§ 7. Решение типовых задач
1). Действия над векторами
Линейные операции над векторами:
При сложении, вычитании, умножении вектора на число их одноименные координаты складываются, вычитаются, умножаются на число
Пример
1:
Найти
Решение:
=2
=
(4; 14; -6) + (2;-2;-1)=(6; 12;-7)
Равенство векторов
Равные векторы имеют и равные одноименные координаты:
Коллинеарность векторов
Одноименные
координаты коллинеарных векторов
пропорциональны:
║
.
2). Скалярное произведение векторов
Угол между векторами
Пример
2: Векторы
и
образуют угол
=
Найти длину вектора
= 2
- 3
,
если
= 2,
= 1.
Решение.
Согласно
свойству скалярного проиведения, квадрат
длины вектора
равен его скалярному квадрату. Найдем
скалярный квадрат вектора
:
=
4
- 12
+ 9
=
4
- 12
cos
+ 9
= 4 * 2 2
– 12 * 2 * 1 cos
(
)
+ 9 * 12
= 16 –12+ + 9 = 13. Следовательно,
=
Пример 3: Найти угол А в треугольнике с вершинами А (1; 2; - 1), В (5; 5; 11), С (13; 18; 20).
Решение.
Искомый угол – это угол между векторами
=
=
{4;3;12} и
=
= {12;16;21}. По формуле (§3, следствие 2 ) имеем:
Cos А =
Таким
образом, угол А
= arccos
(
)
23 0
.
Пример
4: Даны вершины
треугольника: А(2;-1;3), В(1;1;1), С(0;0;5). Найдите
длину стороны АВ и
.
Решение: Найдем координаты вектора, зная координаты его начала и конца:
,
.
,
,
,
,
.
Ответ:
,
.
Пример
5:
Найти
Решение. Воспользуемся формулой
где
– скалярное произведение векторов
и
.
Вычислим
:
Найдем модули векторов
Тогда
Пример 6.
Вектор
ортогонален
вектору
Найти
Решение.
Так
как вектор
ортогонален
вектору
,то
,
и, значит, скалярное произведение этих
векторов тоже равно нулю:
С другой стороны
Итак,
и
Проекция вектора на заданное направление
Пример
7: Даны векторы
=
2
- 4
2 ,
= 0
6 -
2 ,
= 2
6
5.
Найти проекцию вектора
+
на
+
Решение.
Найдем координаты векторов
+
и
+
,
учитывая, что при сложении векторов их
соответствующие координаты складываются.
Итак,
+
=
4
2
7,
+
= 2
12
3.
Теперь по формуле (2) из §3 получаем
ПР
=
4,23.
Пример
8: Найти
,если
Решение.
Проекция
вектора
на вектор
определяется
по формуле
.
Найдем
координаты вектора
:
Вычислим
скалярное произведение векторов
и
и
модуль вектора
Тогда
Работа постоянной силы
Пусть
материальная точка перемещается
прямолинейно из положения А в положение
В под действием силы F,
образующей угол α с перемещением АВ
=S.
Из физики
известно, что работа силы F
при перемещении
S
равна
А
= F
S
cos
α, т. е. А = F
S.
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
3) Векторное произведение векторов
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Пример 9. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(2 2 2), В(1; 3; 3), С(3; 4; 2 ).
Решение.
Площадь треугольника АВС равна половине
площади параллелограмма, построенного
на векторах
и
,
т. е. половине длины векторного произведения
этих векторов. Так как
=-1;
1; 1,
=1;
2; 0 ,
то 
=
-
2
+
- 3
.
Отсюда
и
S
АВС =
Пример
10. Найти
площадь треугольника с вершинами в
точках
Решение.
Площадь
треугольника, построенного на векторах
и
,может быть
найдена по формуле:
где
векторное
произведение векторов
и
.
Примем
,
Вычислим координаты векторов
и
:
Найдем векторное произведение этих векторов
Тогда
Следовательно,
Пример 11:
Известно,
что
а
угол между
и
равен
Найти
.
Решение.
Согласно
определению векторного произведения
имеет место формула
Тогда
Подставив исходные данные, получим
Установление каллинеарности векторов
║
=
и наооборот:
=
║
.
Нахождение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила F=АВ и пусть О – некоторая точка пространства. Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:
перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
численно равен произведению силы на плечо;
образует правую тройку векторов.
Стало
быть, М = ОА
F