Часть 2_2507

3.Сравним эмпирические и теоретические частоты.

НИ

а) Составим расчётную таблицу, из которой найдём

наблюдаемое значение

критерия

Г

i

ni

ni/

ni − ni/

(ni − ni/ )2

(ni − ni/ )2 : ni/

А

1

15

9,1

5,9

34,81

3,8

2

26

16,5

9,5

90,25

5,5

3

25

25,3

-0,3

0,09

0

4

30

32

-2

4

0,1

5

26

33,9

-7,9

62,41

1,8

ка

6

21

29,8

-8,8

77,44

2,6

7

24

22

2

4

0,2

8

20

13,5

6,5

42,25

е

3,1

9

13

7

6

36

5,1

å

200

22,2

Из таблицы находим

χнаб2 = 22,2.

и

о

т

б) По таблице критических точек распределен я

χ 2

по уровню значимости

α = 0,05

и числу степеней свободы

k = s – 3 = 9 - 3 = 6 находим критическую

точку правосторонней критической области

χкр2

(0,05;6) = 12,6.

Так

как

χнаб2 f χкр2

-

гипотезу

о

б

распределении

генеральной

норма ьном

и

совокупности отвергаем. Другими словамил, эмпирические и теоретические

частоты различаются значимо.

Задания для самостоятельной работы

1. Используя

критерий

Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить

ая

о б

2

2

cогласуется

ли

гипотеза

нормальном

распределении

генеральной

cовокупности Х с эмпирическим распределением выборки объёма

n = 200;

x i

0,3

0,5

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

2,1

2,3

n i

6

9

26

25

30

26

21

24

20

8

5

н

/

χнаб

= 7,71;

χкр (0,05;8) = 15,5.

Ответ: гипотезу не отвергаем;

2.

Используя критерийн

Пирсона, при уровне значимости 0,01 установить,

случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами ni

и теоретическими частотами ni , которые вычислены, исходя из гипотезы

т

о но мальномр о

распределении генеральной совокупности Х:

к

x i

8

16

40

72

36

18

10

е

n i

16

18

36

76

39

18

7

л

Ответ: расхождение незначимо;

χнаб2

= 3,061;

χкр2

(0,01;4) = 13,5.

3.

61

Э

случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами ni

и теоретическими частотами ni/ , которые вычислены, исходя из гипотезы

о нормальном распределении генеральной совокупности Х:

а)

б)

n i

5

10

20

8

7

n i

6

8

13

15

20

16

10

7

5

n i/

6

14

18

7

5

n i/

5

9

14

16

18

16

9

6

7

НИ

в)

А

Г

n i

14

18

32

70

20

36

10

ка

n i/

10

24

34

80

18

22

12

г)

е

n i

5

7

15

14

21

16

9

7

6

n i/

6

6

14

15

22

15

8

8

6

Ответ: а) случайно; χнаб2

χкр2 (0,05;2) = 6.

= 2,47;

т

2

2

б) случайно;

о

= 1,52;

χкр (0,05;6) = 12,6.

χ

наб

и

в) значимо; χнаб2

= 13,93;

χкр2

(0,05;4) = 9,5.

л

г) случайно; χнаб2

= 0,83;

χкр2 (0,05;6) = 12,6.

б

4.

Известна

выборка

из

генеральнойи

совокупности – данные о

продолжительности эксплуатации нефтяных скважин. Выборка задана

таблицей:

б

0,15

0,30

0,45

0,45

0,45

0,45

1,00

1,00

1,00

1,00

1,15

1,15

1,15

1,15

1,15

1,30

1,30

1,30

1,30

1,30

1,45

1,45

1,45

1,45

1,45

1,45

1,45

1,30

1,45

1,45

ая

1,45

1,30

1,30

1,30

1,15

1,15

1,00

0,45

0,30

0,15

н

0,15

0,30

0,30

0,30

0,30

0,30

0,30

0,30

0,30

0,30

0,45

0,45

1,00

1,15

1,30

1,30

1,30

1,45

1,45

1,30

н

1,15

1,15

1,30

1,15

1,00

1,30

1,15

0,45

0,48

0,49

0,50

0,50

0,51

0,52

0,55

0,55

0,57

0,58

1,00

1,13

о

1,12

1,21

1,25

1,25

1,02

1,02

1,32

1,25

1,24

1,25

1,21

1,26

1,28

1,26

1,35

1,33

1,25

1,24

1,58

1,54

т

р

1)

сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, разбив весь диапазон

2)

кзначений на 8 интервалов. Построить группированный ряд;

построить гистограмму и полигон относительных частот, а так же график

л

е

эмпирической функции распределения;

62

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

3)

найти несмещённые оценки математического ожидания и дисперсии;

НИ

4) найти

интервальные

оценки

математического

ожидания

и

дисперсии

(среднеквадратичное отклонение) с уровнем доверия γ = 0,95;

Г

5) проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х

по критерию согласия Пирсона ( при уровне значимости α = 0,05 ).

А

5. Результаты взвешивания 50 случайным образом отобранных пачек чая

приведены ниже (в граммах):

150, 147, 152, 148, 149, 153, 151, 150, 149, 147, 153, 151, 152, 151, 149, 152,

ка

150, 148, 152, 150, 152, 151, 148, 151, 152, 150, 151, 149, 148, 149, 150, 150,

151,

149,

151,

150,

151,

150,149,

148,

147,

153,

147,

152,

150,151,

149,

150,151, 153.

е

Оценить закон распределения случайной величины Х – массы пачки чая –

для уровня значимости α = 0,05 .

т

Ответ: согласуется с нормальным законом

χкр2

о

= 5,267

= 7,8; χнаб2

6.

Результаты исследования числа покупателей в универмаге в зависимости

от времени работы приведены ниже:

Часы работы

9 - 10

10 -11

11 -12

12 -13

Можно

Число покупателей

41

б

82 и

117

72

случайная

ли утверждать при

уровне

значимости

α =

0,05 , что

величина

и

Х – число покупателей –лподчинена нормальному закону.

б

Ответ: нет.

7. Масса произвольно выбранных 30 пачек полуфабриката «Геркулес»

такова:

ая

503, 509, 495, 493, 489, 485, 507, 511, 487, 495, 506, 504, 507, 511, 499, 491,

494, 518, 506, 515, 487, 509, 507, 488, 495, 490, 498, 497, 492, 495.

Можно

ли

при

уровне

значимости

α = 0,05

утверждать,

что

случайная

н

величина Х – масса п чки – подчинена нормальному закону распределения.

н