- •Элементы векторной алгебры
- •Содержание
- •1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над векторами
- •1.3. Свойства линейных операций над векторами
- •1.4. Проекция вектора на ось
- •1.5. Проекции вектора на оси координат
- •1.6: Направляющие косинусы вектора
- •§2 . Разложение вектора по базису
- •§ 3. Скалярное произведение векторов
- •3.1: Определение скалярного произведения векторов
- •3.2: Свойства скалярного произведения векторов
- •3.3. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •3.4. Деление отрезка в данном отношении
- •§4 . Векторное произведение
- •4.1: Определение векторного произведения
- •4.2. Основные свойства векторного произведения
- •4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •§ 5. Смешанное произведение векторов
- •5.1: Определение и геометрический смысл смешанного произведения
- •5.2. Свойства смешанного произведения.
- •5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •§6. Аксиоматические построения и система аксиом
- •6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор
- •6.2. Векторы в экономике
- •§ 7. Решение типовых задач
- •1). Действия над векторами
- •2). Скалярное произведение векторов
- •3) Векторное произведение векторов
- •3) Смешанное произведение векторов
- •Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
- •Определение взаимной ориентации векторов
- •2. Задачи для самостоятельной работы
- •3. Ответы:
- •5. Контрольная работа
- •6. Библиографический список
§ 5. Смешанное произведение векторов
5.1: Определение и геометрический смысл смешанного произведения
Определение: Смешанным произведением трех векторов ,,называется число, равное скалярному произведению векторана векторное произведение векторови, т. е. · ( ) .
Следующая теорема выражает геометрический смысл смешанного произведения.
Теорема: Смешанное произведение векторов · ( )равно объему параллелепипеда построенного на векторах ,,, взятому со знаком « +», если тройка векторов,,– правая, и со знаком « – », если тройка,,– левая. Если же,,компланарны, то · ( ) = 0. Другими словами:
· ( )=
Доказательство. Отложим векторы от общего начала и построим на них параллелепипед. Обозначим и заметим, что .
По определению смешанного произведения: .
Предполагая, что и обозначив через h высоту параллелепипеда, находим .Таким образом, при
Если же , то и
Следовательно, .Объединяя оба эти случая, получаем или .
Из доказательства этого свойства в частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное произведение , а если – левая, то .
Докажем второе утверждение. Пусть векторы ,икомпланарны. Если= 0, то, очевидно,· ( ) = 0. Пусть0. Тогда либо = 0 ( если векторыиколлинеарны ), либо ( ) ( еслиинеколлинеарны). В любом случае· ( ) = 0.
Итак, доказано, что если векторы ,икомпланарны, то· ( ) = 0. Верно и обратное: если· ( ) = 0, то векторы,икомпланарны. Действительно, если бы векторы,ибыли некомпланарны, то по теореме доказанной выше, смешанное произведение· ( ) =V 0, что противоречит условию.
Следствие. Из теоремы легко выводится следующее тождество · ( ) =· ( ) (1) , т. е. знаки · и в смешанном произведении можно менять местами. Действительно, согласно свойству (1) скалярного произведения ( ) ·=· ( ) (2.) . Далее по теореме имеем· ( ) =V, · ( ) =V (3). Так как тройки (,,) и (,,) имеют одинаковую ориентацию, т. е. либо обе правые, либо обе левые, то на основании теоремы в правых частях равенств (3) нужно брать один и тот же знак. Таким образом, имеем· ( )=· ( ) и на основании равенства (2)· ( ) = ( ) ·, т. е. получено тождество (1). В силу тождества (1) смешанные произведения· ( ) и· ( ) можно обозначить более простым символом··.
5.2. Свойства смешанного произведения.
1). Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:
а). Хоть один из перемножаемых векторов равен нулю.
б). Два из перемножаемых векторов коллинеарны.
в). Три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости.
2). Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного произведения (×) и скалярного (·) умножения.
3). Смешанное произведение не изменится, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке ··=··=··
4). При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет только знак: ··= -··
5). Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие равенства нулю их смешанного произведения, т. е. ··= 0 .