- •Элементы векторной алгебры
- •Содержание
- •1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над векторами
- •1.3. Свойства линейных операций над векторами
- •1.4. Проекция вектора на ось
- •1.5. Проекции вектора на оси координат
- •1.6: Направляющие косинусы вектора
- •§2 . Разложение вектора по базису
- •§ 3. Скалярное произведение векторов
- •3.1: Определение скалярного произведения векторов
- •3.2: Свойства скалярного произведения векторов
- •3.3. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •3.4. Деление отрезка в данном отношении
- •§4 . Векторное произведение
- •4.1: Определение векторного произведения
- •4.2. Основные свойства векторного произведения
- •4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •§ 5. Смешанное произведение векторов
- •5.1: Определение и геометрический смысл смешанного произведения
- •5.2. Свойства смешанного произведения.
- •5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •§6. Аксиоматические построения и система аксиом
- •6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор
- •6.2. Векторы в экономике
- •§ 7. Решение типовых задач
- •1). Действия над векторами
- •2). Скалярное произведение векторов
- •3) Векторное произведение векторов
- •3) Смешанное произведение векторов
- •Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
- •Определение взаимной ориентации векторов
- •2. Задачи для самостоятельной работы
- •3. Ответы:
- •5. Контрольная работа
- •6. Библиографический список
1.6: Направляющие косинусы вектора
Пусть дан произвольный вектор = будем считать, что выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку М плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед диагональю которого служит отрезок ОМ
Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений. Следовательно,
ОМ2 = ОМ12 + ОМ22 + ОМ32.
Но ОМ =, =Х, =У, =Z таким образом, получаем ,(3).
Обозначим через α, β, γ углы вектор аи осями координат. Из формул (1), (2) и (3) получаем
cosα = , cos β = , cos γ =
cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора .
Возводя в квадрат левую и правую части каждого из равенств, и суммируя полученные результаты, имеем:
сos2 + cos 2 +cos2 = 1, т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
В заключении пункта рассмотрим задачу:
Пусть даны две произвольные точки М1 (х1у1z1 ), М2(х2у2z2 ). Найдем расстояние d между ними. Используя теорему 2, и формулу (3), сразу получаем искомый результат:
= х 2 – х у2 –у 1 z2 –z 1 , а так как d – длина вектора , тоd = = – формула расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.
§2 . Разложение вектора по базису
Определение: Пусть задана система координат Охуz в пространстве. Пусть векторы ,,– единичные векторы осей координат, т. е. = = = 1 (т.е. их длины равны единице единичные векторы еще называют орт – векторами), и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат. Тройка векторов ,,называетсябазисом.
Имеет место следующая теорема:
Теорема 3: Любой вектор может быть единственным образом разложен по базису,,, т. е. представлен в виде:= + + , где, , – некоторые числа.
Доказательство: Приложив вектор к началу координат, обозначим его конец через М (смотри рисунок §1, 1,6.). Проведем через точку М плоскости, перпендикулярные осям координат. Пусть М1, М2, М3 – точки пересечения этих плоскостей с осями координат. По определению сложения векторов имеем:
=+,=+. (1)
Из этого равенства получаем =++. Так как векторыи,и,иколлинеарны, то=,=,=(2), где, , – некоторые числа.
Из равенства (1) и соотношений (2) получаем = + + .
Для доказательства единственности этого представления установим, что =Х, =У , =Z , где Х, У, Z – координаты вектора .
Покажем, например, что =Х. Так как Х=, если имеет то же направление, что и вектор, и Х= , если вектор имеет направление, противоположное направлению вектора, то= Х. Сравнивая с равенством=, получаем = Х. Аналогично показывается, что = У, = Z .
§ 3. Скалярное произведение векторов
3.1: Определение скалярного произведения векторов
Определение: Скалярным произведением двух ненулевых векторов и назавается число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол не определен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.
Скалярное произведение векторов и обозначают . Итак, = cos , где угол между векторами и .
Так как cos = Пр , cos = ПР, то можно записать = Пр = Пр . ( 1 ).
Пр = (2).
Типичным примером скалярного проиведения в физике является формула работы
А = cos , где
сила, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора