Часть 1_2507

Определение.

НИ

Графическое представление ряда распределения называется многоугольником

распределения.

Пример 1.

Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают

2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов

среди купленных.

Г

CN m

ка

Решение. Пусть X – случайная величина числа выигрышных билетовА

среди

купленных 2 билетов. Её возможные значения: x1 = 0, x2

= 1, x3 = 2 . Для определения

вероятности их появления воспользуемся формулой:

е

P(x = k ) =

Cn k ×CN −n m−k

;

т

о

где k = 0;1; 2; m = 2; N = 10; n = 4

и

P(x = 0) =

C4

0 ×C6

2

=

1

;

C10

2

3

л

P(x = 1) =

C4

1 ×C6

1

=

8

;

б

C10 2

15

P(x = 2) =

C4 2 ×C60

=

2

.

и

C10

2

5

б

Следовательно, искомый ряд распределения

Xi

ая

0

1

2

pi

1

8

2

3

15

15

н

н

Пример 2. Стрелок проводит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в

мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа

попаданий.

р

Решение.

п паданий является

дискретной

случайной величиной X.

Число

т

Каждому значениюоxn случайной величины X отвечает определенная вероятность

к

Pn. Закон распределения дискретной случайной величины в данном случае можно

задать рядом распределения.

е

В данной задаче X принимает значения 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли

л

= Ck pk qn-k

51

P (k)

,

Э

n

n

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

найдем вероятности возможных значений случайной величины:

НИ

Р3(0) = (0,7)3 = 0,343,

Г

Р (1) = C1

0,3×(0,7)2 = 0,441,

3

3

Р (2) = C2

(0,3)2×0,7 = 0,189,

3

3

Р3(3) = (0,3)3 = 0,027.

Расположив значения случайной величины

X в возрастающем порядке,

получим ряд распределения:

ка

А

Xn

0

1

2

3

Ρn

0,343

0,441

0,189

0,027

е

Заметим, что сумма

и

о

т

4

åPn = 0,343+ 0,441+ 0,441+ 0,189 + 0,027 ,

n=1

означает вероятность

того,

что случайная

величина X примет хотя бы одно

л

значение из числа возможных, а это со ытие достоверное, поэтому

4

= 1 .

б

и

б

å Pn

n =1

Пример 3. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара.

Случайная величина X – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения

случайной величины X.

Решение.

Значениями случайной величины X являются 3, 4, 5, 6, 7. Найдем

ая

соответствующие вероят ости. Значение 3 случайная величина X может

принимать в единстве

ном случае, когда один из выбранных шаров имеет номер

1, а другой 2. Число всевозможных исходов испытания равно числу сочетаний из

н

четырех (число в зм жных пар шаров) по два.

о

1

1

По классической формуле вероятности получим: P(X = 3) =

C42

=

6

.

Аналогично,

р

т

1

Р(Х = 4) = Р(Х = 6) = Р(Х = 7) =

.

е

к

6

Сумма 5 может появиться в двух случаях: 1 + 4 и 2 + 3, поэтому

Э

л

52

P(X = 5) =

2

=

1

. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

НИ

C42

3

Г

Xn

3

4

5

6

7

А

Ρn

1

1

1

1

1

6

6

3

6

6

9.2. Числовые характеристики

Математическим ожиданием M (X )

дискретной

случайной

величины

X

называется

сумма

произведений всех

ее

возможных

значений

xi на

их

соответствующие вероятности.

ка

Дисперсией

случайной

величины

X

называе ся

ма ематическое

ожидание

е

квадрата отклонения с.в. от ее математическ го жидания.

D(X ) = M [X - M (X )]2

т

Средним квадратичным отклонением σ (X ) случайнойо

величины называют

квадратный корень из дисперсии.

л

и

Математическое

Дисперсия

б

Среднее

квадратичное

ожидание

отклонение

n

D(X ) = M (X

2 )-

[M (X )]2

M (X )

σ (X ) = D(X )

= å xi pi

б

и

i=1

Свойства:

№ п/п

Математическое ожидание

Дисперсия

ая

1.

M (C) = C,C - const

D(C) = 0,C - const

н

2.

M (CX ) = C × M (X )

D(CX ) = C 2 × D(X )

3.

M (X ×Y ) = M (X )× M (Y )

D(X + C) = D(X )

н

4.

M (X ± Y ) = M (X )± M

(Y )

D(X ± Y ) = D(X )± D(Y )

о

Начальным

моментом порядка

k(k = 0,1,2,...)

случайной

величины

X

р

= M (X k ) т.е. α

=

n

x k

p

.

называется число α

k

k

i

т

å

i

Ц нтральнымк

моментом

порядка

i=1

случайной величины

называется

k

X

чис о

μk = M [X − M (X )]k

т.е.

л

е

53

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

μk = ån [Xi -

M (X )]k

× pi

НИ

i=1

μ3

Г

Асимметрия случайной величины X , есть величина A =

.

σ 3 (X )

А

Эксцесс случайной величины X , есть величина E =

μ4

- 3.

σ 4 (X )

В частности,

μ1 = 0, μ2 = D(X )

ка

μ = α - 3α α + 2α

3

Центральные моменты удобно вычислять, используя формулы, выражающие

центральные моменты через начальные:

е

μ2

= α 2 - α 21 ,

т

3

3

1

2

1

μ4 = α 4 - 4α1α3 + 6α12α 2 - 3α14

и

Пример 4.

л

величин:

Даны законы распределения двух независ мых случайныхо

и

б

Xi

2

4

6

8

Yi

0

1

3

Pi

0,4

0,2

0,1

0,3

Pi

0,5

0,2

0,3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 2X + 3Y .

Решение. Имеем M (Z ) = M (2X + 3Y ) = M (2X )+ M (3Y ) = 2M (X )+ 3M (Y );

D(Z ) = D(2X + 3Y ) = D(2X )

ая

+ D(3Y ) = 4бD(X )+ 9D(Y ).

Вычислим M (X ) и M (Y ).

M (X )= 2 × 0,4 + 4 × 0,2 + 6 × 0,1 + 8 × 0,3 = 4,6

M (Y )= 0 × 0,5 + 1× 0,2 + 3 × 0,3 =1,1

Тогда M (Z )

н