- •Элементы векторной алгебры
- •Содержание
- •1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Линейные операции над векторами
- •1.3. Свойства линейных операций над векторами
- •1.4. Проекция вектора на ось
- •1.5. Проекции вектора на оси координат
- •1.6: Направляющие косинусы вектора
- •§2 . Разложение вектора по базису
- •§ 3. Скалярное произведение векторов
- •3.1: Определение скалярного произведения векторов
- •3.2: Свойства скалярного произведения векторов
- •3.3. Выражение скалярного произведения через координаты векторов
- •3.4. Деление отрезка в данном отношении
- •§4 . Векторное произведение
- •4.1: Определение векторного произведения
- •4.2. Основные свойства векторного произведения
- •4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •§ 5. Смешанное произведение векторов
- •5.1: Определение и геометрический смысл смешанного произведения
- •5.2. Свойства смешанного произведения.
- •5.3. Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •§6. Аксиоматические построения и система аксиом
- •6.1. Векторное пространство, n - мерный вектор
- •6.2. Векторы в экономике
- •§ 7. Решение типовых задач
- •1). Действия над векторами
- •2). Скалярное произведение векторов
- •3) Векторное произведение векторов
- •3) Смешанное произведение векторов
- •Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды
- •Определение взаимной ориентации векторов
- •2. Задачи для самостоятельной работы
- •3. Ответы:
- •5. Контрольная работа
- •6. Библиографический список
§4 . Векторное произведение
4.1: Определение векторного произведения
Определение: Векторы иназываются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение: Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Например, в записи (;;) векторсчитается первым,- вторым,– третьим; в записи (;;) вектор– первый,- второй,– третий.
Определение: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
Тройка векторов (;;), изображенных ниже: а) правая, б) левая
а) б)
Определение: Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, который определяется тремя условиями:
длина вектора равна ||·||sin , где - угол между векторами и;
вектор перпендикулярен каждому из векторови;
векторы ,,образуют правую тройку векторов
Заметим, что условия 2) и 3) относятся к случаю, когда ||·||sin 0. Если же ||·||sin = 0 (т. е. либо, по крайней мере, один из векторов инулевой, либоsin = 0), то векторное произведение определяется только условием 1): в этом случае= 0.
4.2. Основные свойства векторного произведения
1.= 0, еслии- коллинеарные векторы.
Доказательство. Если векторы иколлинеарны, тоsin = 0. Следовательно, || = ||·||sin = 0, т. е. длина вектора равна нулю, а значит, и сам векторравен нулю.
2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов иравна площади параллелограмма ОАВС, построенного на этих векторах
Доказательство: Как известно из элементарной геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда ||·||sin = S, т. е. || =S.
3. = – (свойство антиперестановочности сомножителей).
4. (λ)= λ () (свойство сочетательности по отношению к скалярному множителю).
5. (+)=+(свойство распределительности относительно суммы векторов).
6. =, если два ненулевых вектора коллинеарны и наооборот.
Замечание: Свойство (5) дает право при векторном умножении векторных многочленов выполнять действия почленно, а свойство 3) – объединить числовые коэффициенты векторных множителей. Например,
(2+ 3)(4+ 5) = (2+ 3)4+ (2+ 3)5= 24+ 34+ 25+ 35= 8 () + 12 () + 10 () + 15(+).
Следует, однако, помнить, что порядок сомножителей векторного произведения является существенным и при перестановке сомножителей знак векторного произведения нужно заменить, например,
(++)( 2+ 3)= 2() + 2() + 2() + 3() + 3() + 3() = 2() 2() + 3() +3() = 2() + 3 () ().
Замечание 2: Согласно определению и свойству 1 и 2 векторного произведения для базисных векторов ,,получаем следующие равенства = 0 = = - = - = 0 =
= = - = 0.
4.3. Выражение векторного произведения через координаты векторов
Теорема: Если векторы изаданы своими координатами:=Х1У1 Z1 и =Х2У2 Z2 , то векторное произведение вектора на векторопределяется формулой
= ( У1 Z2 – У2 Z1) (Х2 Z1 – Х1Z2) (Х1 У2 – Х2 У1 ) .
Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
= .
С помощью определителя третьего порядка эту формулу можно записать так:
==( У1 Z2 - Z1У2) + (Х2 Z1 – Z2 Х1) +
+(Х1 У2 – Х 2 У1) .
Доказательство: Разложим векторы ипо базису = Х1+ У1+Z1,= Х2+ У2+Z2,
= Х1 Х2 ( ) + Х1У2 () +Х1 Z2 ( ) + У1 Х2 ( ) + У1 У2 () + У1 Z2 () +Z1 Х2 ( ) +Z1У2 () +Z1 Z2 ( ) . Отсюда на основании равенства ( 2 ), находим
= (У1 Z2 – У2 Z1) + (Х2 Z1 – Х1Z 2)+ (Х1 У2 – Х2 У1) или
= + +.
Получено разложение вектора по базису коэффициенты этого разложения представляют собой координаты вектора . Таким образом, =Х УZ , где Х = , У = , Z = (3) .
Пример: Даны векторы =2 57 , и =1 24 . Найти координаты векторного произведения .
Решение: По формуле ( 3 ) находим Х = = 6 У = = - 1 Z = = – 1 .
Итак, =6– 1 – 1.