- •Элементы векторной алгебры
- •Содержание
- •1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над векторами
- •1.3. Свойства линейных операций над векторами
- •1.4. Проекция вектора на ось
- •1.5. Проекции вектора на оси координат
- •1.6: Направляющие косинусы вектора
- •§2 . Разложение вектора по базису
- •§ 3. Скалярное произведение векторов
- •3.1: Определение скалярного произведения векторов
- •3.2: Свойства скалярного произведения векторов
- •3.3. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •3.4. Деление отрезка в данном отношении
- •§4 . Векторное произведение
- •4.1: Определение векторного произведения
- •4.2. Основные свойства векторного произведения
- •4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •§ 5. Смешанное произведение векторов
- •5.1: Определение и геометрический смысл смешанного произведения
- •5.2. Свойства смешанного произведения.
- •5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •§6. Аксиоматические построения и система аксиом
- •6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор
- •6.2. Векторы в экономике
- •§ 7. Решение типовых задач
- •1). Действия над векторами
- •2). Скалярное произведение векторов
- •3) Векторное произведение векторов
- •3) Смешанное произведение векторов
- •Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
- •Определение взаимной ориентации векторов
- •2. Задачи для самостоятельной работы
- •3. Ответы:
- •5. Контрольная работа
- •6. Библиографический список
3.2: Свойства скалярного произведения векторов
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произведения векторов:
=–(коммутмтивность).
Доказательство: По определению скалярного произведения
= cos и
=cos , но = , поскольку это произведение чисел. Следовательно,
= .
( ) = () – (ассоциативность)
(+ ) = + – (дистрибутивность).
Замечание 1: Данное свойство дает право при скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно. В силу свойства 1. можно при этом не заботиться о порядке сомножителей, а свойство 2. позволяет объединить числовые коэффициенты векторных сомножителей, например,
(2+5)(3+4) =(2+5)(3) +(2+ 5)(4) =(2)(3) +(5)(3)+(2)(4)+ (5)(4) =6+ 15+ 8+ 20.
= 2
Доказательство: По определению скалярного произведения = cos 0 = 2, если 0, т. е. если 0. Если же = 0, то также, по определению, = 0. Но в этом случае = 0 и, значит, равенство = 2 также справедливо.
Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается 2. На основании только что доказанного мы имеем: 2 = 2 отсюда, в частности, = .
5. Если = 0 и 0, то cos = 0 и = 2, т.е. векторы иперпендикулярны, т.е. . И обратно, если ,то= 0.
Замечание 2: Для базисных векторов ,,, непосредственно получаем следующие равенства:2 = 2 =2 =1, = = = = = = 0.
3.3. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Теорема: Если векторы изаданы своими координатами:= {Х1;У1; Z1},= {Х2;У2; Z2}, то их скалярное произведение определяется формулой = Х1 Х2 +У1У2+Z1Z2 .
Доказательство: Разложим векторы ипо базису , , : =Х1 + У1 + Z1,= Х2 + У2 + Z2. Используя замечание (1), получаем:
= Х1Х22+Х1У2+Х1Z2+У1Х2+У1У2 2 + У1Z2 + Z1Х2+ Z1У2 + Z1Z22.
Откуда, используя равенства (2), находим: =Х1Х2+У1У2+Z1Z2.
Из теоремы вытекают два важных следствия.
Следствие 1: Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов ={Х1;У1; Z1}, и = {Х2;У2; Z2} является равенство: Х1 Х2 +У1У2+Z1Z2=0.
Следствие 2: Угол между векторами = {Х1;У; Z 1},= {Х2;У2; Z2} определяется равенством:
Cos φ=
Действительно, по определению скалярного произведения = cos , где угол, откуда cos = . Пример: Даны три точки А (11 1), В (212), С (2 1 2). Найти угол = ВАС.
Решение. Применяя терему доказанную выше, найдем = 110, = 101. Отсюда на основании следствия (2) получаем: cos = = .
Следовательно, = 600.
3.4. Деление отрезка в данном отношении
Пусть в пространстве задан произвольный отрезок М1М2 и точка М – любая точка этого отрезка, отличная от М2. Пусть число называемое отношением, в котором точка М делит отрезок М1М2. . Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению и данным координатам точек М1 и М2 найти координаты точки М. Решить эту задачу позволяет следующая теорема:
Теорема: Если точка М (х; у; z) делит отрезок М1М2 в отношении , то координаты этой точки определяются по формулам:
Х= у =z =
z
М М 2
М 1
у
х О
Доказательство: По теореме о пропорциональности отрезков (из элементарной геометрии), заключенными между параллельными прямыми, имеем:
, но ,,т. к. хх1 и х2 х, имеем х=. Аналогично доказываются формулы у =z = .
Следствие: Если М1(х1; у1; z1) и М2 (х 2; у 2; z 2) – концы отрезка М1М2 , а точка М (х; у; z) – середина этого отрезка, то ее координаты находятся по формулам:
Х = у = , z = . (*)
Пример. Даны точки М 1 (1;1) и М 2(7;4). Найти точку М (х; у), которая в два раза ближе к М 1, чем М 2.
Решение: Искомая точка М делит отрезок М1М2 в отношении =12. Применяя формулы (*), находим координаты этой точки: х=3, у=2.