Часть 2_2507

Контроль:

åni (ui +1)4

= åni ui4 + 4åniui3 + 6åni ui2 + 4åni ui + n;

НИ

1175 = 285 + 4 ×35 + 6 ×105 + 4 × 5 +100 = 1175.

Найдём условные моменты:

М1 =

5

= 0,05;

М2 =

105

= 1,05;

Г

100

35

4 = 285 = 2,85;

100

А

М3

=

= 0,35; М

100

100

ка

Dв

= (1,05 - 0,0025) × 25 = 26,19.

Найдём центральные эмпирические моменты:

m3

=

[0,35 - 3× 0,05×1,05 + 2 × 0,053 ]×53

= 24,09

m4

=

[2,85 - 4 × 0,05× 0,35 + 6 × 0,052 ×1,05 - 3× 0,054 ]× 54 = 1747,33.

Находим асимметрию и эксцесс:

as

24,09

24,09

;ek

1747,33

о

=

= 134,03 = 0,18

=

26,193

26,194

- 3 = -0,45 .е

и

Ответ: аs

= 0,18 ;

еk

= - 0,45.т

Задания для самостоятельной работы

л

1.

Найти методом произведений вы орочную среднюю и выборочную

и

дисперсию по заданному распределению выборки объёма n=100:

б

16б

x i

12

14

18

20

22

n i

5

15

50

16

10

4

ая

Ответ:

= 16,46; Dв = 4,87.

хв

2.

Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную

н

дисперсию по з д нному распределению выборки:

н

о

x i

18,6

19,0

19,4

19,8

20,2

20,6

n i

4

6

30

40

18

2

Ответ:

= 19,672;

Dв = 0,169.

хв

3.Най и ме одом произведений асимметрию и эксцесс по данному

е

распределениют р

выборки:

к

x i

12

14

16

18

20

22

л

n i

5

15

50

16

10

4

Э

21

Ответ: аs = 0,47;

ek = 0,36.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4. Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному

НИ

распределению выборки:

x i

2,6

3,0

3,4

3,8

4,2

n i

8

20

45

15

12

Ответ:

аs

= 0,135;

ek =

2,669.

5. Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданномуГ

распределению выборки:

А

x i

12

14

16

18

20

22

n i

5

15

50

16

10

4

Ответ: аs

= 0,47;

ek = 0,36.

2.5. Метод моментов

е

ка

При заданном виде закона распределения случайн й величины Х неизвестные

т

параметры этого распределения можно оценить, т.е. выразить как функцию

вариант выборки, на основе метода моментов.

о

Этот метод состоит в том, что пр равниваются соответствующие

теоретические и эмпирические моменты и из полученныхи

уравнений находятся

оценки параметров.

л

а) Если распределение определяется одн м параметром, то для его нахождения

составляют одно уравнение:

и

б

ν1

ν1

= М1

Þ М (Х ) =

хв

где

= М (Х )

М1

=

хв

б

Математическое ожидание

вл ется

функцией

от неизвестного параметра

заданного распределения, поэтому, решив уравнение М (Х) =

относительно

хв

параметра получим его точечную оценку.

б) Если распределе ие определяетсяая

двумя параметрами,

то приравнивают два

теоретических моме та двум эмпирическим моментам того же порядка.

н

н

ìν1

= М1

í

= m2

т.е. М (Х)= хв ;

D(Х)= Dв

îμ2

р

о

Левые час и этих равенств являются функциями от неизвестных параметров,

поэтому,трешив систему, получим точечные оценки.

л

е

к

22

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

НИ

распределение

плотность распределения.

условие

оценка параметра

показательное

f(x)=λе−λх , х ³ 0

M(X)=

1

хв

λ

=

хв

равномерное

12

Г

f(x)=

1

, х Î (а,в)

M(X)=

хв

а +

в

в -

а

D(Х)= Dв

2

= хв

(в - а )2

= Dв

нормальное

1

M(X)=

a=

А

f(x)=

е

−(х−а)2 / 2σ 2

хв

хв

σ

2π

D(Х)= Dв

σ

2

= Dв

ка

х i

0

1

2

3

4

Пример 1. Случайная величина Х - число нестандартных изделий в партии

изделий распределена по закону Пуассона.

е

т

n i

132

43

20

3

о

2