Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть 1_2507

.pdf

Скачиваний:

784

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

784.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Пример 1.

НИ

Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба. На рекламу может быть

израсходовано определенное количество средств. X – количество проданных в

течение месяца заводов, Y- объем средств, израсходованных на рекламу. Каждой

паре

(xi yj )

случайных величин

(X ;Y )

поставлена

в соответствие вероятность

P(xii , yj ) появления этой пары.

ка

Составить таблицы

распределения вероятностей

для каждой из величин и выр зить условный закон

0,12

0,15

0,10

распределения вероятностей величины

Y при

X=2.

0,08

0,10

0,12

0,05

0,10

0,18

Решение. Сложив вероятности «по столбцам» напишем закон распределения X:

0,25

0,4

0,35

Сложив вероятности «по строкам», найдем закон распределения Y:

0,3

0,33

0,37

ая

0,4

Сумма вероятностей для каждой из величин должна быть равна 1. Проверим:

0,25+0,35+0,4=1

0,37+0,3+0,33=1

Находим условные вероятности величины Y при X=2:

P(y = 1/ x = 2) = P(y = 1, x = 2)/ P(x = 2) =

0,10

= 0,25

P(y = 2 / x = 2) = P(y = 2, x = н2)/ P(x = 2) =

0,12

= 0,3

0,4

0,18

P(y = 3/ x = 2) = P(y =

= 2)/ P(x

= 2) =

3, x

= 0,45

0,4

тция распределения с.в.

Пример 2.

x+ y

Задана фун

- 3

+ 3

, при x

³ 0, y ³ 0

F(x, y) = í1

î0, при x < 0, y < 0

Найти двумерную плотность вероятности системы.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Решение.	∂F = −3x ln 3 + 3x+ y ln 3;			∂ 2 F	= 3x+ y ln 2 3
Решение.	∂F = −3x ln 3 + 3x+ y ln 3;			∂x∂y	= 3x+ y ln 2 3
	∂x			∂x∂y
Итак,	искомая		двумерная			плотность		вероятности
f (x, y) = íì3x+ y ×ln 2 3, при			x ³ 0, y ³ 0 .				А	Г	НИ
î0,	при	x < 0, y < 0
12.2. Числовые характеристики.
12.2. Числовые характеристики.

Условным математическим ожиданием дискретной случ йной величины Y при
X=x называют		сумму	произведений		возможных	значений Y на	их условные

вероятности.

ка

M (Y / X = x) = åy j P(yj

/ x)

(1)

j =1

Для непрерывных случайных величин условное ма ема ическое ожидание

∞

(2)

M (Y / X = x) = ò yf (y / x)dy

Условное

математическое

ожидание

−∞

= x)

называется

также

M (Y / X

регрессией величины Y на X. Аналогично

M (X /Y = y) =

x × p(x / y

)

- дискретная случайная величина,

å i

i лj

i=1

M (X /Y = y)

∞

непрерывная

случайная

= ò xf (x / y)dx

−∞

величина.

Ковариацией

или

корреляционным

моментом случайных

величин

X и Y

называется математическое ожидание произведения отклонений этих

величин от их математических ожиданий.

μxy = M ([X − M (X )][Y − M (Y )])

(3)

Коэффициентом

корреляции

случайных

величин

и Y

называется

ая

отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений этих

величин.

rxy

= μ xy / σ x ×σ y

-1 £ rxy

(4)

£ 1

Линейной с едней квадратичной регрессией Y на X называется функция

= m y + rxy

σ y

- mx )

(5)

σ x

где m

= M (X ), m

= M (Y ),σ

,σ

, r

= μ

/ σ

×σ

D(x)

D(Y )

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 3.

Найти регрессию величины Y на X для X=3 на основе заданной таблицы распределения двумерной случайной величины.

			А	Г	НИ
y	3	6			НИ
y	3	6
x
10	0,25	0,10
14	0,15	0,05
18	0,32	0,13

Решение. Регрессия величины Y на X находится по формуле

ка

P(xi y j )

M (Y / X = xi yi ) = å y j P(y j

/ xi

), где P(y j

/ xi

P(xi

)

j=1

Определяем P(X = 3)= 0,25 + 0,15 + 0,32 = 0,72

Вычисляем условные вероятности:

P(Y = 10 / X = 3)= 0,25 / 0,72 = 0,35

P(Y = 14 / X = 3)= 0,15 / 0,72 = 0,21

P(Y = 18 / X = 3)= 0,32 / 0,72 = 0,44

Находим регрессию

M (Y / X = 3)=10 × 0,35 + 14 × 0,21 + 18 × 0,44 = 14,4

Ответ: M (Y / X = 3)=14,4

Пример 4.

Для заданного закона распределения найти коэффициент корреляции, уравнение

линейной средней квадратичной регрессии Y на X.

ая

0,10

0,20

0,15

0,05

0,14

0,11

0,12

0,08

0,05

Решение. Находим вероятности значений X = 1, X = 3, X = 4

P(Х = 1) = 0,10 + 0,20р

+ 0,15 = 0,45

P(Х = 3) = 0,05т+ 0,14 + 0,11 = 0,30

P(Х = 4) = 0,12 + 0,08 + 0,05 = 0,25

Опредее

яем вероятности значений Y = 2,Y = 3,Y = 5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

P(Y = 2)= 0,10 + 0,05 + 0,12 =

0,27

НИ

P(Y = 3)= 0,20 + 0,14 + 0,08 = 0,42

P(Y = 5)= 0,15 + 0,11 + 0,05 =

0,31

Находим M (Y )= 2 × 0,27 + 3 ×

0,42 + 5 × 0,31 = 3,35

Определяем M (X )= 1× 0,45 + 3 × 0,30 + 4 × 0,25 = 2,35

ка

D(X )

= 7,15 - 2,35

= 7,15 - 5,52 = 1,63

Вычисляем

(X 2 )

1×

0,45

+ 9 × 0,3

+ 16 × 0,25

= 7,15

(Y 2 )= 4 × 0,27 + 9 × 0,42 + 25 × 0,31= 12,61

Находим D(Y )=12,61 - 3,352

=12,61 -11,22 =

1,39

σ x

Следовательно,

1,63 = 1,28

ие: μxy

σ y

1,39 = 1,18

Ковариация величин X и Y находится по форму

= М (XY )- mxmy ,

)

M (XY )= å å xi

где

y j P(x = xi , y = y j

i=1

j=1

×0,11+ 4 × 2 × 0,12 + 4 ×3×0,08 +

M (XY ) = 1× 2 × 0,1+1×3×0,2 +1×5×0,15 + 3× 2 × 0,05 + 3×3×0,14 + 3×5

+ 4 ×5×0,05 = 7,68

ая

μxy

= 7,68 - 2,35×3,35 = -0,19,

y = m + r

σ y

(x − m )

rxy

= μxy /(σ xσ y )= -0,19/(1,28×1,18) = -0,126

Уравнение линейной сред ей квадратичной регрессии Y на X:

x н

σ x

Подставляя полученные данные, имеем

1,18

= 3,35 + (- 0,126)×

(x - 2,35)

1,28

Ответ: rxy = −0,126

= 3,35 - 0,116(xр- 2,35)

+ 3,623

yx = -0,116х + 3,623

= -0,116x

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Задания для самостоятельной работы																								НИ
	1.	Задана дискретная двумерная случайная величина.																					Г
	Найти условный закон распределения величины X при Y=0,8																					А

								у		х	2				5			8
										х	2				5			8

									0,4		0,15				0,30		0,35
									0,8		0,05				0,12		0,03
																				Ответ: 0,25; 0,6; 0,15.
	2. Для			заданного закона распределения вероятност йкас.в. (X;Y)																				найти
		коэффициент корреляции между величинами X и Y.
																			т	е
								x		y			2				о	5
								x									о
										8			0,15				0,10
										10			0,22			и	0,23
										12			0,10		л		0,20					Ответ: 0,198.
	3.	Задан закон распределения с.в.												Найти			уравнение					Ответ: 0,198.
	3.	Задан закон распределения с.в.												Найти			уравнение				линейной			средней
	квадратичной регрессии X на Y.													б
	квадратичной регрессии X на Y.
										у	1		и		3				4
								x				б	и
								x				б
										2	0,20				0,15			0,05
										4	0,10				0,11			0,14
										5	0,08				0,05			0,12
										ая											Ответ: xy = 0,25y + 2,8
										ая											Ответ: xy = 0,25y + 2,8
	4.Закон			распределе ия						двумерной				с.в. задан таблицей. Найти										условное
								н
	математическое ожида ие M (X / Y = 2)
					р	о	н
				т			н	x		y	-2				0				2
								x
			к						0,2		0,03				0,05			0,12
									0,2		0,03				0,05			0,12
									0,6		0,15				0,30			0,35
																							Ответ: 4,98
																							Ответ: 4,98


	5. Задан закон распределения двумерной с.в. (X;Y)
	Найти условное математическое ожидание величины X для всех возможных
		е
	значений величины Y.
Э	л												75

					НИ
y	2	3	5		НИ
y	2	3	5
x				Г
1	0,10	0,20	0,15	Г
1	0,10	0,20	0,15
3	0,05	0,14	0,11
4	0,12	0,08	0,05

M (X /Y = 2) = 2,7

ка

Ответ:

M (X /YА= 3) = 2,23

M (X /Y = 5) = 2,19

§ 13. Неравенство Чебышева

Определение.

Вероятность

того, что

отклонение с.в.

X т ее

математического

ожидания по абсолютной величине меньше п л жительного числа ε , не

меньше чем 1− D(X )/ε 2

X - M (X )

< ε )

- D(X )/ ε 2

(1)

³ 1

Если с.в. X=m имеет биномиальное распределение с математическим

ожиданием M (X ) = np и дисперсией

D(X ) = npq ,

неравенство Чебышева имеет

вид:

npq

m - np

< ε )³ 1-

ε 2

(2)

Пример 1.

ая

Дискретная с.в. задана р дом распределенияб

X − M (X )

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что

< 5

0,2

0,3

0,4

0,1

(X )

D(X ).

Решение. Найдем с ачала M

M (X ) = 0 ×0,2 + 2 × 0,3н

+ 6 × 0,4 +10 × 0,1 = 4

D(X ) = 02 × 0,2 + 4 × 0,3 + 36 ×0,4 +100 × 0,1- 42 = 25,6 -16 = 9,6

Подс авляя в формулу (1), получаем:

9.6

X - 4

<т5)³ 1

= 1- 0,384

= 0,616

Ответ: 0,616.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 2.

НИ

Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность

отказа элемента за время

Т равна 0,05.С помощью неравенства Чебышева

оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом

отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется: а)

меньше двух; б) не меньше двух.

ГТ,

Решение.

а)

– число отказавших

элементов

за

тогда

M (X ) = np = 10 × 0,05 = 0,5

ка

D(X ) = npq = 10 × 0,05 ×0,95 = 0,475

Воспользуемся неравенством (2) n = 10, p = 0,05, q = 0,95,ε = 2

X - 0,5

< 2)³ 1-

0,475

= 0,88

б) события

X - 0,5

< 2;

X - 0,5

³ 2 противоположны, поэтому

X - 0,5

³ 2)£ 1- 0,88 = 0,12

Ответ: а) 0,88,

б) 0,12.

Задания для самостоятельной работы

Дискретная случайная величина задана законом распределения

0,1

0,4

0,6

0,2

0,3

0,5

Используя

неравенство

оценить

вероятность

того, что

Чебышева,

X - M (X )

0,4

Ответ: 0,909

Дискретная случайная величина задана законом распределения

0,10

0,15

0,30

0,25

0,20

ая

Оценить вероятность того, что

X - M (X )

< 1,5

Ответ: 0,33

3. Оценить вероят ость того, что при 15000 подбрасываниях монеты

относительная

нчастота

появления

герба

отклонится

от

вероятности

появления герба при одном подбрасывании по модулю меньше, чем на 0,01.

Ответ: 0,83

4. В урне находится 20 белых и 80

черных

шаров. Из

нее

извлекают, с

белых

возвращением, 40 шаров. Оценить вероятность того, что количество

шаровтв выборке заключено между 4 и 12.

Ответ: 0,6

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

5. В автопарке 200 автомобилей. Каждый из них за время эксплуатации t

может выйти из строя, независимо от других, с вероятностью 0,04. Оценить

вероятность того, что доля надежных автомобилей отличается по модулю от

вероятности безотказной работы любого из них не более чем на 0,1.

Ответ: 0,9808.

Игральная кость подбрасывается 1200 раз. Оценить вероятность отклоненияГ

относительной частоты выпадения 6 очков от вероятности этого события

( по модулю) на величину, меньшую, чем 0,02.

ка

Ответ: 0,71.

§ 14. Цепи Маркова. Равенство Маркова

Цепь Маркова –

это

последовательность

из

которых

испы аний, в каждом

появляется

только

несовместных

из

полной

группы

одно из

собы ий

событий. При этом условная вероятность

т го,

что в

s − ом

испытании

pij (s)

наступит

событие

при

условии,

что

(s −1) − ом

испытании наступило

событие Ai

не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Независимые испытания являются частным с учаем цепи Маркова. События

называются

состояниями

системы,

а испытания –

изменениями

состояния

системы.

й цепиб

По характеру

изменений

состоян

Маркова

можно

разделить на две

группы.

Цепь Маркова с дискретным временем – это цепь, изменение состояния

ая

которой происходит в определённые фиксированные моменты времени.

2. Цепь Маркова с непрерывным временем – это цепь, изменение состояния

которой возможно в любые случайные моменты времени.

Однородная

цепь

Маркова

–

это цепь,

которой

условная

вероятность pij

перехода системы из состоя

ия

i в состояние j

не зависит от номера испытания.

Вероятность pij называется переходной вероятностью.

Для математического описания процесса перехода системы из одного состояния в

другое используется матрица перехода системы.

Предположим,

Pij (n) –

это вероятность того,

что в результате n

испытаний

что

в состояние

j , r - это некоторое промежуточное

система пе ейдёт оиз состояния i

состояние между состояниями i и j . Вероятности перехода из одного состояния в

другое равны, т.е.:

Рij (1) = pij

(n) перехода системы из состояния i

в состояние

Для определения вероятности Pij

j использу тся формула, которая называется равенством Маркова:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	k							НИ
Pij (n) = åPir (m)Pr j (n - m)			(1),
	r =1
где m – число шагов (испытаний), за которое система перешла из состояния i в
промежуточное состояние r .							Г
промежуточное состояние r .
Равенство Маркова можно рассматривать как несколько изменённую формулу
полной вероятности. Однако формула (1) на практике почти не используется. Для
её преобразования применяются методы матричного исчисления.
Процесс, происходящий в физической системе, называется Марковским, если в
	æ0,3 0,7	ö				ка	в будущем
любой момент времени вероятность любого состояния системыА							в будущем
зависит только от состояния системы в текущий момент и не з висит от того.
каким образом система пришла в это состояние.				т	е
Пример 1. Матрица P = ç		÷ - матрица вероятнос		т	е
Пример 1. Матрица P = ç		÷ - матрица вероятнос		й п р хода цепи Маркова
1	ç	÷
	è 0,1 0,9	ø

из состояния i (i = 1,2) в состояние

j ( j = 1,2) за

один шаг. Найти матрицу

вероятностей P2

перехода из состояния i в с стояние

j за два

Решение.

шага.

Используя равенство Маркова, находим:

n = 2, m = 1, i = 1, j = 1

Þ P (2) = p

× p

+ p

× p

;

и= 0,3× 0,3 + 0,7 × 0,1 = 0,16

i = 1, j = 2

P12 = p11 × p12 + p12 × p22 ;

P12

= 0,3×0,7 + 0,7 × 0,9 = 0,84

i = 2,

j = 1;

P21

= p21 × p11 + p22 × p21;

P21

= 0,1×0,3 + 0,9 × 0,1 = 0,12

i = 2, j = 2;

P22

= p21 × p12 + p22 × p22 ;

P22

= 0,1б

×0,7 + 0,9 ×0,9 = 0,88

P =

æ0,16

0,84ö

0,12

0,88

(2)аяö

Р (2) Р

Задания для самостоятельной работы.

0,4

0,6

. Найти матрицу перехода

Задана матрица перехода: Р1=

0,3

0,7

Р2=ç

÷ .

Р21

(2) Р22

(2) ø

Ответ:

0,34

0,66

Р2=ç

0,33

0,67

÷ .

0,2

0,8

. Найти матрицу перехода

Задана мат ица перехода: Р1=ç

0,7

0,3

Р (2) Р (2)

Р2=ç

÷ .

Р21 (2)

Р22 (2)

0,60

0,40

Ответ: Р2=ç

÷ .

0,35

0,65

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

			æ	0,1	0,9	ö	. Найти матрицу перехода	НИ
3. Задана матрица перехода: Р1=ç						÷	. Найти матрицу перехода
			ç	0,3	0,7	÷
			è	0,3	0,7	ø
æ	Р (2) Р (2)		ö
Р2=ç	11	12	÷ .
ç	Р21 (2) Р22 (2)		÷
è	Р21 (2) Р22 (2)		ø

																						æ		0,244		0,756		ö
																				Ответ: Р2=ç				0,252Г				÷ .
																						ç				0,748		÷
																						è				0,748		ø
																									А
	&15. Задания для контрольной работы по теме «Элементы теории
	вероятностей»																					ка
	Задание 1.																					ка
	В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность
																					е
	того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными.
																				т
	Вариант					N			n		m		k			Вар ант			о	N			n		m			k
		1				20		4			5		2				16			20		5			4			1
		2				30		5			5		3				17	и		16		6			5			3
		3				20		5			4		2				18			18		5			4			2
																	л
		4				25		6			5		3				19			14		4			3			1
		5				15		4			3		2			б	20			10		4			3			2
		6				20		6			4		1				21			16		5			3			2
		7				30		4			3		2	и			22			20		6			4			3
		8				16		4			3		2				23			26		5			4			2
													б
		9				18		6			5		3				24			32		8			5			3
		10				12		5			4		2				25			34		10			6			4
		11				30		10			5		2				26			30		6			5			3
		12				26		8			6		4				27			25		5			3			2
		13				24		8			5		3				28			24		6			4			3
											ая
		14				22		6		н	4		2				29			28		8			5			2
		15				20		5			3		2				30			24		6			3			2
									н
	Задание 2.								н
	Задание 2.						выставленыо
	В магазине						выставленыо				для продажи n изделий, среди которых k изделий
	некачес венные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом m
	изделий будут некачественнымир											.
					т
	Вариант			к			n			k			m			Вариант					n			k			m
		1					20			6		2					16				15			5				2
		2	е				18			8		3					17				17			6				3
		л													80
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
	Э

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.201527.72 Кб18ХХ5.docx
#
15.05.201525.72 Кб19ХХ6.docx
#
15.05.201527.57 Кб16ХХ7.docx
#
15.05.201515.28 Кб11ХХ8.docx
#
15.05.201519.57 Кб18хх9.docx
#
15.05.2015784.49 Кб784Часть 1_2507.pdf
#
15.05.2015832.09 Кб30Часть 2_2507.pdf
#
10.11.201977.31 Кб19шевелева 1.doc
#
16.04.201996.9 Кб16шпора по эконом.теории.docx
#
25.04.2019247.81 Кб20шпора соц.труда.doc
#
24.04.2019479.23 Кб17шпоры гидромаш.doc