Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть 2_2507

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

832.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

в) если χнаб2 p χкр2 , то Н0 принимают;

если χнаб2

f χкр2

, то Н0 отвергают.

Правило 2. Чтобы при заданном уровне α значимости проверить Н0 :σ 2

= σ 02

о равенстве неизвестной генеральной дисперсии

σ 2 предполагаемому значению σ 02

при альтернативной гипотезеНИ

Н1 : σ 2

¹ σ 02 , надо:

ка

а) вычислить наблюдаемое значение критерия

χ лев.кр

(1- 2 ; k), и

χпр.кр ( 2

;k)

k = n -1.

χнаб2

(n -1)

× S 2

σ 02

б) по таблице критических точек распределения хи- вадрат найти

в) если χ лев2

.кр p χнаб2

p χпр2

.кр , то Н0 принимают;

если χнаб2

f χпр2

χнаб2

p χ лев2

.кр , то

твергаютт

.кр

или

Н0

= σ 02

Правило 3. Чтобы при заданном уровне α знач мости проверить Н0 :σ 2

о равенстве неизвестной генеральной д сперсии

σ 2 предполагаемому значению σ 02

при альтернативной гипотезе

Н1 : σ 2

p σ 02 , надо:

а) вычислить наблюдаемое значение критерия

χнаб2

(n -1) × S 2

σ 02

б) по таблице критических точек распределения хи-квадрат найти

ая

χкр2 (1

-α;k), kб= n -1.

в) если χнаб2 f χкр2

, то Н0 принимают;

если χнаб2

, то Н0 отвергают.

p χкр2

Пример 1. Из

ормаль ой генеральной совокупности извлечена выборка n=19

и по

айдена исправленная выборочная дисперсия S 2 = 8,1.

ей

Требуетсян, при заданном уровне значимости α = 0,01 проверить

H0 :σ = σ

02 = 12

при H1 :σ 02

f 12.

(n -1) × S 2

Решение. Найдём

χнаб2

;

σ 02

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

χнаб2

(19 -1) ×8,1

Н1 : σ 2 f 12,

НИ

= 12,15.

По

условию

поэтому

критическая

область-

правосторонняя.

По

таблице критических

точек

распределения

хи - квадрат

находим

χкр2

χнаб2

p χкр2 ,

k = 19 -1 = 18,

(0,01;18) = 34,8.

Так

как

нет

оснований отвергать

нулевую

гипотезу

Н 0 :σ 02

= 12.

Пример 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка n=25

и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S 2 = 19,75.

Требуется, при α = 0,1 проверить H0

: σ = σ 02 = 6,4 при

H1 :σ 02

¹ 6,4

(n -1) × S 2

ка

Решение. Найдём

χнаб2

;

σ 02

χнаб2

(25 -1) ×19,75

По

условию

Н1 : σ 2 ¹

поэтому

критическая

область-

= 74,06.

6,4,

6,4

двусторонняя.

По таблице

критических

точек

распределения

хи - квадрат

находим

0,1

=л13,8.

k = 25 -1 = 24,

χ лев.кр ç1-

χпр.кр (0,05;24) = 36,4.

;24÷ = χ лев.кр (0,95;24)

Так

как

нулевую

г потезу

отвергаем.

пр.кр p

χнаб ,

Н0

:σ 0 = 6,4

ая

совокупностей дисперсии которых

4.5. Сравнение двух средних генеральныхб

известны (большие независимые выборки).

Пусть генеральные совокупности Х и У подчиняются нормальному закону

распределения. (Дисперсии являются известными величинами).

Из генеральных совокуп остей извлечены две независимые выборки объёмов

n и m и рассчита ы выборочные средние

у. Требуется по выборочным

данным при заданнн

м уровне значимости α

проверить нулевую гипотезу о

равенстве гене альных средних (математических ожиданий) рассматриваемых

совокупностей.о

Правило 1.Ч

обы при заданном уровне значимости α проверить

Н0 : М (Х ) = М (У) при Н1 : М (Х ) ¹ М (У ),

надо:

а) вычислить

;

наб

D(Х )

D(У)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1- α

НИ

б) из равенства

Ф(Z

кр ) =

по таблице функции Лапласа

найти Z кр.

в) если | Zнаб |p Zкр , то

Н0

принимаем;

если | Zнаб |f Zкр , то

Н0

отвергаем.

Правило 2.Чтобы при заданном уровне значимости α проверить

Н0 : М (Х ) = М (У) при Н1 : М (Х ) f М (У), надо:

ка

а) вычислить

Zнаб

;

D(Х ) +

D(У)

б) из равенства

Ф(Zкр ) =

1- 2α

по таблице функции Лапласа

найти Z кр.

в) если Zнаб p Zкр , то

Н0

принимаем;

если Zнаб f Zкр , то

Н0 отвергаем.

Правило 3.Чтобы при заданном уровне знач мости α проверить

Н0 : М (Х ) = М (У) при Н1 : М (Х ) p М (иУ),

надо:

а) вычислить

Zнаб

;

D(У)

D(Х )

б) из равенства

Ф(Zкр ) = 1- 2α

по таблице функции Лапласа

найти Z кр.

ая

в) если Zнаб f -Zкр , то

Н0

принимаем;

если Zн б p -Zкр , то

Н0

отвергаем.

Пример 1. По двум езависимым выборкам n=40, m=50 найдены

у =н150, D(Х ) = 80,

D(У) = 100.

х = 130,

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

Н1 : М (Х ) ¹ М (У).

Н0

: М (Х ) = М (У) при

Решение. Находим наблюдаемое значение критерия

130 -150

- 20

Zнаб

= -10. По условию, Н1 : М (Х ) ¹ М (У) т.е. критическая

100

область – двусторонняя. Найдём правую критическую точку из равенства

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ф(Zкр ) =

1- α

;

Ф(Zкр ) =

1- 0,01

= 0,495. Þ Zкр = 2,58.

НИ

Так как

Zнаб

|f Zкр , то нулевую гипотезу Н0 отвергаем.

Пример 2. По двум независимым выборкам, объёмы которых n=35, m=60

найдены выборочные средние и генеральные дисперсии

= 115,

= 135,

D(Х ) = 70,

D(У) = 180.

ка

70 + 180

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

Н0 : М (Х ) = М (У)

при

Н1 : М (Х ) f М (У).

Решение. Находим наблюдаемое значение критерия

Zнаб =

115 -135

= -

20 = -8,93. По условию, Н1 : М (Х ) f М (У )

т.

. критическая

область – правосторонняя. Найдём критическую очку из равенства

Ф(Zкр ) =

1- 2α

; Ф(Zкр ) =

1- 2 × 0,05

= 0,45. Þ Zкр =

1,65.

Так как

Zнаб

p Zкр - то Н0

принимаем;

Пример

Используются

два

удобрений.

Для

сравнения их

вида

эффективности

были выбраны 20

участков равной площади так, что пару

составили

участки, однородные по плодородию. На соответствующих парах

участков получили следующий урожай:

№

ая

4б

8,0

8,4

8,0

6,4

8,6

7,7

5,6

6,2

5,6

7,4

7,3

6,4

7,5

6,1

6,6

6,0

5,5

5,0

При уровне значимости 5% проверить гипотезу о различном влиянии

использования удобре ия.

Решение. Найдём средн

ие выборочные и дисперсии:

8 + 8,4 +

8 + 6,4 + 8,6н+ 7,7

+ 7,7 + 5,6 + 5,6 + 6,2

= 7,22;

5,6 +

7,4

+ 7,3+ 6,4 + 7,5 + 6,1+ 6,6 + 6 + 5,5 + 5

= 6,34;

D(Х ) =

128+ 70,56 + 40,96 + 73,96 + 59,29 + 59,29 + 62,72 + 38,44

- 52,1284 = 1,1936.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

D(У ) =

25+ 30,25 + 31,36 + 36 + 37,21+ 40,96 + 53,29 + 54,76 + 56,25 + 43,56

НИ

- 40,1956 = 0,6684.

Z наб

7,22 - 6,34

= 0,99.

0,11936+ 0,06684

1- 2×0,05

Ф(Z кр ) =

= 0,45 Þ Z кр = 1,65.

так

как

Zнаб

f -Z кр

, то

Н 0

принимаем.

ка

4.6. Проверка гипотезы о равенстве средних двух норм льных генеральных

совокупностей при неизвестной дисперсии (малые выбор и)

Пусть генеральные совокупности Х и У распределены по нормальному закону.

Дисперсии данных генеральных совокупностей неизв с ны.

Если справедливо

предположение о том, что неизвестные генеральные дисперсиие

равны между

собой, то можно к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних

применить Т-критерий Стьюдента.

Если

же

нет

снований

предполагать

равенство дисперсий, то перед проверкой г потезы о равенстве генеральных

средних проверяется гипотеза о равенстве генеральных дисперсий с помощью

критерия Фишера-Снедекора.

Пусть m p 30, n p 30 - объёмы неизвестных вы орок, по которым найдены

и Sx2 ,

S y2 .

Правило 1. Чтобы при заданном уровнеи

значимости α проверить нулевую

ая

гипотезу

Н0 : М (Х ) = Мб(У )

при

Н1 : М (Х ) ¹ М (У ) надо:

а) вычислить наблюдаемое значение критерия

Тнаб

mn(n + m - 2)

n + m

-1) × Sx2 + (m -1)S y2

б) найти критическую точку распределения Стьюдента

α - в

tдв.кр (α;к), нгде к = n + m - 2,

верхней

строке

таблицы.

в) если | Tнаб

|p tкр , то Н0 принимаем;

если | Tнаб |f tкр ,

отвергаем.

то Н0

Правило 2. Чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую

гипотезу Н0 : М (Х ) = М (У )

при

Н1 : М (Х ) p М (У) надо:

а) вычислить наблюдаемое значение критерия

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

Тнаб

х - у

mn(n + m - 2)

n + m

(n -1) × Sx2 + (m -1)S y2

б) найти критическую точку распределения Стьюдента

tдв.кр (α;к),

где

к = n + m - 2, α - в

нижней

строке таблицы.

tлев.кр

= -tпр.кр

в) если Tнаб f -tпр.кр , то Н0 принимаем;

если Tнаб

p -tпр.кр , то Н0

отвергаем.

Правило 3. Чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую

гипотезу Н0 : М (Х ) = М (У )

при Н1 : М (Х ) f М (У) надо:

ка

а) вычислить наблюдаемое значение крит рия

Тнаб

mn(n + m - 2)

n + m

(n -1) × Sx2 + (m -1)S y2

б) найти критическую точку распределения Стьюдента

tдв.кр (α;к),

н жнейо

где

к = n + m - 2, α - (в

строке таблицы).

в) если Tнаб p tкр , то Н0 принимаем;

ес и Tнаб

f tкр , то Н0

отвергаем.

Пример 1. По двум выборкам n=12, m=18бнайдены выборочные средние

= 31,2

= 29,2 и исправленныеи

дисперсии Sx2

= 0,84

S y2

= 0,4.

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу

Н0 : М (Х ) = М (У)

при

Н1 : М (Х ) ¹ М (У).

Решение.

Sx2 ¹ Sy2 ,

поэтому

проверим

сначала

гипотезу

равенстве

генеральных

используя

критерий

Фишера-Снедекора. Найдём

дисперсий,

наблюдаемое

ая

значение

критерия

0,84

= 2,1.

S 2 f S 2 , поэтому

в качестве

: D(Х ) f D(У).

наб.

0,4

В этом случае критическая область – правосторонняя.

Fкр (0,05;11;17) = 2,41

Т.к.

Н0

Fнаб p Fкр

, то

не

отвергаем

т.е. D(Х ) = D(У)

выполняется.

Вычислим Тнаб

31,2 - 29,2

12 ×18× 28

= 7,1.

11× 0,84 +17 × 0,4

+18

По условиют

Н1

: М (Х ) ¹ М (У ), поэтому критическая область – двусторонняя.

Находим tдв.кр (0,05;28) = 2,05.

Так как Тнаб f tдв.кр ,

то Н0

отвергаем.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 2. На уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу

о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей Х и У

Н0 : М (Х ) = М (У) при

Н1 : М (Х ) f М (У).

НИ

по малым выборкам, объёмы которых n=10 и m=16. Получены

следующие

результаты:

хi

12,3

12,5

12,8

13,5

n i

ка

уi

12,2

12,3

n i

Решение. Найдём выборочные средние

х = 12,3 +12,5 × 2 +12,8 × 4 +13× 2 +13,5 ×1 = 12,8;

y = 12,2 × 6 +12,3×8 +13× 2 = 12,35.

Перейдём к условным вариантам ui

= 10xi -125,

= 10yi -125.

u i

12,3

12,5

13и

13,5

12,8

n i

v i

12,2

12,3

n i

4 + 36 + 50 +100 - (-2 +12 +10 +10)2

:10

100

= 11,1

Найдём

= 54 + 32 + 50 - (-18

-16 +10)2 :16

= 100

Sv2

= 6,67

ая11,1

6,67

Следовательно, Sx2 =

» 0,11;

S y2 =

» 0,07.

100

Исправленные дисперсии различны. Сравним дисперсии, используя критерий

Фишера-Снедекора.

Н1 : D(Х ) f D(У). Найдём

0,11

Н0 : D(Х ) =

D(У) при

Fнаб

= 1,57.

0,07

По

таблице

Фишера-Снедекора

F р (0,05;9;15) р= 2,59. т.к.

Fнаб f Fкр

то Н0

отвергают.

12,8 -12,35

10×16 × 24

Сравним средние, для чего вычислим Тнаб =

= 3,82.

× 0,11+15× 0,07

По условию критическая область правосторонняя.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

α = 0,05; к = 24. Находим	по	таблице(приложение - 6) tпр.кр = t(0,05;24) = 1,71.
Tнаб f tпр.кр , следовательно	Н0	отвергаем.

Задания для самостоятельной работы

По двум независимым выборкам, объёмы которых

n1 = 11, Гn2

извлечённым из

нормальных

генеральных

совокупностей Х

найдены исправленные выборочные дисперсии Sx2

ка

= 0,76

S y2

= 0,38.

При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу о

равенстве генеральных дисперсий, при альтернативной гипотезе

Н1 :

D(Х ) f D(У).

Ответ: принимаем;

Fнаб = 2,

Fкр (0,05;10;13) = 2,67.

= 9,

= 16,

По двум независимым выборкам, объёмы которыхо

извлечённым из нормальных генера ьных совокупностей Х и У,

найдены исправленные выборочные дисперсии Sx2 = 34,02

S y2 = 12,15.

При уровне значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезу о

равенстве генеральных дисперс йбН0 : D(Х ) = D(У ) ,

при

альтернативной гипотезеи

Н1 :

D(Х ) f D(У).

ая

Ответб: принимаем; Fнаб = 2,8

Fкр (0,01;8;15) = 4.

По двум независимым выборкам, объёмы которых n1 = 14, n2 = 10,

извлечённым из

ормальных генеральных совокупностей Х и У,

найдены исправленные выборочные дисперсии Sx2 = 0,84

Sy2

= 2,52.

При уров

е з ачимости α = 0,1 проверить нулевую гипотезу о

равенстве генеральныхн

дисперсий Н0 : D(Х ) = D(У ) ,

альтернативнойо

п и

гипотезе

Н1 :

D(Х ) ¹ D(У ).

Ответ: отвергаем;

Fнаб = 3,

Fкр (0,05;9;13) = 2,72.

По двум независимым выборкам, объёмы которых n1

= 9,

= 6,

извлечённым из нормальных генеральных совокупностей Х и У,

найдены выборочные дисперсии

Dв (Х ) = 14,4

Dв (У) = 20,5 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

=14,

иУ

При уровне значимости α = 0,1 проверить нулевую гипотезу о		НИ
При уровне значимости α = 0,1 проверить нулевую гипотезу о
равенстве генеральных дисперсий Н0 : D(Х ) = D(У ) ,
при альтернативной гипотезе	Н1 : D(Х ) ¹ D(У ).

Ответ: принимаем; Fнаб = 1,52,

Fкр (0,05;5;8) = 3,69.

5. Двумя методами проведены измерения одной и той же величины.

Получены следующие результаты:

хi

9,6

9,8

10,2

10,6

уi

10,4

9,7

10,3

ка

т е

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одина овую точность

измерений, если принять уровень значимости α =0,1?

Ответ: можно. Fнаб = 1,48; Fкр (0,05;4;3) = 9,12.

6. Для сравнения точности двух станков-авт мат в взяты две пробы,

объёмы которых n1

= 10

= 8.В результатеозмерения отобранных

изделий получены следующие резу ьтаты:

хi

1,08

1,1

1,12

1,14

1,25

1,36

1,38

1,4

1,42

1,15

y i

1,11

1,12

1,18

1,22

1,33

1,35

1,36

1,38

Можно ли считать, что станки о ладают одинаковой точностью

[Н0 : D(Х ) = D(У )], если принять уровень значимости α =0,1, и в качестве

ая

альтернативной гипотезы Нб1

: D(Х ) ¹ D(У ) ?

Ответ: можно. Fнаб = 1,51; Fкр (0,05;9;7) = 3,68.

еральной совокупности извлечена выборка n=21

7 . Из нормаль ой ге

и по ней айде а исправленная выборочная дисперсия S 2 = 16,2.

Требуется, при уровне значимости α = 0,01, проверить нулевую гипотезу

н= 15 при Н1 :σ 02 f 15.

H0 :

σ = σ 02

Ответ:

принимаем;

χнаб2 = 21,6;

χкр2

(0,01;20) = 37,6.

8. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка n=17

и потней найдена исправленная выборочная дисперсия S 2

= 0,24.

Требуется, при уровне значимостиα = 0,05 , проверить нулевую гипотезу

: σ = σ 02 = 0,18 при

Н1 :σ 02

f 0,18.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ответ: принимаем; χнаб2 =

χкр2 (0,05;16) =

НИ

2133;

26,3.

9. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объёма

n=31:

х i

10,1

10,3

10,6

11,2

11,5

11,8

у i

ка

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу

Н0 : σ 2

= σ 02

= 0,18, приняв в качестве альтернативной гипотезы

Н1 :σ 2

f 0,18.

Ответ: отвергаем;

= 45;

χкр (0,05;30) = 43,8.

χнаб

10. В результате длительного хронометража времени сборки узла

различными

сборщиками установлено, что дисперсия этого времени

σ 02 = 2мин2 .

Результаты 20 наблюден й за работой новичка таковы:

хi

n i

Можно ли при уровне

значимости 0,05 считать, что новичок работает

ритмично.

σ 2 = σ 02

Н1 :σ 2

¹ σ 02 .

êН 0 :

= 2;

при

Ответ:

неритмично;

χнаб2 = 38; χ лев2

.кр (0,975;19) = 8,91; χпр2

.кр (0,025;19) == 32,9

11. Партия изделий принимается, если дисперсия контролируемого размера

значимо не превыш ет 0,2. Исправленная выборочная дисперсия,

найденная по выборке объёма n=121, оказалась равной Sx2 = 0,3.

Можно ли при ятьаяпартию при уровне значимости 0,05.

Ответ: партия бракуется;

χнаб2

= 180;

χкр2

(0,05;120) = 146,16.

12 . По двум независимым выборкам n=30, m=40 найдены

= 130,

= 125, D(Х ) = 60,

D(У ) = 80.

Требуе ся, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу

Нт0

: М (Х ) = М (У)

при

Н1

: М (Х ) ¹ М (У). Предполагается, что случайные

величины распределены нормально и выборки независимы.

Zнаб = 2,5;

Zкр = 1,96.

Ответ: отвергается;

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.201525.72 Кб19ХХ6.docx
#
15.05.201527.57 Кб16ХХ7.docx
#
15.05.201515.28 Кб11ХХ8.docx
#
15.05.201519.57 Кб18хх9.docx
#
15.05.2015784.49 Кб784Часть 1_2507.pdf
#
15.05.2015832.09 Кб30Часть 2_2507.pdf
#
10.11.201977.31 Кб19шевелева 1.doc
#
16.04.201996.9 Кб16шпора по эконом.теории.docx
#
25.04.2019247.81 Кб20шпора соц.труда.doc
#
24.04.2019479.23 Кб17шпоры гидромаш.doc
#
11.09.2019351.31 Кб64Шпоры по билетам.docx