Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть 1_2507

.pdf

Скачиваний:

784

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

784.49 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

НИ

12.Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической

величины буде допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна

0,4. Произведены три независимые испытания. Найти вероятность того, что

только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

Ответ: 0,432.

13.Вероятность отказа локомотива на линии за время полного оборота равна

0,01. Найти вероятность того, что в восьми поездах произойдутГдва отказа

локомотива на линии.

Ответ: 0,0026

14.В учебном заведении обучаются 730 студентов. Вероятность того, что день

рождения наугад взятого студента приходится на любой день года, равна

день рождения

1/365. Найти вероятность того, что на первое января выпадетка

трех студентов.

Ответ:0,18.

15.Вероятность прибытия каждого поезда на станцию без опоздания равна 0,95.

Найти вероятность того, что из 5 последовательно прибывающих поездов

четыре прибудут без опоздания.

Ответ: 0,2036.

16.Вероятность того, что при

некоторой физической

одном измерении

превышающаял

величины будет допущена оши ка,

заданную точность равна

0,4. Произведены три независ мых

спытания. Найти вероятность того, что

только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.

ая

Ответ: 0,432.

n 0

§7. Наивероятнейшее число появленийб

события в независимых испытаниях

Определение.

Число

m0 (0 £ m0 £ n) н зывается

наивероятнейшим

числом

наступлений

события А в схеме Бер улли, если P (m )³ P (m) для всех m = 0,1,2,...n .

Если вероятность p и q отличны от нуля, то число m0 определяется из двойного

неравенства:

нnp - q £ m0 < np + p ,

(1)

причем:

а) если число np-q –дробное, то существует одно наивероятнейшее число m0 ;

и m +1;

б) если число np-q – целое, то существует два наивероятнейших числа; m

в) если число npцелое, то наивероятнейшее число m0 = np .

Прим р 1.

Всхож сть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти наивероятнейшее

чис о всхожих семян в партии из 240 семян.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Решение. np − q ≤ m0

< np + p .

НИ

Поскольку

n = 240 ,

p = 0,7 и q = 0,3,

то

240 × 0,7 - 0,3 £ m0 < 240 × 0,7 + 0,7 ;

т.е.

167,7 ≤ m0

< 168,7

Отсюда следует, что m0

= 168.

ОтветГ

: 168.

Пример 2.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одномАвыстреле для

первого стрелка равна 0,2 , а для второго – 0,4. Найти н ивероятнейшее число

залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки

произведут 100 залпов.

Решение. Промахи стрелков – события независимые. В роятностька

того, что оба

стрелка при одном залпе промахнутся,

p = 0,2 × 0,4 = 0,08 . Поскольку np = 100 × 0,08 = 8

- целое число, то наивероятнейшее число залпов, при ко орых не будет ни одного

попадания,

m0 = np = 8

Ответ: 8.

Пример 3.

Товаровед осматривает 29

образцов товаров. Вероятность того,

что каждый из

образцов будет признан годным к продаже, равна 0,8. Найти наивероятнейшее

число образцов, которые товаровед признает

лгодными к продаже.

Решение. По условию n = 29;

p = 0,8 ;

q = 0,2 . Найдем наивероятнейшее число

годных к продаже образцов товаров

з двойного неравенства:

np − q ≤ m

< np + p .

Подставляя

данные

задачи,

или

получим

29 × 0,8 - 0,2 £ m0 < 29 × 0,8 + 0,8,

25 ≤ m0 < 26 .

Так как np - q = 25

- целое

число,

то

наивероятнейших чисел

два: m0 = 25 и

+1 = 26

ая

Ответ: 25 и 26.

Задания для самостоятельнойн

работы

1. Вероятность т го, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее

вероятное число опоздавших из 96 студентов.

В помещениир

Ответ: 7.

6 лампочек. Вероятность того, что каждая лампочка остается

исправной в течение года, равна 0,7. Найти наивероятнейшее число лампочек,

которые будут работать в течение года.

Ответ: 4.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

3. Прибор состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероятность отказа

элемента в момент включения 0,2. Найти наивероятнейшее число отказавших

элементов.

Ответ: 1.

4. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число

выпадений шестерки было равно 5.

Ответ:Г29 ≤ n ≤ 35

5. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность

того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее числоА

деталей,

которые будут признаны стандартными.

Ответ: 8.

6. Найти наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт

среди 19 перфокарт, если вероятность того, что перфокарта набитака

неверно, равна

0,1.

Ответ: 17; 18.

7. Два стрелка одновременно стреляют по мишенямт. Вероятность попадания в

мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,6.

Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в

мишень, если будет произведено 15 залпов.

Ответ: 7.

8. Вероятность появления события в каждомл

из независимых испытаний, равна

0,3.

Найти число испытаний, при котором наивероятнейшее число появлений

события в этих испытаниях будет равно 30.

Ответ: 100 ≤ n ≤ 102

9. Чему равна вероятность наступления события в каждом из 39 независимых

ая

испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях

равно 25.

Ответ: 0,625 < p ≤ 0,65

10. Сколько раз необходимо кинуть игральный кубик, чтобы наивероятнейшее

число появления тройки рав ялось 55?

Ответ: от 329 до 335 раз.

11.

нейшее число положительных ошибок при четырех

Найти наивероят

измерениях, если при каждом измерении вероятность получения положительной

ошибки равна 2/3.

Ответ: 3 ошибки.

12. Для данного п ибора вероятность того, что он неисправен, равна 0,4. На

складе имее сяр10 таких приборов. Найти наивероятнейшее число неисправных

приборов на с ладе и соответствующую вероятность.

Ответ:4; 0,251.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§8. Приближенные формулы в схеме Бернулли	НИ
§8. Приближенные формулы в схеме Бернулли
8.1. Формула Пуассона

Определение.

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность p достаточно

мала, причем их произведение λ = np не мало и не велико (p < 0,1;npqГ< 10), то

вероятность Pn (m) можно приближенно найти по формуле Пуассона

Pn (m) » λm ×е−λ

(1)

Пример 1.

В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях

ка

домов. Вероятность выхода из строя одного замка в т ч ние месяца равна 0,0002.

Найти вероятность того, что за месяц откажут два,

ри и пя ь замков.

Решение λ = np = 10000×0.0002 = 2 , тогда

(2) =

22 ×е−2

= 0,27

10000

= 0,18 и

(3) =

23 ×е−2

10000

(5) =

25 × е−2

= 0,036

10000

Ответ: 0,27; 0,18; 0,036.

Пример 2.

Завод изготовитель отправил на базу 12000 доброкачественных изделий. Число

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

изделий поврежденных при транспортировке, составляет в среднем 0,05%. Найти

вероятность того, что на б зу поступит не более 3 поврежденных изделий.

ая

Решение. Имеем n = 12000, p = 0.0005, λ =12000×0.0005 = 6 .

P12000 (0 £ m £ 3) = P12000 (0)+ P12000 (1)+ P12000 (2)+ P12000 (3) »

60 ×е−6

61 × е−6

62 × е−6

×е−6

== е−6 × (1+ 6 +18 + 36) = 0,151

Пример 3.

Ответ: 0,151.

Устройс во сосроит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого.

Вероятностьт

отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Найти

вероятность того, что за время t откажут ровно 3 элемента.

Это схема Бернулли, причем проводится большое число испытаний

Реш ние.

(n = 1000),е

вероятность появления испытуемого события при единичном

P (k) = lk

e- λ ,

НИ

где λ = np.

(3) = 23 e-2 = 0,18 .

В нашем случае λ =1000×0,002 = 2 и P

1000

ка

Ответ: 0,18.

8.2. Локальная формула Муавра-Лапласа

Теорема.

Если число испытаний n достаточно вел ко, а вероятности p и q не очень

близки к нулю (n>100, npq>20),

можно приближенно

то вероятность Pn (m)

найти по локальной формуле Муавра-Лап аса.и

P (m) »

×ϕ(x),

(2)

npq

- np

,ϕ(x) =

е−

где x =

- функция Гаусса.

npq

2π

Таблица значений функции ϕ(x) приводится в приложениях для положительных

значений x . Функция

ϕ(- x) = ϕ(x) - четная.

Пример 4.

ая

Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное изделие

окажется бракова ым, нпостоянна и равна 0,05. Какова вероятность того, что в

партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных.

= 0,95(npq = 1000 ×0,05× 0,95 = 47,5 > 20).

Решение. По усл вию n = 1000,m = 40, p = 0,05,q

Применим локальнуюо

формулу Муавра-Лапласа. Так как

» 6,892 ,

npq

47,5

m - np = 40 - 1000 × 0,05 = 40 - 50 = -10, то х =

- np

-10

» -1,45 .

npq

6.892

следовательно,

P1000 (40) »

0,1394

ϕ(x) = ϕ(-

1,45) = ϕ

(1,45) » 0,1394

= 0,02

6,892

Ответ: 0,02

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

испытании мала (p = 0,002). В этом случае формула Муавра–Лапласа дает весьма ощутимые погрешности и не может быть рекомендована для использования. Тогда пользуются асимптотической формулой Пуассона:

Пример 5.

100 конденсаторов подвергаются испытанию на надежность в работе в течение t

часов. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2.

Определить наивероятнейшее число вышедших из строя конденсаторов за время t

и соответствующую вероятность этого события.

НИ

Решение. Обозначим наивероятнейшее число конденсаторов, которые за время t

выдут из строя, через m

. Известно, что

np-q£ m0 £ np+ p,

В нашем случае n = 100, p = 0,2, q = 0,8, поэтому

m0 = 20

. Таким образом,

ка

за время t вероятнее всего выйдут из строя 20 конденсаторов. Обозначим выход из

строя 20 конденсаторов за время t как событие А. Вероя

еность события А найдем

по формуле Муавра-Лапласа:

P(A) = P

(20) = ç

÷ × j(0)

= 0,1.

100

100 × 0,2 × 0,8

Ответ: 0,1.

8.3. Интегральная формула Муавра – Лапласа

Теорема.

В условиях локальной формулы Муавра – Лапласа вероятность Pn (m1 ≤ m ≤ m2 )

того, что число успехов m з ключено между m1

и m2 , можно приближенно

найти по интегральной формуле Муавра – Лапласа

P (m m

)= Φ(x

)− Φ(x ), где

n ая1,

х1н=

− np

, х2 =

− np

(3)

npq

Φ(x) =

−

òе

2 dt - функция Лапласа.

2π

Таблица функции Лапласа для положительных значений x(0 ≤ x ≤ 5) приведена в

приложении; для значений x >5 полагают Φ(x)= 0,5. Для отрицательных значений

x учитываютт, что Φ(− x) = −Φ(x).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 6.	НИ

Вероятность попадания в цель из орудия при отдельном выстреле равна 0,75.

Найти вероятность того, что при 300 выстрелах число попаданий будет не менее

210, но не более 230раз.

Решение.

По

условию

n = 300, p = 0,75, q = 0,25, m1

= 210, m2 = 230.

Воспользуемся

интегральной

формулой Лапласа, имеем: np = 300 × 0,75 = 225,

npq

300 × 0,5 × 0,25

= 7,5

ка

x1 =

210 − 225

= -2 ,

x2 =

230 − 225

= 0,67 следовательно,

7,5

P300 (210,230) = F(0,67)- F(- 2) = F(0,67)+ F(2) = 0,2486 + 0,4772 = 0,7258 .

Ответ: 0,7258.

8.4. Отклонение

относительной

частоты

вероятности в

т п стоянной

независимых испытаниях

Определение.

, в каждом из которых

Вероятность того, что в n независимых испытанияхи

вероятность

появления события

равна

p(0 < p < 1),

абсолютная величина

отклонения относительной частоты появления события от вероятности

появления события не

превыс т

положительного

числаε , приближенно

равна удвоенной функции Лапласа при

x = ε

`pq

ая

ö б

(4)

Pç

- p

£ ε ÷ = 2F

pq ø

Пример 7.

Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события

отклонится от его вероят ости по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Решение.

По условию

нn = 900, p = 0,5,q = 0,5,ε = 0,02.

Требуется найти вероятность

Pç

- 0,5

Pç

- p

÷ £ 0,02 . В спользуемся формулой

£ ε ÷ = 2F

900

= 2F(1,2)= 2 × 0,3849

Имеем pç

0,5

= 0,7698,

900

£ 0,02÷ = 2Fç0,02 ×

0,5 × 0,5 ø

так как F(1,2т) = 0,3849

Ответ: 0,7698.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 8.

НИ

Сколько раз

надо

подбросить монету, чтобы с

вероятностью

0,9 частота

появления герба отличалась от 0,5( вероятности выпадения герба) не более чем на

0,01?

Решение. Имеем p = 0,5,q = 0,5,ε = 0,01.

Pç

- 0,5

0,01÷ = 2Fç0,01

÷ = 0,9 откуда Ф(0,02 n) = 0,45 т.е.

0,5

× 0,5

ка

0,02

≈ 1,65,

= 82,5,n ≈ 6807

Задания для самостоятельной работы

Ответ: 6807.

Вероятность выхода из строя одного элемен а ус ройства, в течении t часов

работы, равна 0,002. Какова вероятность т гот, что за время t из 1500

независимо работающих элементов выйдет

з строя: а) 4

элемента; б) не

более двух элементов.

Ответ: а) 0,168; б) 0,199.

Вероятность допустить ошибку при налоре некоторого текста, состоящего

из 1200 знаков, равна 0,005. Найти бвероятность того, что при наборе будет

3.Какова вероятность того, чтоб среди 730 пассажиров поезда: а) четверо родились 23 февраля; б) двое - 1 марта, (считать 365 дней в году).и

	4.							ая		Ответ: а) 0,09; б) 0,270.
										Ответ: а) 0,09; б) 0,270.
		Вероятность отк за прибора при испытании равна 0,2. Приборы
		испытываются езависимо друг от друга. Что вероятнее: отказ 10 приборов
						н
		при испытании 80, или отказ 15 при испытании 120?
	5.				о		н		раз.	Ответ: 10 из 80.
	5.	Монета подбрасывается 2020							раз.	Какова вероятность того, что герб
				р
		выпадает 1000 раз?
	6.		т							Ответ: 0,016.
	6.	Всхожесть			семян данного				сорта	растений составляет 70%. Найти
		вероя нос ь того, что из 700 посаженных семян будет 500 проросших.
	7.	е								Ответ: 0,023.
	7.	Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых
	л	испытанияхк							48
		испытанияхк			равна 0,7. Найти вероятность того, что число m наступлений
Э		события удовлетворяет следующим неравенствам: а) 83 £ m £ 93, б) m ³ 70 .
Э										Ответ: а)0,02, б)0,5.
										Ответ: а)0,02, б)0,5.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

Какова вероятность того, что из 2450 ламп, освещающих улицу, к концу

года будет гореть от 1500 до 1600 ламп? Считать, что каждая лампа будет

гореть в течение года с вероятностью 0,64.

Ответ: 0,91.

Стрелок сделал 80 выстрелов; вероятность попадания при каждом выстреле

равна 0,7. Найти вероятность того, что а) стрелок попадет 56 раз; б) число

попаданий будет заключено между 50 и 60.

Ответ: а) 0,097 б) 0,76.

10.

Вероятность изготовления доброкачественного изделия равнаА

0,9.

Найти

вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий 95% окажется

доброкачественных.

Ответ: 0,001.

11.

выстр лека

Вероятность поражения цели при одном

равна

0,4.

Было

произведено 600 выстрелов. Найти: а) границы, в которых с вероятностью

0,9948

будет

заключено число попаданий

б)

число

выстрелов,

в цель;

0,9948 ожидать,

которые надо произвести по мишени, чтобы с вероятностьют

что отклонение относительной частоты от вероятности попадания при

одном выстреле будет меньше по модулю величины 0,05.

12.

Ответ: а) 207 ≤ m ≤ 273

б) 753.

Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний

равна 0,75. Найти вероятность того, чтол

относительная частота появления

события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более

чем на 0,01.

Ответ: 0,979.

13.

Для передачи

сообщений путём подачи

сигналов

«точка»

«тире»

ая

используется телеграфная система. Статистические свойства помех таковы,

что искажаются в среднем 0,4 сообщений «точка» и одна третья сообщений

«тире». Известно, что среди передаваемых сигналов точка и тире

встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что при приёме

сигнала «тире» действительно был передан сигнал «тире».

Ответ: 0,889.

14.

Прибор содержит н1000 элементов, каждый из которых за время t

может

выйти

езависимо

от других, с

вероятностью 0,002.

Какова

из строя,

вероятность выхн

да из строя прибора, если это происходит при отказе хотя

бы одного из элементов.

Ответ: 0,865.

15. Книга издана тиражом 10000

экземпляров. Вероятность того,

что книга

будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того,

что тираж содержит менее 5 бракованных книг.

Ответ: 0,95.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

16.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,005. Какова

вероятность попадания в цель не менее трёх раз, если число выстрелов

равно 800.

Ответ: 0,762.

17. Некачественные изделия составляют 0,02 всей продукции цеха. Какова

вероятность того, что среди 200 наудачу взятых изделий окажется не более 5

некачественных изделий.

Ответ: 0,784.

18. По данным телевизионного ателье, в течение гарантийного срокаА

выходит

из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 46

наугад выбранных кинескопов 36 проработают гарантийный срок.

Ответ: 0,023.

19. Вероятность рождения мальчика 0,515. Чему равна вкароятность того, что

среди 80 новорождённых 42 мальчика.

Ответ: 0,09.

сорта. Какова вероятность

20. 70% продукции объединения «Вилия» высшегот

того, что среди 1000 изделий этого объед

нения высшего сорта будет не

менее 682 и не более 760 изделий.

Ответ: 0,8925.

§9. Дискретные случайные вел ч ны

9.1. Закон распределения вероятностей

Определение.

ая

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта

может принять любые з ранее неизвестные значения.

Дискретной случайной величиной называется такая, значения которой есть

конечное множество фиксированных величин.

Законом распределе ия вероятностей (рядом распределения) дискретной

случайной величи

называется

последовательность

возможных

значений

случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем å pi = 1;

i=1

X 2

…

X n

можно задать

графически.

Для

этого откладывают на

Ряд распределения

горизонтальнойт

оси значения X, а на вертикальной – соответствующие им

знач ния в роятностей.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.201527.72 Кб18ХХ5.docx
#
15.05.201525.72 Кб19ХХ6.docx
#
15.05.201527.57 Кб16ХХ7.docx
#
15.05.201515.28 Кб11ХХ8.docx
#
15.05.201519.57 Кб18хх9.docx
#
15.05.2015784.49 Кб784Часть 1_2507.pdf
#
15.05.2015832.09 Кб30Часть 2_2507.pdf
#
10.11.201977.31 Кб19шевелева 1.doc
#
16.04.201996.9 Кб16шпора по эконом.теории.docx
#
25.04.2019247.81 Кб20шпора соц.труда.doc
#
24.04.2019479.23 Кб17шпоры гидромаш.doc