Часть 1_2507

Событие Ai = (элемент с номером i вышел из строя), i = 1,2,3. Событие В =

(схема вышла из строя (разрыв цепи)). Выразить события

В и

через

B

события Ai .

Ответ: В = А1 × А2 × А3 ;

=

+

+

В

А1

А2

А3

3.Электрическая цепь с выключателями составлена по схеме:

А

Г

НИ

ка

1

3

е

Пусть событие

Аi

2

4

Для

= (включён выключатель с н мером i), i = 1,2,3,4,5 .

схемы записать через Ai

событие А = {ток идёт}.

о

т

и

Ответ:

A = A1 A3 + A2 A4

4.Электрическая цепь составлена по схеме:

л

2

б

и

1

б

3

5

4

Пусть события

Ai

, i = 1,2,3,4,5, состоят в том,

что одноимённые

элементы

работают безотказ о

ая

в течение времени Т. Событие В = {схема работает

безотказно в тече

ие времени Т}.

Выразить событие В через события Ai .

н

н

Ответ: B = A1 × (A2 + A3 + A4 ) × A5

5. Электрическая цепь составлена по схеме:

к

т

р

о

е

1

4

л

3

2

5

11

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

Событие Ai – элемент под номером

i выходит из строя, i = 1,2,3,4,5.

Событие

В – разрыв цепи. Выразить событие В через события Ai .

Ответ: B = (A1 + A4 ) × A3

×(A2 + A5 )

А

Г

НИ

§ 3. Вероятность случайного события

3.1 Классическое определение вероятности

Вероятность события численно характеризует степень возможности его

появления в рассматриваемом опыте.

ка

Пусть производится опыт с n равновозможными исходами, образующими

полную группу несовместных событий. Такиее

исходы

называются

элементарными исходами. Исход,

который прив дит к наступлению события

А, называется благоприятным ему.

т

Вероятностью события А называется отношениео

числа

m случаев,

благоприятствующих этому событию к общему числу n случаев.

P(A) =

m

л

и

(1)

n

Свойства:

б

1. 0 £ P(A)£ 1

2.Вероятность достоверного событ я равна 1.

3. Вероятность невозможного со ытияи

равна нулю.

4. P(

)= 1- P(A)

б

A

3.2 Геометрическое определение вероятности

Пусть пространство элементарных событий C1 представляет собой некоторую

ая

область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области

А , содержащиеся в C1 .

н

Вероятность попада ия в область А точки, наудачу выбранной из области

C1 , называется генметрической вероятностью события А и находится по

формуле

р

о

S(A)

P(A)=

(2),

S(C1 )

где S(A) и S(C1 )- площади областей А и C1 .

Если

т

C1 представляет собой отрезок

л

е

к

P(A) =

l(A)

(3),

L(C1 )

12

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

где V (A), V (C1 ) - объемы.

НИ

где

l(A)

и

L(C1 )

- длины отрезков.

Если C1 представляет собой трехмерную область

Г

P(A) =

V (A)

(4),

V (C1 )

А

Пример 1.

Для лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова

вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Решение. Событие А - купленный билет оказался выигрышным.

Тогда количество всех исходов n = 1500 , а благоприятных m = 120 .

Вероятность P(A)=

120

= 0,08.

т

е

ка

1500

Пример 2.

В ящике находятся 32 белых и 3 черных шара. Наугад вынимается один шар.

и

Какова вероятность того, что вынутый шар:1) белый; 2) черный; 3) зеленый;

4)белый или черный.

л

о

Решение. Всего шаров n = 2 + 3 = 5, находим вероятность событий:

б

1)

A - вынут белый шар; ma

=

2, P(A) =

2

.

и

5

3

2) B - вынут черный шар;

mB

=

3,

P(B) =

.

5

3)C - вынут зеленый шар; mC = 0 , P(C) = 0 .

4)

D - вынут белый или черный шар;

mD

= mA + mB

= 5 , P(D) =

5

= 1.

б

Пример 3.

5

н

В ящике находятся 4 белых и один черный шар наугад вынимают 2 шара.

Найти вероятность того, что вынуты :

1)

2 белых шара;

ая

2)

белый и чер ый шары.

о

Решение. Общее число исходов

n = C52 =

5× 4

= 10

н

1× 2

1)

т

событие A - вынуты два белых шара;

к

4×3

6

3

2

mA

= C

4

=

р

= 6 , P(A) =

=

2)

е

1×

2

10

5

событие B - вынуты белый и черный шар;

л

1

1

4

2

= C4 ×C1 = 4×1 = 4 ; P(B) =

=

13