны (рис. 1.15), результирующая индукция в точке, лежащей посередине между проводниками, равна

B1 = B12 + B22 ;

Рис. 1.15

115

Пример 2.

Прямолинейный проводник изогнут в виде прямого угла со стороной 20 см. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом 10 см так, что стороны угла являются касательными к кольцевому проводнику (рис. 1.16, а). Найдите индукцию в центре кольца. Сила тока в проводниках равна 2 А. Влияние подводящих проводов не учитывать.

I α2

Рис. 1.16

Решение. Индукция dB в точке поля от элемента проводника dl с током I (проводник имеет произвольную конфигурацию) определяется по закону Био – Савара – Лапласа:

окружности (рис. 1.16, а) векторы индукции от всех элементов перпендикулярны плоскости окружности и направлены на нас. Интегрируя выражение (1), получаем индукцию в центре окружности радиусом r0

116

Индукция, создаваемая в точке М конечным отрезком АВ прямого проводника на расстоянии r0 от него (см. рис. 1.16, б)

B2 = µπ0I (cosα1 −cosα2 ) . 4 r0

Эту формулу в некоторых случаях удобнее записать в виде

Вектор индукции в точке М перпендикулярен плоскости, в которой лежат проводник АВ и r0, и совпадает по направлению с B1.

По условию задачи β1 =β2 = 45D. Индукция от двух сторон угла

Так как направления создаваемых проводниками векторов индукции полейG совпадаютG G , то результирующая индукция в центре кольца равна сумме

B = B1 + B2 или

Пример 3.

Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля 0,01 Тл, радиус траектории r = 2 см. Определите удельный заряд электрона.

Решение. Удельным зарядом частицы называется величина, равная отношению заряда к массе, т.е. e/m.

В магнитном поле с индукцией B на заряд, движущийся со скоростью υG перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца FЛ = Beυ. Под действием этой силы заряд перемещается по дуге окружно-

сти. Так как при этом сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, то согласно второму закону Ньютона

Beυ = mrυ2 .

117

За счет работы А сил электрического поля (А = eU) электрон приоб-

ретает кинетическую энергию, равную m2υ2 , поэтому

m2υ2 = eU .

Преобразовав последние два соотношения и исключив из них скорость, получим формулу для определения удельного заряда электрона

me = B22Ur2 ;

Пример 4.

Виток радиусом 2 см, по которому течет ток силой 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определите работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90° вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка силы тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент

где pm = IS = Iπr2 – магнитный момент витка; В – индукция магнитного поля; α – угол между векторами pm и B .

В начальном положении согласно условию задачи витокG свободно установился в магнитном поле. Следовательно, векторы pm и B совпадают

по направлению, т.е. α = 0 и М = 0.

При действии внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемых формулой (1). Момент сил стремится возвратить виток в исходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента, который является переменным и зависит от угла поворота α:

dA = Mdα ;

dA = Iπr2Bsin αdα.

118

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:

A =10 А 3,14 4 10−4 м2 1,5 Тл =18,84 10−3 Дж ≈ 0,02 Дж.

Пример 5.

Ток I = 10 А течет по стержню диаметром 1 см. Определите зависимость В магнитного поля, создаваемого током, от расстояния, измеряемого от центра стержня (рис. 1.17).

Решение. При решении этой задачи целесообразно воспользоваться теоремой полного тока v∫ Bldl =µ0I .

ток; вторая – в ней ток не течет.

v∫ Bldl = B(r) 2πr .

Ток, охватываемый контуром циркуляции, равен

I(r) = jπr2

и теорема полного тока запишется в виде:

B(r) 2πr = µµ0 jπr2 .

Так как j = πdI 2 , получим B(r) = 42µπµd02Ir = 2µµ0I πdr 2 ,

4

где r – текущая координата.

Для второй зоны: контур циркуляции также выбираем в виде окружности и, как и для зоны первой, циркуляция запишется в виде

119

v∫ Bldl = B(r) 2πr . Но какой бы радиус r контура циркуляции не был взят

l

для этой зоны, они будут охватывать все ток I. Поэтому

B(r) 2πr = µ0I .

Отсюда

B(r) = µ2π0Ir .

Строим зависимость В от r (рис. 1.18). Величину Вmax находим из любого соотношениядляВ, подставляявместоr величинурадиусапроводника

Рис. 1.18

Видим, что функция В от r на границе проводника терпит разрыв, определяемый величиной µ.

Пример 6.

Тонкий стержень длиной l, заряженный с линейной плотностью заряда τ, вращается с угловой скоростью ω. Ось вращения перпендикулярна стержню и проходит на расстоянии а от одного из его концов. Определить индукцию магнитного поля в точке А и создаваемый стержнем магнитный момент (рис. 1.19).

120