Часть 1_2507

Министерство образования и науки Республики Татарстан

НИ

Альметьевский государственный нефтяной институт

Л.Н. Ларина, Л.Р. Загитова

ка

А

Г

о

т

е

Теория вероятнос ей

и

и математическая статистика

Часть 1

б

луказания

Методические

по проведен ю практических занятий

б

и математическая статистика»

по дисциплине «Теория вероятностейи

ая

для студентов специальности 220301.65 «Автоматизация технологических

процессов и производств»

по дисциплине «М тем тическая статистика и теория вероятностей»

н

для студентов специальности 140604.65 «Электропривод и автоматика

н

ых установок и технологических комплексов»

промышле

р

о

очно-заочной формы обучения

е

к

т

л

Э

Альметьевск 2009

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

УДК 519.2

НИ

Л 25

Г

Л 25

Л.Н. Ларина, Л.Р. Загитова

А

Теория вероятностей и математическая статистика. Часть 1: Методические

указания по проведению практических занятий по дисциплине «Теория

вероятностей и

математическая статистика»

для студентов

специальности

ка

220301.65 «Автоматизация технологических процессов и производств»; по

дисциплине «Математическая статистика и теория вероятностей» для студентов

специальности

140604.65 «Электропривод

и автом тика

промышленных

е

установок и технологических комплексов» очно-заочной формы обучения. –

Альметьевск: Альметьевский государственный нефтяной институт, 2009. – 100 с.

Содержание второй части охватывает раздел программы: математическая

статистика. В каждом параграфе приводятся необходимыет

теоретические сведения.

Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется достаточное количество

л

задач для самостоятельной работы с ответами, контрольнаяо

работа (30

вариантов),

таблицы.

б

студентам

3-х курсов

Данное методическое пособие разработаноив помощь

технических специальностей 220301.65 и 140604.65 очно-заочной формы обучения для

и

самостоятельной работы над темой, а также может быть использовано, как задачник для

практических занятий в аудитории.

б

Печатается по решению уче но-методического совета АГНИ.

Рецензенты:

н

ая

А.Т.Шляхов – зав. к федрой ВМ, к. ф-м. н., доцент,

Т.А.Бродская – к. п.

, доцент кафедры ВМ

р

о

н

© Альметьевский государственный

нефтяной институт, 2009

т

Подписано в печать 13.10.2009 г.

к

Формат 60×84/16

е

Печать RISO Объем 6,25 ус.печ.л.

Тираж 30 экз. Заказ № 249

л

ТИПОГРАФИЯ

2

АЛЬМЕТЬЕВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО

Э

НЕФТЯНОГО ИНСТИТУТА

423452, Татарстан, г. Альметьевск, ул. Ленина, 2

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются различные

соединения (комбинации) элементов конечных множеств.

НИ

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил –

правила умножения и правила сложения.

Г

Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый элемент а

можно выбрать n1 способами, а второй элемент в – n2 способ ми, тоАоба элемента

(а и в) в указанном порядке можно выбрать n1 × n2 способами.

Правило сложения: если некоторый элемент (а) можно выбрать n1

способами, а

элемент (в)

можно выбрать n2 способами , причем п рвые и вторые способы не

ка

пересекаются, то любой из элементов (а и в) можно выбрать n1

+ n2 способами.

Эти правила распространяются на любое конечное число элементов.

Существуют две

схемы выбора

m

элемент в

из

е

множества: без

заданного

т

в исходное

возвращения, когда выбранные элементы не в звращаются

множество,

и

с

возвращением,

когда выбор осуществляется

поэлементно с

о

обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

Схема выбора без возвращений.

л

и

Пусть дано множество, состоящее

з n различных элементов.

Определение.

б

иэлементов

( 0 ≤ k ≤ n )

Размещением

из

n

элементов по k

называется любое

упорядоченное подмножество данного множества, содержащее k

элементов.

б

Аk = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) =

n!

(1)

n

(n − k)!

ая

Где n! = 1× 2 ×3×.....× n

;

Определение.

называется размещение из

n

элементов по n

Перестановкой из

n элементов

элементов.

н

н

P = An = n!

(2)

Определение.

n

n

Сочетанием из nоэлементов по k (0≤ k≤ n) называется любое подмножество

данного множес ва, которое содержит k элементов.

р

Любые два соче ания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

л

е

к

т

Cnk =

n(n −1)(n − 2)...(n − k +1)

=

n!

(3)

k!(n − k)!

k!

4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

повторениями.

А

Г

НИ

nk = nk

(4)

A

повторениями.

nk = Cnk+k −1

е

(5)

C

Пусть в множестве из n элементов есть k различных типов элкаментов, при этом 1-

й тип элементов повторяется n1

раз, 2-й – n2 раз,…k-й – nk раз, причем n1+ n2

о

+…+nk = n. Тогда перестановки элементов данного множес ва представляют собой

перестановки с повторениями.

и

т

Pn (n1, n2… nk) =

n1

(6)

n !n !...n !

б

л

1

2 k

Сведем все формулы в таблицу

(1-я строка – без повторений, 2-я строка – с повторениями)

Размещения

Перестановки

Сочетания

1

k

n!

б

и

Pn = n!

k

n!

An =

(n − k)!

Cn

=

k!(n − k)!

2

Pn (n1, n2… nk) =

n!

nk = C k

k

= nk

C

n !n

!...n

!

A

2

k

n

1

n+k −1

(n1+ n2 +…+nk = n)

Пример 1.

н

н

Сколько различных трехз ачаяых чисел можно записать с помощью цифр 5,6,7,8,9

при условии, что цифры в числе 1) могут повторяться, 2) должны быть

различными.

р

Решение.

1)каждую из трех цифр можно выбрать 5 способами; всего можно составить

5×5 ×5 =53=125

азличныхо

трехзначных чисел,

можно выбрать

2) первую цифру можно выбрать 5 способами, на второе место

к

одну из 4 ос авшихся цифр, а на третье - одну из 3 оставшихся , всего можно

е

×3 =60 различных трехзначных чисел.

составить: 5т× 4

Ответ: 1) 125 2)60.

л

Э

5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 2.

НИ

Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими

способами это можно сделать?

Г

Решение.

Из 30 элементов выбираем 2, причем порядок выбора имеет значение.

Количество способов выбора равно

А302 = 30 × 29= 870 способов.

ка

Ответ: 870.

Пример 3.

А

Сколькими

способами 4

человека могут разместиться на

четырехместной

скамейке.

е

Решение.

т

Количество

человек равно

количеству мест на скамейке, поэтому количество

о

способов размещения равно числу перестановок из 4 элементов:

Р4=4! = 24

Ответ: 24.

Пример 4.

В классе 7 человек успешно занимаются математ кой. Сколькими способами

можно выбрать из них двоих для участия в математическойи

олимпиаде.

Решение.

и

б

Выбираем двух учащихся из 7, порядок вылора не имеет значения, количество

способов выбора

б

С 2

=

7 ×6

= 21

1×2

7

ая

Ответ: 21.

Пример 5.

Из элементов 2,4,5 составить все размещения и сочетания с повторениями по 2

элемента.

Решение.

Размещения с повторе иями по 2 элемента таковы: (2;2);

(2;4); (2;5); (4;4);(4;5);

н

(4;2); (5;5); (5;2); (5;4);

Их число можно вычислитьн

так:

32

= 32 = 9

р

A

Сочетания с повт рениями по 2 элемента

2

= C32+2−1

4 × 3

о

C 3

=

= 6

1× 2

к

т

Ответ: 9; 6.

Пример 6.

Сколько существует различных перестановок букв в слове «трактат».

л

6

Реш ние.

Всего букве

n=7, из них 3 буквы «т», 2 буквы «а», одна буква «р», одна буква «к».

Э

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

n1 =3, n2 =2, n3 =1, n4 =1

НИ

Р7 (3,2,1,1) =

7!

=

4×5×6×7

= 420

3!2!1!1!

2×1×1

Ответ: 420.

Пример 7.

В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать

из нее:

А

Г

а) 3 гвоздики;

б) 6 гвоздик одного цвета;

в) 4 красных и 3 розовых гвоздики.

е

Решение.

а) Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 гвоздики из

вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно

ка

С163 =

16×15×14

= 560

о

т84 способами,