Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет»

Рубцовский институт (филиал)

Элементы векторной алгебры

Учебно-методическое пособие

Рубцовск – Барнаул 2012

Автор-составитель: Г.Н. ФАЙЗИЕВА

Рецензент:

Векторы: учебно-методическое пособие / авт.-сост. Г.Н. Файзиева. – Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2012. – 50 с.

Учебно-методическое пособие содержит необходимый теоретический материал, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и варианты заданий для самостоятельной работы по теме «Элементы векторной алгебры» для студентов экономических специальностей.

© Алтайский государственный университет, Рубцовский институт, 2012

Содержание

Предисловие 4

Введение 5

1. Векторы

§ 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора 6

1. Основные понятия 6

2. Линейные операции над векторами 7

3. Свойства линейных операций 10

4. Проекция вектора на ось 10

5. Проекция вектора на оси координат 11

6. Направляющие косинусы вектора 12

§2 . Разложение вектора по базису 14

§ 3. Скалярное произведение векторов 15

1. Опредение скалярного произведения 15

2. Свойства скалярного произведения 16

3. Выражение скалярного произведения через координаты 17

векторов

4. Деление отрезка в данном отношении 18

§4 . Векторное произведение 19

1. Опредение векторного произведения 19

2. Основные свойства векторного произведения 20

3. Выражение векторного произведения через координаты 22

векторов

§ 5.Смешанное произведение векторов 23

1. Опредение и геометрический смысл смешанного

произведения 26

2. Свойства смешанного произведения 27

4. Выражение смешанного произведения через координаты

векторов

§6. Аксиоматические построения и система аксиом 28

1. Векторное пространство, n - мерный вектор 28

2. Векторы в экономике 33

§ 7. Решение типовых задач 34

2. Задачи для самостоятельной работы 42

3 Ответы 46

4. Вопросы для самоконтроля 47

5.Контрольная работа 48

6.Библиографический список 50

Предисловие

Учебно-методическое пособие «Элементы векторной алгебры» предназначено для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки студентов по направлению подготовки 080100 «Экономика». Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по данному направлению, утвержденным приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 22 декабря 2009 года.

Одной из характерных особенностей современной экономической науки является широкое использование математического аппарата для решения возникающих в ней проблем. Такое широкое применение математики в экономике определяется, прежде всего тем, что математические методы и модели являются универсальным инструментальным средством, позволяющим осуществлять более высокий уровень формализации и абстрактного описания наиболее важных и существенных связей при исследовании экономических явлений и процессов, оценивать форму и параметры зависимостей между ними, определять наилучшие решения в заданной ситуации. Математический аппарат – важный инструмент экономического анализа, организации и управления. Для построения математической модели в экономике с использованием векторов необходимо владеть теоретическими знаниями, практическими навыками по данной теме. Осюда цель данного пособия – вооружить студентов фундаментальными знаниями по теме «Элементы векторной алгебры», как раздела математики, решающего интеграционные задачи между всеми разделами высшей математики и ее приложениями в экономике.

Учебное пособие состоит из двух частей. Первая часть содержит теоретический материал, вторая – примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельной работы, контрольные вопросы, варианты контрольной работы. Первая часть разбита на параграфы, каждый из которых представляет собой конкретную тему. Теоретический материал изложен подробно с выводом формул и с доказательством теорем. Задачи для самостоятельной работы подобраны по каждой теме.

Введение

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в X1X с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например: ,и др.) не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408­355 гг. до н. э.), а позднее «геометрической алгебре». В геометрическом исчислении, изложенном в труде Евклида «Начала», сложение и вычитание сводилось к сложению и вычитанию отрезков, а умножение ­ к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

Впоследствии в XVl ­ XVll в.в. геометрическая алгебра из-за ограничения своих средств исследования стала тормазом развития науки. Однако геометрические исчисления сыграли значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.

В 1587 г. Был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С.Стевина «Начала статики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом 90, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С.Стивен ввел стрелки. Иначе говоря, С.Стивен впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу.

Значительно позже французский математик Луи Пуансо (1777 ­ 1859) в книге «Элементы статики», вышедшей в 1803 г., разрабатывает теорию векторов, которой пользуется при рассматрении сил, действующих в различных направлениях.

Термин «вектор» происходит от латинского слова вектор, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий. Продолжительное время вектор рассматривался только как направленный отрезок, один из концов которого называли началом, а второй ­ его концом. В современной науке векторы широко используются во всех ее областях, в том числе в экономической. Многие обозначения при использовании векторов очень компактны, при этом не теряют в наглядности и содержательности.