- •Элементы векторной алгебры
- •Содержание
- •1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над векторами
- •1.3. Свойства линейных операций над векторами
- •1.4. Проекция вектора на ось
- •1.5. Проекции вектора на оси координат
- •1.6: Направляющие косинусы вектора
- •§2 . Разложение вектора по базису
- •§ 3. Скалярное произведение векторов
- •3.1: Определение скалярного произведения векторов
- •3.2: Свойства скалярного произведения векторов
- •3.3. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •3.4. Деление отрезка в данном отношении
- •§4 . Векторное произведение
- •4.1: Определение векторного произведения
- •4.2. Основные свойства векторного произведения
- •4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •§ 5. Смешанное произведение векторов
- •5.1: Определение и геометрический смысл смешанного произведения
- •5.2. Свойства смешанного произведения.
- •5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •§6. Аксиоматические построения и система аксиом
- •6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор
- •6.2. Векторы в экономике
- •§ 7. Решение типовых задач
- •1). Действия над векторами
- •2). Скалярное произведение векторов
- •3) Векторное произведение векторов
- •3) Смешанное произведение векторов
- •Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
- •Определение взаимной ориентации векторов
- •2. Задачи для самостоятельной работы
- •3. Ответы:
- •5. Контрольная работа
- •6. Библиографический список
5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов
Теорема: Если векторы ,, заданы своими координатами=Х1 У1 Z1 и =Х2У2 Z2 ,={Х3; У3; Z3}, то смешанное произведение ··определяется формулой
· ·==Х1 +У1+Z1 .
Доказательство: Имеем:··= · ( ) . По теореме о выражении векторного произведения через координаты векторов =;;.
Умножая скалярно вектор =Х1У1 Z1 на вектор и используя теорему о выражении скалярного произведения через координаты получаем
· ·= Х1 + У1 +Z1 .
Пример. В пространстве даны четыре точки: А(1; 1; 1), В(4; 4; 4), С (3; 5 ; 5 ), D(2; 4; 7). Найти объем пирамиды, с вершинами в данных точках.
Решение. Как известно из элементарной геометрии, объем тетраэдра АВСD равен одной шестой объема параллелепипеда, построеного на векторах , , ; отсюда из теоремы о смешанном произведении заключаем, что объем тетраэдра равен абсолютной величины смешанного произведния · · . Найдем это смешанное произведение. Прежде всего, определим координаты векторов ; ; . Для этого из координат конца вектора вычесть координаты начала: = {3; 3; 3}, ={2; 4; 4}, = {1; 3; 6}. Используя теорему о смешанном произведении, получаем · · = 3 + 3 + 3 = 3 · 12 – 3 · 8 + 3 · 2 = 18. Отсюда V = · 18 = 3 куб. ед.
§6. Аксиоматические построения и система аксиом
6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор
Множество всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных ранее нами, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств, в частности = {Х; У;Z} – вектор в трехмерном пространстве. Очень часто при вычислениях, связанных с векторами отвлекаешься от геометрического смысла вектора и имеешь дело лишь с его координатами. По аналогии с описанной моделью множества векторов трехмерного пространства можно рассмотреть понятие n - мерного векторного пространства.
Определение: n – мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде = ( х1, х2, х3, ....., х n )
Понятие n – мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором = (х1, х2, х3, ....., х n ), а соответствующие цены – вектором = ( у1, у2 ,у 3,....уn ).
Два n – мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т. е. = , если хi =уi, i = 1,2,3.....,n.
Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор = + , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т. е . zi = хi + уi i = 1,2,3....., n.
Произведением вектора на действительное число называется вектор = , компонентыui которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т. е.ui = х i , i = 1, 2, 3....., n.
Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующими свойствами:
+ = + - коммутативное (переместительное) свойство суммы.
(+ ) + = + ( + ) – ассоциативное (сочетательное) свойство суммы.
( ) = ( ) - ассоциативное относительно числового множителя свойство.
( + ) = + – дистрибутивное (распределительное) относительно суммы числовых множителей свойство.
(+ ) = + – дистрибутивное относительно суммы векторов свойство.
Существует нулевой вектор =(0 , 0,.....0) такой, что + = для любого вектора(особая роль нулевого вектора ).
Для любого вектора существует противоположный вектор (-) такой, что+( -) = .
1 =для любого вектора(особая роль числового множителя 1).
Определение: Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.
По аналогии с линейно зависимыми и линейно независимыми строками матрицы вводится понятие линейной независимости векторов.
Определение: Вектор m называется линейно комбинацией векторов 1, 2, 3,.... m векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: m = 1 1+ 2 2+ 3 3+....+ m-1 m-1 , где 1 , 2 , ... m-1- произвольные действительные числа.
Определение: Векторы 1, 2, 3,.... m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1 , 2 , ..... m , не равные одновременно нулю, что
1 1 + 22+ ... +. mm= .
В противном случае векторы 1, 2, 3,.... m называются линейно независимыми.
Если векторы 1, 2, 3,.... m линейно зависимы, то, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.
Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных вектора 1 и 2 на плоскости. Действительно, условие 1 1+ 2 2 = 0 будет выполняться лишь в случае, когда
1= 2 = 0, ибо если, например 2 0, то 2 = – 1 и векторы 1 и 2 коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.
Свойства векторов линейного пространства:
Если среди векторов 1, 2, 3,.... m имеется нулевой, то эти векторы линейно зависимы.
Если часть векторов 1, 2, 3,.... m являются линейно зависимыми, то и все эти векторы – линейно зависимые.
Действительно, если, например, векторы 1, 2, 3,.... m линейно зависимы, то справедливо равенство 2 2 + mm= , в котором не все числа 2.... m и 1= 0 будет справедливо равенство 1 1 + 2 2+ ... +. mm= .
Пример: Выяснить, являются ли векторы 1 =(1, 3, 1, 3), 2 = (2, 1, 1, 2 ), 3 = ( 3, - 1, 1, 1 ) линейно зависимыми.
Решение. Составим векторное равенство 1 1 + 2 2+3 3 = или
1 + 2 + 3 = .
Задача свелась, таким образом, к решению системы:
Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду:
откуда найдем бесконечное множество ее решений (1 = с, 2 = -2с, 3 = с), где с - произвольное действительное число.
Итак, для данных векторов условие 1 1 + 22+ ... +. mm= выполняется не толдько при 1 = 2 = 3 =0 (а, например, при 1=1, 2 = -2, 3 =1 (с =1); при 1 =2, 2 =-4, 3 =2 (с =2) и т.д.), следовательно, эти векторы – линейно зависимые.
Линейное пространство R называется n- мерным, если в нем существует n линейно независимым вектором, а любые из (n + 1) векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства - это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства R и обозначает dim(R) .
Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного пространства R называется базисом.
Теорема: Каждый вектор х линейного пространства R можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.
Доказательство:
Пусть векторы е1, е2 ,..., еn образуют произвольный базис n- мерного пространства R . Так как любые из
(n + 1) векторов n- мерного пространства R зависимы , то будут зависимы , в частности , векторы е1 , е2,..., еn и рассматриваемый вектор х. Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числа 1, 2 ,n , , что
1 е1 + 2 е2 +...+ n е n + х =0
При этом 0, ибо в противном случае , если = 0 и хотя бы одно из чисел 1, 2 ,..., n было бы
отлично от нуля, то векторы е1 , е2 ,..., еn были бы линейно зависимы. Следовательно,
= - е1 - е2 - ... - е n или = х1 е1 + х2 е2 +...+х n е n где х i = - (i = 1, 2, ...., n) (*)
Это выражение через е1, е2,..., е n единственное, так как если допустить какое – либо другое выражение, например, = у1 е1 + у2 е2 +...+у n е n , то, вычитая из него почленно ( ), получим
( у1 – х 1) е1 + (у2 – х 2) е2 + ...+ (у n – х n) е n = 0 , откуда из условия линейной независимости векторов е1 , е2,..., е n следует, что у1 – х 1= у2 – х 2= ...= у n – х n = 0 или у1 = х 1, у2 = х 2 ... у n = х n у n = х n .
Равенство ( ) называется разложением вектора по базису е1 , е2,..., е n, а числа х 1, х 2 ... х n – координаты вектора относительно этого базиса. В силу единственности этого разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.
Важное значение имеет следующая теорема, которую мы приведем без доказательства:
Теорема. Если е1 , е2,..., е n – система линейно независимых векторов пространства R и любой вектор а линейно выражается через е1 , е2,..., е n ,то пространство R является n- мерным , а векторы е1 , е2,..., е n – его базисом.
Пример. В базисе е1, е2 , е3 заданы векторы а1 = (1; 1; 0), а2 = (1; -1; 1) и а3 = (-3; 5;-6) . Показать, что векторы а1 ,а2 , а3 образуют базис.
Решение. Векторы а1 , а2 , а3 образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: 1 а1+ 2 а2 + 3 а 3 = 0. Решая его аналогично примеру 1 можно убедиться в единственном нулевом решении: 1 + 2 + 3 = 0 , т.е. векторы а1 , а2 , а3 образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис.