Часть 2_2507

Министерство образования и науки Республики Татарстан

НИ

Альметьевский государственный нефтяной институт

Л.Н. Ларина, Л.Р. Загитова

ка

А

Г

е

Теория вероятнос

й

о

и математическая статистикат

л

и

Часть 2

Методические указания

по проведению практических занятий

б

и

и математическая статистика»

по дисциплине «Теория вероятностейб

для студентов специальности 220301.65 «Автоматизация технологических

процессов и производств»

по дисциплине «Математическая статистика и теория вероятностей»

для студентов специальности 140604.65 «Электропривод и автоматика

н

промышленных уст новок и технологических комплексов»

о

н

очаяо-заочной формы обучения

к

т

р

е

л

Э

Альметьевск 2009

УДК 519.2

НИ

Л 25

Г

Л 25

Л.Н. Ларина, Л.Р. Загитова

А

Теория

вероятностей и

математическая статистика. Часть 2:

Методические

указания

по

проведению

практических

занятий по

дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для

студентов специальности 220301.65 «Автоматизация технологических

процессов и производств»; по дисциплине «Математическ я статистика и

теория вероятностей»

для

студентов

специ льности

140604.65

е

«Электропривод и автоматика промышленных установок и

технологических комплексов»

очно-заочной

формы

обучения. –

т

Альметьевск: Альметьевский государственный н фтянойкаинститут, 2009.

– 92 с.

и

Содержание второй части охватывает раздел программы: математическая

л

теоретические

статистика. В каждом параграфе приводятся необходимыео

сведения. Типовые

задачи даются

с подробными

решениями. Имеется

б

достаточное количество задач для самостоятельной работы с ответами,

контрольная работа (30 вариантов), та лицы.

и

Данное методическое пособие разра отано в помощь студентам 3-х

курсов технических

специальностей

220301.65 и 140604.65

очно-заочной

б

формы обучения для самостоятельной работы над темой, а также может быть

использовано, как задачник для практических занятий в аудитории.

ая

Печатается по решению учебно-методического совета АГНИ.

н

н

Рецензенты:

А.Т.Шляхов – зав. кафедрой ВМ, к. ф-м. н., доцент,

о

Т.А.Бродская – к. п. н, доцент кафедры ВМ

е

к

т

р

л

2

Э

© Альметьевский государственный

нефтяной институт, 2009

&1. Выборка и её представление

НИ

1.1. Основные понятия и задачи математической статистики

Г

Математическая

статистика

–

это раздел

математики,

посвящённый

А

установлению закономерностей массовых случайных явлений или процессов на

основании систематизации обработки экспериментальных результатов.

Основные задачи математической статистики.

1.

Способы отбора и группировки статистических сведений, полученных в

результате

наблюдений

или

в результате

специ льно

поставленных

экспериментов.

е

2.

Разработка методов анализа статистических данных.

а) оценка

неизвестной

функции распред л ниякаили плотности

распределения вероятностей;

о

б) оценка неизвестных параметров закона распределения;

в) проверка статистических гипотез;

и

т

г) установление формы и степени связи между случайными величинами.

1.2. Распределение частот

б

л

Совокупность

всех

данного вида,

над

возможных о ъектов

которыми

проводятся

и

называется

генеральной

наблюдения,

совокупностью.

Генеральная совокупность может содержать конечное или бесконечное число

элементов.

Отобранные

из

генеральной

совокупности объекты

называются

ая

выборочной совокупностью илибвыборкой.

Повторная выборка – это выборка, при которой отобранный случайным

образом объект

возвр щ ется

в

генеральную

совокупность

перед

отбором

следующего объекта.

н

Бесповторная выборка – это выборка, при которой отобранный случайным

образом объект больше в генеральную совокупность не возвращается.

Число N элеме тов ге

еральной совокупности и число n элементов выборочной

р

совокупности будемн

называть объёмами генеральной и выборочной

совокупности с

тветственно.

Расположениеовыборочных значений случайной величины в порядке

неубывания называется ранжированием. Значение случайной величины

к

называе ся вариантой.

е

Численностьт

отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых

данных называется частотой варианты.

л

ni

3

Э

Отнош ние ωi

=

n

называется относительной частотой варианты, где ni -

чис о значений i-й варианты.

НИ

Ранжированная совокупность вариант с соответствующими им частотами

или относительными частотами называется дискретным вариационным

рядом распределения.

Г

Если случайная величина непрерывна или дискретная величина такова, что

число её возможных значений велико,

то для построения вариационного ряда

используют интервальный ряд распределения.

А

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная

последовательность интервалов варьирования случайной величины с

соответствующими частотами или относительными частотами попаданий

в каждый из них значений случайной величины.

е

Пример 1. В супермаркете проводились наблюдения над числом Х

покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения

в течение 30 часов дали следующие результаты:

ка

70, 75, 100, 120, 75, 60, 100, 120, 70, 60, 65, 100, 65, 100, 70, 75, 60,

100, 100, 120, 70, 75, 70, 120, 65, 70,75, 70, 100, 100. Число Х

и

является дискретной случайной величин йт, а полученные данные

представляют собой выборку из n = 30 наблюдений. Требуется

л

о

составить ряд распределения частот.

б

Решение. Вначале составим ранжированный ряд:

60, 60, 60, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 70, 70, 70,70, 75, 75, 75, 75, 75, 100, 100, 100,

и

100, 100, 100, 100, 100, 120, 120, 120, 120. Получено 6 групп. Для каждой

группы подсчитаем частоту значен й варианты и соответствующую

относительную частоту. Все результаты укажем в таблице, которая будет

представлять вариационный ряд.

ая

б

Число обращений

хi

60

65

70

75

100

120

частота

n i

3

3

7

5

8

4

Относительн я ч стота

ωi

3

3

7

5

8

4

н

30

30

30

30

30

30

о

н

Пример 2. В тделе мужской обуви универмага в течение дня производился

р

т

учёт ст имости проданной обуви. Были получены следующие

езультаты ( в рублях ).

к

1200, 1110, 2300, 890, 320, 1200, 560, 1340, 1400, 1050, 1050, 4700,

3200, 2900, 2100, 2450, 890, 1110, 1200, 1200, 2300, 1050,

1400,

1200, 890, 320, 1320, 890, 1100, 1050.

л

Требуется составить интервальный вариационный ряд.

4

Р ш ние. В нашем случае удобно выбрать длину частичного интервала равной

Э

1000.е

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

хi p X £ xi+1

ni

ωi

1

0 - 1000

7

0,233

2

1000 - 2000

16

0,533

Г

3

2000 - 3000

5

0,167

4

3000 - 4000

1

0,053

5

4000 - 5000

1

0,033

А

1.3. Эмпирическая функция распределения

Эмпирической

функцией

распределения

,

называется функция F∙ (х)

задающая для каждого значения Х относительную частоту события Х p х .

F (х) =

nx

,

ка

n

где n -

число выборочных значений величины X, м ньших x, а n - объём

x

т

е

выборки.

Эмпирическую функцию можно задать таблично или графически.

о

Пример 1. Найти эмпирическую функцию распределения по данному

вариационному ряду.

и

х i

1

3

7

9

12

л

n i

2

10

4

24

10

Решение. Объём выборки

б

n=50.

и

хi

1

3

7

9

12

рi

0,04

б

0,2

0,08

0,48

0,2

ì

при

х £ 1,

ï0

ï

ï

р

= 0,04

при

1 p х £ 3,

ï

1

= 0,24н

ая

ï

ï

р + р

2

при

3 p х £ 7,

F (x) =

ï

1

+нр

í

ï

р + р

2

3

= 0,32

при

7 p х £ 9,

ï

1

о

ï

ï

+

+ р3 + р4

= 0,8

при

9 p х £ 12,

ï

1

2

т

ï

р

ï

р1

+ р2 + р3 + р4

+ р5

= 1

при

х f 12.

î

1.4. Полигонк

и гистограмма