- •Элементы векторной алгебры
- •Содержание
- •1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над векторами
- •1.3. Свойства линейных операций над векторами
- •1.4. Проекция вектора на ось
- •1.5. Проекции вектора на оси координат
- •1.6: Направляющие косинусы вектора
- •§2 . Разложение вектора по базису
- •§ 3. Скалярное произведение векторов
- •3.1: Определение скалярного произведения векторов
- •3.2: Свойства скалярного произведения векторов
- •3.3. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •3.4. Деление отрезка в данном отношении
- •§4 . Векторное произведение
- •4.1: Определение векторного произведения
- •4.2. Основные свойства векторного произведения
- •4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •§ 5. Смешанное произведение векторов
- •5.1: Определение и геометрический смысл смешанного произведения
- •5.2. Свойства смешанного произведения.
- •5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •§6. Аксиоматические построения и система аксиом
- •6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор
- •6.2. Векторы в экономике
- •§ 7. Решение типовых задач
- •1). Действия над векторами
- •2). Скалярное произведение векторов
- •3) Векторное произведение векторов
- •3) Смешанное произведение векторов
- •Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
- •Определение взаимной ориентации векторов
- •2. Задачи для самостоятельной работы
- •3. Ответы:
- •5. Контрольная работа
- •6. Библиографический список
3) Смешанное произведение векторов
Уставление компланарности векторов в пространстве
Пример 12: Доказать компланарность векторов = 1 1; 3 , = 0 2 - 1 , = 1 - 1 4 .
Решение. Найдем смешанное произведение векторов :
= (определитель вычислен путем его разложения по элементам первого столбца).
Так как смешанное произведение векторов , и равно нулю, то эти векторы компланарны.
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
Пример 13:Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках
Решение. Найдем координаты векторов ,,, на которых построена пирамида:
Вычислим смешанное произведение этих векторов
Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах ,,, равен
Определение взаимной ориентации векторов
Определение взаимной ориентации векторов ,, основано на следующих соображениях. Если >0, то тройка векторов правая, если < 0, то тройка векторов левая.
2. Задачи для самостоятельной работы
1. По данным векторам а и b построить следующие их линейные комбинации: а) 2а + b; б) а — Зb; в) — а + 4-b;
2. Векторы служат сторонами треугольника ABC. Выразить через а, b, с векторы совпадающие с медианами треугольника.
3. В треугольной пирамиде SABC известны векторы Найти вектор , если точка О является центром масс треугольника ABC.
4. Дана прямоугольная трапеция ABCD, длины оснований AD н ВС которой соответственно равны 4 и 2, а угол D равен 45°. Найти проекции векторов на ось определяемую вектором .
5. Вектор а составляет с координатными осямн Ох и Оу углы . Вычислить его координаты, если |а| =2.
6. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах
7. Векторы определяют стороны треугольника ABC. Найти длину вектора , совпадающего с медианой, проведенной из вершины С.
8.В параллелограмме ABCD даны стороны
Выразить через ивекторы
9. В ТреугольникеABCпроведины меридианыaAK,BLиCM. Выразить и через векторыи.
10. Даны векторыи. Найти векторы: ;.
11. Найти направляющие косинусы вектора
12.Дано =5,=6. Найти скалярное произведение векторови, если уголмежду ними равен 120°
13. Найти угол А в треугольнике с вершинами A(1;2;-1),B(5;5;11),C(13;18;20)
14. Даны векторы ,,. Найти проекцию векторана вектор.
15. Даны векторы ,и. Найти проекцию векторана вектор.
16. Найти , если
17. Даны векторы и. При каком значенииm эти векторы перпендикулярны?
18.Даны три последовательные вершины параллелограмма А (-3;-2;0), В(3;-3;1) и С(5;0;2). Найти четвёртую вершину D и угол между векторами и.
19. Даны векторы и. При каком значенииm векторы перпендикулярны?
20. Найти площадь треугольника с вершинами А (2;2;2), В(1;3;3), С(3;4;2).
21. Упростить:
22. Известно, что а угол между иравен Найти .
23. Найти площадь треугольника с вершинами в точках
24. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1;1;1), В (2;3;4), С (4;3;2).
25. Вычислить площадь и высоту параллелограмма, построенного на векторах
26. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, где.
27. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах и.
28. Найти значения α и β, при которых векторы =и=являются коллинеарными.
29. На оси аппликат найти точку, равноудаленную от точек А(3;9;-1) и В(7;-3;9)
30. Определите координаты концов P и Q отрезка, который точками М(3;1;3) и N(6;-1;1) разделён на три части.
31. Проверить, является ли векторы компланарными?
32. Найти объём тетраэдра с вершинами в точках А (-1;1;0), В(2;-2;1), С(3;1;-1), D(1;0;-2).
33. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах и.
34. Установить, лежат ли в одной плоскости точки А (4;3;10), В (5;1;5), С (2;2;5), D (3;4;12).
35. В тетраэдре с вершинами D (-3;-3;-3), A (2;-1;-3), B (-1;2;3) и
C(-2;-2;1). Найти площадь грани АВС и длину высоты, проведённой к этой грани.
36.Выяснить, компланарны ли векторы ?
34. Определить , при котором компланарны векторы и
37. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках А (-1; 1; 0 ), В ( 2; -2; 1 ), С (3; 1; -1 ), D =(1; 0; -2 ).
38. На прямой проходящей через точки А (-3;8;2) и B (1;-2;0) найти точку С, абсцисса которой
39. Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках
40. Найти точку пересечения медиан треугольника, если вершинами его служат точки А(7;-4;5), В(-1;8;-2), С(-12;-1;6).
41. Найти все значения m, при которых вектора (1;m; 3) линейно выражается через векторыb(2;3;7),c(3;-2;4),d(-1;1;-1).
42. Предприятие выпускает 4 вида продукции Р1, Р2; Р3, Р4 в количествах 50, 80, 20,120 единиц. При этом нормы расхода сырья составляют соответственно 7; 3,5; 10; 4 кг. Определите суммарный расход сырья и его изменение при изменениях выпуска продукции Р1, Р2; Р3, Р4 соответственно +5, -4, -2, +10 единиц.
43. Предприятие выпускает три вида продукции Р1, Р2; Р3 в количестве 15, 25, 40 штук, реализуемых по ценам 30, 40, 50 усл. Ед. соответственно. Найти выручку предприятия от реализации продукции и ее изменение при изменении Р1, Р2; Р3цен продукции соответственно на +5, -3, +2 усл. ед.
44. Выяснить, являются ли векторы а1=(4;-5;2;6), а2=(2;-2;1;3), а3=(6;-3;3;9), а4=(4; -1;5;6) линейно зависимыми?