умк_Вабищевич_Физика_ч
.2.pdfВыражение для скорости распространения продольных волн в стержне
uII = |
E |
, |
(11) |
|
ρ |
|
|
где E – модуль Юнга.
В изотропном твердом теле по любому направлению могут распро-
страняться продольная упругая волна со скоростью uII |
= |
E |
и две попе- |
||
|
|||||
|
|
|
|
ρ |
|
речные волны со скоростью u = |
σ . |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
Скорость |
поперечных волн меньше скорости |
продольных волн |
|||
(u < uII ). Так, |
для стали uII ≈ 6000 м/с, u 3000 м/с. Эти различия в |
скоростях используют, например, для определения положения эпицентра землетрясений в сейсмографах.
В жидкостях возможно распространение лишь продольных волн. Скорость их распространения определяется формулой
uII = |
k |
, |
(12) |
|
ρ |
|
|
где k – модуль всестороннего сжатия, ρ– плотность жидкости (например, в
воде uII ≈1450 м/с).
Скорость распространения продольных волн в газообразной среде (звук) определяетсявыражением
|
|
uII = γ |
P |
, |
(13) |
|
ρ |
||||
|
|
|
|
|
|
где γ = |
C p |
отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и тепло- |
|||
|
|||||
|
Cv |
|
|
|
емкости газа при постоянном объеме (показатель адиабаты), P и ρ – давление и плотность невозмущенного газа. С учетом уравнения Менделеева –
Клапейрона Pρ = RTµ (µ – молярная масса газа, Т – абсолютная температура,
R – универсальная газовая постоянная) выражение (13) принимает вид
|
|
uII = γ RT |
= υ |
πγ |
, |
(14) |
|
|
µ |
|
8 |
|
|
где υ = |
8RT |
– средняя скорость теплового движения молекул газа. |
|
|||
|
µ |
|
|
|
|
|
161
При нормальных условиях скорость звука в воздухе составляет uII ≈340 м/с.
Отдельную группу представляют волны на поверхности жидкости. Распространение таких волн обусловлено действием сил тяжести и поверхностного натяжения. Роль этих сил различна для волн разной длины: для достаточно коротких волн, когда кривизна поверхности жидкости велика, преобладающими являются силы поверхностного натяжения, а в случае длинных волн этими силами можно пренебречь. В первом случае волны на воде называются капиллярными и представляют собой мелкую рябь. Во втором случае волны называются гравитационными.
Для определения скорости капиллярных волн uσ воспользуемся ме-
тодом анализа размерности. Физическими величинами, от которых может зависеть скорость таких волн, являются коэффициент поверхностного на-
тяжения σ |
кг |
|
, плотность воды ρ |
кг3 |
, длина волны λ |
[м]. Связь |
|
2 |
|||||
м с |
|
|
м |
|
|
этих величин со скоростью капиллярной волны запишем в виде уравнения uσ =Cσxρyλz ,
гдеС– некоторыйкоэффициентпропорциональности, (x, y, z) – показателистепени, которыедолжнысогласоватьразмерностилевойиправойчастейуравнения
|
|
x |
= 1 , y = z = − |
1 . |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
м |
|
кг |
|
х |
кг y |
|
|||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
3 мz . |
|
||
|
сек |
м сек |
2 |
м |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uσ = C |
σ |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ρλ |
|
|
|
|
|
|
Точный расчет дает C = |
2π и uσ |
= |
|
2πσ |
. |
(15) |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρλ |
|
При рассмотрении гравитационных поверхностных волн предполо-
жим, что скорость их распространения ug зависит от объема воды, вовле-
ченного в волновой процесс (от глубины водоема h), ускорения свободного падения g и, возможно, от соотношения глубины и длины волны С (коэффициент пропорциональности). Метод размерности дает выражение
ug = C gλ .
162
Параметр С нельзя определить из анализа размерностей. Параметр С учитывает тот факт, что на очень глубокой воде, когда λ << h , скорость волны не может зависеть от глубины водоема, т.е. волна не возмущает глубинные слои воды. На очень мелкой воде, когда h << λ, скорость распространения волны не должна зависеть от длины волны.
Впервом случае: λ << h , f λ ≈ С. Следовательно
h
u |
g |
= C |
gλ , где C = |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Во втором случае: h << λ, |
f |
|
λ |
= C |
|
h |
, и u |
|
= C |
gh , где C |
|
=1. |
||||
|
|
|
|
g |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае скорость распространения капиллярно-гравитационных волнопределяется выражением
u = uσ2 +ug2 .
Анализ показывает, что на поверхности воды не могут существовать волны, распространяющиеся со скоростью меньшей, чем 23,2 см/с.
Капиллярные волны на поверхности воды – это рябь с длиной волны менее 1 см. Поэтому обычные волны, которые мы наблюдаем на поверхности воды, имеют гравитационную природу. Причем, поскольку скорость их распространения зависит от глубины водоема, то в открытом океане (где глубина достигает нескольких километров) скорость их распространения может достигатьсотенметроввсекунду(т.е. волнабежитсоскоростьюсамолета).
Дисперсия волн
Под дисперсией волн понимают зависимость скорости распространения волн в среде от длины волны. Дисперсия обнаруживается в ряде физических явлений, в частности в зависимости коэффициента преломления волн на границе диспергирующих сред, в формировании волновых групп, движущихся в среде со скоростью, отличающейся от фазовой скорости волн.
Рассмотрим процесс формирования волновой группы в результате дисперсии. Пусть (для простоты рассмотрения) две волны с близкими длинами волн λ и λ + ∆λ распространяются в диспергирующей среде (рис. 1.4) с фазовыми скоростями u и u + ∆u . Пусть в некоторый момент времени в некоторой точкесреды фазы волн Ри Р1 совпадают (рис. 1.4). Если для этого момента времени осуществить сложение волн (в соответствии с принципом супер-
163
позиции) в направлениях распространения и обратном, то за счет разности длин волн сдвиг фаз волн в некоторых точках оси х слева и справа от х0 достигает величины π. В этом случае смещения точек среды от равновесного положения будут складываться в противофазе и результирующее смещение будет минимальным. В то же время в точке х0 результирующее смещение будет максимальным. Таким образом формируется волновая группа с центром в х0. Подобная группа может сформироваться и в недиспергирующей среде.
Так как волна ( λ + ∆λ) распространяется с большей скоростью (u + ∆u ), как мы приняли, через время τ фаза точки Р обгоняет фазу Р1. Пусть при этом совпадут фазы точек Q и Q1. Это означает, что центр волновой группы сместится за время τ на длину волны λ. Поэтому скорость перемещения центра волновой группы (группо-
вая скорость) uг меньше скорости вол-
Рис. 1.4
ны (λ) – фазовой скорости на λ/τ
uг = u − λτ .
Время τ, в течение которого точка Q1 догоняет Q, равно ∆λ∆u . Поэтому выражение для групповой скорости при ∆λ → 0 принимает вид
uг = u −λ du . |
(16) |
||
|
dλ |
|
|
В данном случае производная |
du |
описывает дисперсию, |
причем |
|
dλ |
|
|
в практике знак производной может быть любым. В этом случае различают
нормальную du/dλ > 0 и аномальную du/dλ < 0 дисперсии.
В качестве примера определим групповую скорость гравитационных волн на глубокой воде
dug |
= |
d |
(C gλ)= |
1 C |
g |
= |
1 |
ug |
; |
uг = ug − |
1 ug = |
1 ug . |
dλ |
dλ |
λ |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
2 λ |
|
2 |
2 |
Скорость распространения центра группы гравитационных волн на глубокойводеоказываетсявдвоеменьшескоростимонохроматическихволн.
164
Таким образом, при наличии дисперсии группа как целое движется с иной скоростью, чем входящие в ее состав монохроматические волны (горбы и впадины). Это возможно потому, что в процессе распространения группа волн «живет»: на одном конце группы возникают новые горбы, а на другом горбы угасают.
Энергия упругой волны
При распространении волн происходит передача энергии без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии частиц вещества, совершающих небольшие колебания, и из потенциальной энергии упругой деформации среды. Связь энергии с параметрами волнового процесса и среды рассмотрим на примере волны, распространяющейся вдоль упругого стержня. Такая волна описывается уравнением
ξ= acosω t − x .
u
Выделим в стержне малый элемент длины между плоскостями х и х+ ∆х так, что ∆х<< λ . В этом случае скорости всех частиц можно считать одинаковыми
|
∂ξ |
|
x |
|
u = |
∂t |
= −ωasin ω t − |
|
. |
|
||||
|
|
u |
Масса выделенного элемента стержня ∆m равна ρS∆x (где S – площадь сечения стержня, ρ – плотность материала стержня), поэтому его кинетическая энергия ∆Eк в момент времени t
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
x |
|
∆Ек = |
2 |
∆mu |
|
= |
2 |
ρS∆xω a |
|
sin |
|
ω t − |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
Плотность кинетической энергии в точке x в момент времени t
ω = ∆Ек |
= 1 |
ρω2a2 sin2 |
ω t − |
x |
. |
||
|
|||||||
к |
S∆x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
Поскольку длина выделенного элемента стержня мала по сравнению с длиной волны, то вызываемую волной деформацию элемента можно считать однородной. Поэтомупотенциальнуюэнергиюдеформации ∆En можнозаписать
∆E |
= 1 k(∆ )2 |
= 1 S∆xE |
|
∆ 2 |
, |
n |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
∆x |
|
165
где ∆ – удлинение рассматриваемого элемента стержня ∆x , вызванное про-
ходящейволной, E – модульЮнга. Вобщемвидедля ∆ |
можнозаписать |
||||||||||||||
∆ = ξ(t x + ∆x)−ξ(t x) |
и ∆ = |
ξ(t1x + ∆x)−ξ(t1x) |
. |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
∆x |
|
|
|
|
∆x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поэтому, переходя к пределу ∆x → 0 , получаем производную |
|||||||||||||||
|
∆ |
|
∂ξ |
|
|
ω |
|
|
|
x |
|
|
|||
|
∆x |
→ |
∂x |
= |
u |
asin ω t − |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
||||||
Тогда выражение для потенциальной энергии |
|
|
|||||||||||||
∆E |
= 1 S∆xE |
ωa 2 sin2 ω t − |
x |
|
, |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||||
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
а плотность потенциальной энергии в точке х и в момент времени t
ω = ∆En |
= 1 E |
ω2 |
a2 sin2 ω t − |
x |
. |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
n |
S∆x |
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
||||||
Поскольку скорость распространения продольных волн |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
u = |
|
|
E |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ωn = |
ρω a |
|
sin |
|
ω t |
− |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||
Суммарная плотность энергии (рис. 1.5) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
||||||
ω= ωn + ωk = ρω a |
|
|
|
sin |
ω t − |
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
асреднее значение вдоль направления распространения волны
ω= 12 ρω2a2 .
Необходимо отметить, что в отли- |
|
чие от локализованных колебаний (на- |
|
пример, осциллятор), где кинетическая |
|
и потенциальная энергия изменяются в |
|
противофазе, в бегущей волне колеба- |
|
ния потенциальной и кинетической |
|
энергии происходят в одинаковой фазе. |
|
Это общее свойство бегущих волн, рас- |
|
пространяющихся в определенном на- |
|
правлении. Такое утверждение справед- |
Рис. 1.5 |
ливо также для поперечных волн. |
|
166
Энергия бегущей волны не остается локализованной. Она перемещается вместе с волной со скоростью u. Имея выражения для объемной плотности энергии ω, можно определить поток энергии ∆Ф, переноси-
мой волной за единицу времени через произвольную площадку ∆S , перпендикулярную направлению распространения волны ∆Ф = ωu∆S Величина
j = ddSФ = ωu носит название плотности потока энергии волны. Поскольку
скорость u – векторная величина, то плотность потока энергии волны также векторная величина, которая получила название вектора Умова:
j =ωu . |
|
Среднее значение модуля вектора Умова |
|
1 |
|
j = ω u = 2 ρa2ω2u . |
(17) |
При произвольной ориентации площадки ∆S (единичного вектора n , |
|
нормального к плоскости площадки) относительно вектора Умова j |
поток |
через нее будет равен |
|
∆Ф = j∆S = j∆S cosα = ju∆S = jn∆S . |
|
Полный поток через поверхность S определяется интегралом |
|
Ф = ∫ jndS . |
(18) |
S |
|
Для примера, определим поток энергии через сферическую поверхность S, переносимый сферической волной, распространяющейся из центра сферы. В этом случае во всех точках поверхности величина jn одинакова и
равна j. Поэтому
Ф = j4πr2 ,
где r – радиус сферической поверхности S. Подставим вместо j среднее значение 12 ρa(r )2 ω2u
Ф = 12 ρa(r )2 ω2u4πr2 .
Поскольку средний поток энергии через сферу любого радиуса одинаков (Ф = const ), из последнего соотношения следует, что a(r )= constr .
Поэтому для сферической волны мы ранее записали
|
a |
|
|
x |
|
ξ = |
0 |
sin ω t − |
|
. |
|
r |
|
||||
|
|
|
u |
167
Принцип Гюйгенса
Каждая точка пространства, до которой дошел фронт волны, сама становится источником вторичной сферической волны с параметрами, соответствующими параметрам первичной волны.
Отражение и преломление упругих волн
При распространении упругой волны в неоднородной среде направление и распространение, вообще говоря, меняется. В простейшем случае двух однородных сред, отделенных одна от другой плоской границей раздела, волна частично отражается, частично преломляется на этой границе (рис. 1.6). В ре-
Рис. 1.6 зультате возникает две новые волны – отра-
женная и преломленная, направления кото-
рых отличаются от направления падающей волны. На основе принципа Гюйгенса могут быть получены закон отражения:
α = α/
и закон преломления |
|
|
|
υ1 sinβ = υ2 sin α, |
(19) |
||
где α – угол падения, α/ – угол отражения, β – угол преломления, υ и υ |
2 |
– |
|
1 |
|
|
скорости волны в первой и второй средах соответственно.
Отражение волны от границы раздела сред требует отдельного рассмотрения. При падении плоской монохроматической волны на границу раздела возникает также плоская волна, распространяющаяся в обратном направлении с такой же по модулю скоростью u. Запишем уравнение падающей волны
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ξ = acos ω t − |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
и уравнение отраженной волны ξ/ = a cos ω t + |
|
|
+ δ |
, где |
δ – дополни- |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
тельная разность фаз, возникающая в результате отражения. Колебания любой точки среды есть результат сложения гармонических колебаний, вызываемых падающей и отраженной волнами (рис. 1.7). Если среда, в которой распространяется падающая волна, оказывается менее плотной, чем среда,
168
от которой происходит отражение (например, конец струны закреплен), то складываемые колебания в этой точке (точке закрепления) должны погасить друг друга.
Рис. 1.7
Таким образом, колебания должны происходить в противофазе. В этом случае δ = π, ауравнениеотраженнойволны
|
|
x |
|
ξ/ = −acos ω t + |
|
. |
|
|
|||
|
|
u |
Напротив, если конец струны свободен (плотность среды, в которой распространяется падающая волна, выше, чем плотность среды за границей раздела), то амплитуда результирующих колебаний в точке закрепления должна быть максимальной. Таким образом, в этом случае отраженная и падающая волны имеют одинаковые фазы (δ = 0).
Законы отражения и преломления справедливы только при условии, что протяженность границы раздела значительно превышает длину волны λ. Если это условие не выполняется, то существенное значение начинает играть дифракция волн, которая проявляется в огибании волнами препятствия. Представим, что плоская волна приближается к преграде, имеющей небольшое отверстие, которое можно считать точечным (рис. 1.8). Максимумы приходящей волны производят периодическое возмущение в отвер-
стии преграды. Это возмущение |
|
порождает сферическую волну со- |
|
гласно принципу Гюйгенса. Волно- |
|
вая картина, возникающая за пре- |
|
градой, состоит из набора полукру- |
|
говых волн, расходящихся от от- |
|
верстия, причем длина волны и |
|
частота у них такие же, как и у па- |
|
дающей волны (если скорости рас- |
|
пространения с обеих сторон пре- |
|
грады одинаковы). |
Рис. 1.8 |
169
Стоячие волны
При сложении волн с одинаковой частотой и постоянной разностью фаз возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливаются, а в других точках ослабляются. Таким образом, результатом интерференции является перераспределение энергии упругих волн в пространстве. Волны, для которых возможно наблюдать интерференцию, носят название когерентные волны (обладающие постоянной во времени частотой и разностью фаз). Проще всего найти результат сложения таких колебаний с помощью векторных диаграмм. Пусть складываемые колебания имеют вид
ξ1 (t ) = a1 cos(ωt + α1 ); |
|
ξ2 (t ) = a2 cos(ωt + α2 ). |
|
|||||||
Амплитуду а и начальную фазу α можно найти с помощью рис. 1.9. По |
||||||||||
теоремекосинусов |
|
|
+ 2a a cos(α −α |
|
), |
|
||||
a2 = a2 |
+ a2 |
2 |
(20) |
|||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||
а для tgα справедливо выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|||
tgα = |
a1 sin α1 + a2 sin α2 |
. |
|
|
(21) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
a |
cosα + a |
cosα |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Поскольку энергия колебаний (интенсивность волны) пропорциональна квадрату амплитуды, то из выражения (20) видно, что энергия результирующего колебания в общем случае не равна сумме энергий складываемых колебаний.
Особым случаем интерференции является Рис. 1.9 наложениедвухвстречныхкогерентныхплоских волн с одинаковой амплитудой. Такой случай
возникает при отражении волны от границы раздела сред (см. рис. 1.7). Возникающий в результате волновой процесс называют стоячей волной. Запишем уравнениядвухплоскихволн:
для падающей волны
|
|
x |
|||
ξ = acos ω t − |
|
|
; |
||
|
|
||||
|
|
u |
|||
для отраженной волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
ξ/ = acos ω t + |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
u |
170