Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть 2_2507

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

832.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

13. По двум независимым выборкам n=50, m=50 найдены

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

= 20,1;

= 19,8; D(Х ) = 1,75;

D(У) = 1,375.

НИ

Требуется, при уровне значимости 0,05, проверить нулевую гипотезу

Н0 : М (Х ) = М (У)

при

Н1 : М (Х ) ¹ М (У).

Предполагается, что случайные величины Х и У распределены нормально

и выборки независимы.

Ответ: принимаем; Zн б = 1,2;

Zкр = 1,96.

14. По двум выборкам n=10, m=8 найдены выборочные средние

= 142,3 и

= 145,3 и исправленные дисперсии Sx2 = 2,7

Sy2

= 3,2.

Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

Н0 : М (Х ) = М (У)

при

Н1

: М (Х ) ¹ М (У ).

ка

Ответ: принимаем;

= 1,19;

Fкр (0,01;7;9) = 5,62.

Fнаб

15. На уровне значимости 0,05 требуется провер

ть нулевую гипотезу

Н0 : М (Х ) = М (У) о равенстве генера ьных средних нормальных

совокупностей Х и У при альтернативной гипотезе Н1 : М (Х ) f М (У )

по малым выборкам, объёмы которых n=10л

и m=16. Получены

следующие результаты:

уi

12,2

12,3

m i

хi

12,3

12,5

12,8

n i

Указание. Предваритель о проверить нулевую гипотезу о равенстве

ая

генеральных

дисперсий

Н0 : D(Х ) = D(У) при Н1 : D(Х ) f D(У).

Ответ: отвергаем.

Fнаб

= 1,57; Fкр (0,05;9;15) = 2,59;

Тнаб

= 3,83;

tпр.кр (0,05;24) = 1,71.

&5. Рег ессионный анализ

5.1. Линейная регрессия с несгруппированными данными

Р грессиейк

У на Х или условным математическим ожиданием случайной

величины У относительно случайной величины Х называется функция

вида

М (У / х) = f (x).

НИ

Регрессией Х на У называется функция вида М (Х / у) = ϕ(у).

Оценками этих функций являются выборочные уравнения регрессии, или

условные средние.

= f (x),

= ϕ (y).

ух

На практике используются выборочные уравнения линейной регрессии в

виде

= рх + β,

= р1 у + β1 , где

ка

ух

ху

ö æ

n × åxi yi - ç

åxi

÷ ×

å yi ÷

åxi2 ÷

× ç

å yi ÷

- çåxi ÷ ×ç

åxi yi ÷

р =

i=1

è i=1

ø è i=1

;

β = è i=1

ø è i=1

ø .

ö2

n × åxi2 - ç

åxi ÷

n × åxi2 -

åxi ÷

i=1

è i=1

i=1

è i=1

Аналогично находятся р1

β1. для функции

ху

Для оценки связи между случайными величинами исп льзуется выборочный

коэффициент корреляции

åхi yi - nx

μху

i=1

rв =

; где

μху

эмпирический

корреляционный

момент.

σ хв ×σ ув

Пример 1. На основании полученных измерений величин Х и У

Найти линейную регрессию У на Х и выборочный коэффициент

корреляции.

Решение. Составляем расчётнуюая

таблицу:

x i

y i

x i2

x i y i

y i2

100

144

168

196

360

382

415

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Определяем p =

5 ×382 - 40 × 43

190

β =

360× 43 - 40× 382

200

НИ

5 ×360 - 402

200

0,95;

5 × 360 - 402

200 = 1.

Выборочное уравнение регрессии имеет вид:

= 0,95х +1.

ух

Из расчётной таблицы находим:

= 8,

= 8,6.

ка

μху

382 - 5 ×8×8,6

= 7,6.

D(Х ) = 72 - 82 = 8;

D(У) = 83 - 8,62 = 9,04.

Откуда

σ хв =

» 2,83;

σ ув =

» 3,01.

D(Х )

D(У )

9,04

Таким образом

rв =

7,6

= 0,892.

2,83× 3,01

Ответ:

rв = 0,892

ух

= 0,95х +1

5.2. Линейная регрессия со сгруппированными даннымио

В том случае, когда варианты парной выборки встречаютсяи

по нескольку раз

их обычно представляют в виде корреляционной таблицы. На пересечении

строк и столбцов этой таблицы отмечается частотал

nij

выбора соответствующей

пары (xi , y j ) ,

частоты

вариант

y j ( j = 1,2,....k2 ) находятся как

xi (i =

1,2,...k1 ),

суммы значений nij по соответствующей строке или столбцу. Очевидно, что

ånxi

åny j

= n.

i=1

j=1

Выборочное уравнение линейной регрессии У на Х имеет вид:

σ ув

r (х -

)

σ хв

или выборочное урав

е иеаялинейной регрессии Х на У в виде

σ хв

r ( у -

σ ув

Для упрощения расчётов используют условные варианты.

= (xi

- c1 ) : h1 ,

v j = ( y j

- c2 ) : h2 , где с1 ,с2

- ложные

нули (варианты,

имеющие

частоту).

наибольшую

h , h - разности

между

соседними

вариантами

У.

2 к

Для выборочного коэффициента корреляции в этом случае используется

формулае

НИ

åv jVj − nuv

åuiUi − nuv

rв

i=1

;

где

Ui = ånijv j Vj = ånijui .

nσ uσ v

j=1

i=1

Для обратного перехода применяют выражения

xi = h1ui + c1 ,

y j = h2v j + c2 ,

x = h1 u + c1 ,

y = h2 v + c2 ,

σ хв = h1σ u ,

σ ув

= h2σ v ,

где

− средние

значения

условных вариант;

условных кавариант.

σ u ,σ v − средние

квадратичные

отклонения

Пример 1. Найти уравнение регрессии Х на У по данным

у j \xi

Решение. Для упрощения расчётов введем условные варианты:

ui = (xi − 25) : 5

v j

=и( y j − 35) :10

и составим корреляционную таблицу с условными вариантами.

v j \u i

-3

-2

-1

nv j

-2

-1

ая

nui

n=80

Затем составим новую таблицу, в которую внесём посчитанные значения nijUi

в правый верхний угол и nijV j в левый нижний угол, после чего суммируем

и нижние по столбцам для Ui и

верхние значения по строкам для получения Vj

uiUi и v jVj .

подсчитаем величины

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	v j \u i		-3												-2				-1		0			1		2			Vj		v jVj		НИ
	-2									-18								-8											-26		52
										6					4
			-12												-8
	-1														-12				-8										-20		20	Г
															6				8
															6				8
															-6				-8
	0																					0			2	10			12		0
																					21			2		5					А
																					0			0		0					А
																					0			0		0
	1																					0		12		12			24		24
																					4			12		6				ка
																					4			12		6				ка
	2																								1		10	е	11		22
																								1		5	т
																								2		10
																								2		10
	Ui		-12												-14				-8		4			14		16				-	å= 118
	uiUi		36												28				8		0			14		32		å		= 118	-
																									и	о		å
																									и					k1	k2
Для контроля правильности расчётов подсчитываем суммы åuiUi = åv jV j
																								л						i=1	j =1
										k1								k2						л
В нашем случае åuiUi = åv jV j = 118. Находим:
										i=1								j=1				б
							= (-3× 6 - 2 ×10 -1×8 +1×15 + 2 ×16) : 80 = 0,0125;
					u		= (-3× 6 - 2 ×10 -1×8 +1×15 + 2 ×16) : 80 = 0,0125;
																					и
				v = (-2 ×10 -1×14 +1× 22 +																	и		= 0;
				v = (-2 ×10 -1×14 +1× 22 +																2 × 6) : 8			= 0;
										= (9 × 6 + 4 ×10 +1×8 +1б×15 + 4 ×16) : 80 = 2,2625;
				u2						= (9 × 6 + 4 ×10 +1×8 +1б×15 + 4 ×16) : 80 = 2,2625;
										= (4 ×10 +1×14 +1× 22 + 4 × 6) : 80 = 1,25;
				v2						= (4 ×10 +1×14 +1× 22 + 4 × 6) : 80 = 1,25;
			σ u =

												u2			- (		)2 =		2,2625 - 0,01252 » 1,5;
												u2			- (	u	)2 =		2,2625 - 0,01252 » 1,5;
			σ v =

												v		2				2
														2				2
															- (v)ая= 1,25 » 1,12.
Вычисляем выбороч ый коэффициент корреляции:
															н
										r	=		118 - 80× 0,0125× 0							» 0,88.
										r	=									» 0,88.
										в	н				80 ×1,5×1,12
															80 ×1,5×1,12

Осуществим перех д к исходным вариантам:
	т	р						о= 5× 0,0125 + 25 = 25,0625;
						х		о= 5× 0,0125 + 25 = 25,0625;
									= 10 × 0 + 35 = 35;
						у			= 10 × 0 + 35 = 35;
	к				σ хв						= 5 ×1,5 = 7,5;
	к				σ ув						= 10 ×1,12 = 11,2.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

	л	е	55
Э	Находим уравнение регрессии Х на У:
Э

хв

r ( у -

НИ

ув

- 25,06

7,5

× 0,88× (у - 35);

ху

11,2

- 25,06

= 0,589× (у - 35);

ху

= 0,589у + 4,44.

ху

																							Ответ:									А
																							Ответ:							х	у = 0,589у + 4,44.
	Задания для самостоятельной работы																											е			ка
	Задания для самостоятельной работы

		1. На основании полученных по результатам измерений значений величин Х
			и У																						т

										х	3			5	7		9		10				12
										х	3			5	7		9		10				12
										у	14			10	9		9		6				5
																					и
		найти линейную регрессию Х на У и выбор чный к эффициент корреляции.
																		л		Ответо				:				= -0,99у +16,4; rв = -0,93.
																				Ответо				:		ху		= -0,99у +16,4; rв = -0,93.
		2.В магазине постельных принадлежностей бы и проведены в течение пяти
			дней подсчёты числа покупок простыней Х и подушек У:
										х		10		20		25		28				30
																б
										у		5		8		7		12				14
		Найти выборочное уравнение линейной регрессии У на Х и выборочный
		коэффициент корреляции.											б	и
									ая													Ответ:							= 0,45х -1,1; rв = 0,89.
																						Ответ:					ух		= 0,45х -1,1; rв = 0,89.
	3.Найти выборочное ур внение линейной регрессии Х на У на основании
		корреляционной т блицы
							н	н
						о	н		у j \ хi			15		20		25		30				35		40
									у j \ хi			15		20		25		30				35		40

									100			2		1		-		7				-		-
									100			2		1		-		7				-		-
					р				120			4		-		2		-				-		3
				т					140			-		5		-		10				5		2
									160			-		-		3		1				2		3
			к
		е	к																			Ответ: xy = 0,12y +12,8.
		е
	4. Найти выборочное уравнение линейной регрессии У на Х на основании
Э	л	корр ляционной таблицы													56
		корр ляционной таблицы

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

																																					НИ
										у j		\ хi			5				10			15		20		25		30									НИ
										у j		\ хi			5				10			15		20		25		30
										14						4			6			-		8		-		4
										24						-			8			10		-		6		-								Г
										34						-						32		-		-		-
										44						-			-			4		12		6		-
																										Ответ:							= 0,39x + 22,9.
																										Ответ:					yx		= 0,39x + 22,9.
	5.Найти выборочное уравнение линейной регрессии Х на У на основании
								110					3					-			5		-		2		10			-				ка	А
		корреляционной таблицы																																	А
									у j \ хi				10					15			20		25		30		35			40
									100				2					4			-		8		4		-					е
									100				2					4			-		8		4		-			10

									120				-					3			-		4		5		6			-
									130				2					-			4		6		-		о			5
									130				2					-			4		6		-		-			5
									140				-					4			7		-		-	и	1		т5
									140				-					4			7		-		-		1		т5
																								л		Ответ:							= −0,0655y + 35 .
																										Ответ:					xy		= −0,0655y + 35 .
	6. Найти выборочное уравнение линейной регрессии У на Х на основании
		корреляционной таблицы																		и
		корреляционной таблицы

																	б				25б
											у j		\ хi					20			25б		30		35		40
											16							4			6		-		-		-
											26							-			8		10		-		-
											ая							-			-		32		3		9
											36							-			-		32		3		9
											46							-			-		4		12		6
											56							-			-		-		1		5
							н																			Ответ:							= 1,45x −10,36.
							н																			Ответ:					yx		= 1,45x −10,36.
	7. Найти выбороч ые уравнения линейной регрессии Х на У и У на Х на
	основании корреляционнойн												таблицы
					р	о
				т		о		у j \ хi				5		10					15			20		25		30		35				40
								у j \ хi				5		10					15			20		25		30		35				40

								100				2		1					-			-		-		-		-				-
			к					120				3		4					3			-		-		-		-				-
								120				3		4					3			-		-		-		-				-
		е						140				-		-					5			10		8		-		-				-
								140				-		-					5			10		8		-		-				-
								160				-		-					-			1		-		6		1				1
	л							180				-		-					-			-		-		-		4				1
								180				-		-					-			-		-		-		4				1
																					57												= 0,42y − 38,3;
Э																					57					Ответ: xy							= 0,42y − 38,3;
Э																															yx		= 1,92x +100,9.
																															yx		= 1,92x +100,9.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

																																НИ
	8.Найти выборочные уравнения линейной регрессии Х на У и У на Х на
	основании				корреляционной таблицы
								у j	\ хi	18			23		28			33			38				43		48				Г
							125			-			1		-			-			-				-		-			А
							150			1			2		5			-			-				-		-			А
							150			1			2		5			-			-				-		-
							175			-			3		2			12			-				-		-
							200			-			-		1			8			7				-		-
							200			-			-		1			8			7				-		-
							225			-			-		-			-			3				3		-
							250			-			-		-			-			-				1		1		= 3,69каx + 66.


																												yx
																												е
																							Отв т: xy						= 0,19y − 3,1;
																										т				на У и У на Х на
	9.Найти выборочные уравнения линейной регрессии Х																													на У и У на Х на
	основании				корреляционной таблицы																				о
	основании				корреляционной таблицы

																						и
								у j	\ хi		5	10		15		20					25			30		35
								100			-	-		-		-					-			6		1
								120			-	-		-		-					-			4		2
								140			-	-		8		б					5			-		-
								140			-	-		8		10					5			-		-
																			л
								160			3	4		3				-		-				-		-
								180			2	1		-		1					-			-		-
														и															= −0,33y + 65,7;
																							Ответ:
																							Ответ:					xy
									ая				бнормальном															yx	= −2,15x +181,8.
									ая															распределении генеральной
	& 6. Проверка гипотезы о																							распределении генеральной
	совокупности по критерию Пирсона
							н
	Пусть эмпирическое р спределение задано в виде последовательности
	равноотстоящих вариа т и соответствующих им частот.
					о	н

										хi		х1		х 2		......							х N
			т							n i		n1		n 2			……						n N
			т
	Требуе ся, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что
	генеральнаярсовокупность Х распределена нормально.
	л	е												58
	Правилок			. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить
Э	гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, надо:
Э			1. Вычислить выборочную среднюю хв и выборочное среднее
			1. Вычислить выборочную среднюю хв и выборочное среднее

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

квадратичное отклонение σ в .

2. Вычислить теоретические частоты

ϕ(ui ),

σ в

где n- объём выборки,

–

шаг(разность между соседними

вариантами),

НИ

ui =

− x

ϕ(u) =

e−u

/ 2 .

σ в

2π

3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с

помощью

критерия Пирсона. Для этого:

а) составляют расчётную таблицу, по которой находят н блюдаемое

значение критерия

(ni

− ni/ )2

χнаб =

;

распр д л ниякахи-квадрат, по

б) по таблице критических точек

заданному

уровню значимости α и числу с

епеней свободы k = s - 3 (s-

число

групп

выборки)

находят

критическуюе

точку

χкр2 (α; k)

правосторонней области.

Если

χнаб2

p χкр2 −

нет

оснований

отвергнуть гипотезу о нормальном

распределении генеральной совокупности, т.е. теоретические и

эмпирические частоты различаются незначимо.

Если

χнаб2 f χкр2 − гипотезу отвергают. Другими словами, эмпирические и

теоретические частоты различаютсял

значимо.

5) следует объединить; в этом

Замечание. Малочисленные частоты ( ni

случае и соответствующие им теоретические частоты надо сложить.

Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней

свободы по

формуле

следует

качестве

принять

число групп

выборки,

оставшихся после объединения частот.

Пример 1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05

проверить,

cогласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной

cовокупности

эмпирическим

распределением

выборки

объёма

n = 200;

ая

x i

n i

среднее

Решение. 1. Используя метод произведений, найдём выборочное

квадра ичное отклонение

выборочную

среднюю.

Для

этого

составим

расчё ную

введя условные варианты ui

= (xi −11) : 2

аблицу,

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

хi	n i	u i	n i ui	niui2
5	15	-3	-45	135
7	26	-2	-52	104
9	25	-1	-25	25		А
11	30	0	0	0
13	26	1	26	16
15	21	2	42	84
17	24	3	72	216	ка
17	24	3	72	216
19	20	4	80	320
21	13	5	65	325
	åni = 200		åni ui = 163	åni ui2 = 1235

					åniui																																				о	т

	M										Þ M							163											x			= M					× h + c;Þ x
		1				n								1				200												в					1				и	в			е
						n												200
									2							1235
					åniui											1235
	M	2		=			n			;Þ M 2				=						= 6,175;																		л
	M	2		=						;Þ M 2				=		200				= 6,175;
												]× h				200

	Дв										2		2				Þ Дв = [6,175 - (0,815)																			2	]× 4 = 22,043;
	Дв			= [М 2				- (М1			)						Þ Дв = [6,175 - (0,815)																				]× 4 = 22,043;
	σ в									Þ σ в =																							и				б
			=			Дв ;									22,043 = 4,695.																						б
			=			Дв ;									22,043 = 4,695.
	2.Вычислим										теоретические																		б								учитывая, что						n	= 200,
	2.Вычислим										теоретические													частоты,													учитывая, что						n	= 200,
	σ в		= 4,695						по		формуле ni/ =													nh		×ϕ(ui ) = 200 × 2 ×ϕ(ui ) = 85,2 ×ϕ(ui																		).
																					ая														4,695
																								σ в											4,695
	Cоставим расчётную таблицу
																i			н															ϕ(ui )
																i			x i			u		=	x		i	-			x	в		ϕ(ui )					ni/	= 85,2 ×ϕ(ui )
																							i					σ в
												о																σ в
																1			5					-1,62										0,1074							9,1
										р						2			7					-1,20										0,1942							16,5
																2			7					-1,20										0,1942							16,5
															н3				9					-0,77										0,2966							25,3
								т								4			11					-0,35										0,3752							32,0
						к										5			13					0,08										0,3977							33,9
						к										6			15					0,51										0,3503							29,8
																6			15					0,51										0,3503							29,8
			е													7			17					0,93										0,2589							22,0
			е													8			19					1,36										0,1582							13,5
																8			19					1,36										0,1582							13,5
	л															9			21					1,78										0,0818							7,0
Э	л																																60
Э
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Г	НИ

h = 2,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.201525.72 Кб19ХХ6.docx
#
15.05.201527.57 Кб16ХХ7.docx
#
15.05.201515.28 Кб11ХХ8.docx
#
15.05.201519.57 Кб18хх9.docx
#
15.05.2015784.49 Кб784Часть 1_2507.pdf
#
15.05.2015832.09 Кб31Часть 2_2507.pdf
#
10.11.201977.31 Кб19шевелева 1.doc
#
16.04.201996.9 Кб16шпора по эконом.теории.docx
#
25.04.2019247.81 Кб20шпора соц.труда.doc
#
24.04.2019479.23 Кб17шпоры гидромаш.doc
#
11.09.2019351.31 Кб65Шпоры по билетам.docx