Елементарна математика

Додавання.

Множення.

x y z,

x y z,

де x,y — доданки, z — сума.

де x,y — множники, z — добуток.

Властивості додавання.

Властивості множення.

 x y y x (комутативність

 x y y x (комутативність

додавання);

множення);

 x (y z) (x y) z

 x (y z) (x y) z

(асоціативність додавання);

(асоціативність множення);

 x 0 x (існування нуля);

 1 x x (існування одиниці);

 x ( x) 0 (існування

 x x 1 1 (x 0) (існування

протилежного числа ( x)).

оберненого числа x 1 ).

Віднімання.

Ділення.

x y x ( y) z,

x : y x y 1 z (y 0).

x — зменшуване, y — від’ємник,

x — ділене, y — дільник, z — частка.

z — різниця.

Натуральний степінь

Звичайні дроби.

xn x x x (n ),

x

y ,

n разів

де x — основа степеня, n — показник.

де x — чисельник, y — знаменник.

Ділення націло. Натуральне число

Ділення з остачею. Якщо a —

a ділиться на натуральне число b

ділене, b — дільник і

(позначають a b), якщо існує

a bc r, r b,

натуральне число c таке, що a bc.

то кажуть, що c — неповна частка,

Якщо a b, то b — дільник a, число a

r — остача.

кратне b, c — частка.

Найбільший спільний дільник.

Найменше спільне кратне.

Найбільшим спільним дільником

Найменшим спільним кратним

натуральних чисел a та b називають

натуральних чисел a та b називають

найбільше число, на яке ділиться і

найменше число, яке ділиться як на

число a, і число b і позначають

число a, так і на число b, і позначають

НСД(a,b).

НСК(a,b).

Розділ 1. ЧИСЛА. АЛГЕБРИЧНІ ВИРАЗИ

5

Правильні і неправильні дроби.

Дії із дробами.

Дріб a називають правильним, якщо



ac

a

,b

0,c 0;

b

bc

b

його чисельник менше за знаменник, і

a b

неправильним, якщо його чисельник

a

b

більше за знаменник.

 c

c

c

;

Вилученням цілої частини

 a

c

ak

cl

ak cl ,

неправильного дробу називають

перетворення

b

d

m

m

m

m

m

bc r

c r ,

a

де m НСК(b,d),k b

,l

d

;

b

b

b

 a

c ac ;

де a b,r b

b

d

bd

 a

:

c

ad

b

d

bc

Відсотки. Відсоток (процент)

1%a

a

0, 01a

числа a — це одна сота частина a.

100

Задачі на відсотки

Знаходження відсотків числа

p%a pa

100

Знаходження числа за відсотками

p%a b a b : p

b 100

p

100

Знаходження процентного

число a становить a 100% від числа b

відношення чисел

b

 Якщо число a збільшити на p%,

p

то дістанемо число

a

1

100

 Якщо число a зменшити на p%,

p

то дістанемо число

a

1

100

Формула складених відсотків.

Якщо A — початковий вклад, p —

p

n

річний відсоток, то наприкінці n -го

A 1

року вклад становитиме

100

Пропорція. Пропорцією називають

Властивості пропорції.

рівність двох відношень:

a

c

a

c

 b

d

ad bc;

b

d ,b 0,d 0,

 a

c

d b

d

c

де a,d — крайні члени пропорції;

;

b

d

c

a

b

a

b,c — середні члени пропорції

 a

c

a b c d

b

d

b

d

Задачі на пропорцію

 a

c

x ad

;

x

d

c

 x

c

x bc

b

d

d

Пряма пропорційність. Пряму

Обернена пропорційність. Обернену

пропорційність задає функція

пропорційність задає функція

y kx,k 0,

y k ,k 0.

де k — коефіцієнт пропорційності.

x

Властивість прямої пропорційності:

Властивість оберненої пропорційності:

x1

y1

x1

y2

.

.

x2

y1

x2

y2

Поділ числа a у відношенні k : l

ak

та

al

k l

k l

Масова частка речовини. Якщо

xi

mi

суміш містить k речовин масою

m1 m2 ... mk

m1,m2,...,mk , то масова концентрація

i -ої речовини

Розділ 1. ЧИСЛА. АЛГЕБРИЧНІ ВИРАЗИ

7

1.5. Прогресії

Арифметична прогресія

Геометрична прогресія

Характеристична властивість

an

an 1

an 1

, n 2

bn2 bn 1bn 1, n 2

2

Формула n -го члена

an

an 1

d a1 d(n 1),

bn

bn 1q b1qn 1,

де d — різниця прогресії

де q — знаменник прогресії

Формула суми n перших членів

Sn

a1 an

n

S

n

b

qn 1

q 1

2

1

[a;b] {x | a x b}

a

b

x

(a;b) {x | a x b}

a

b

x

[a;b) {x | a x b}

a

b

x

(a;b] {x | a x b}

a

b

x

(a; ) {x | a x}

a

x

( ;b) {x | x b}

x

b

[a; ) {x | a x}

a

x

( ;b] {x | x b}

x

b

( ; )

x

Модуль дійсного числа. Модулем

x 0,

x,

(абсолютною величиною) дійсного

x

x,

x

0

числа x називають число

Властивості модуля.

 x y

x

y

;



x

x

;



x

0;



xy

x

y

;



x

x

x

;

x

x



y

y

Геометричний зміст модуля.

A

b a

B

Віддаль між точками A(a) та B(b)

a

b

x

числової прямої дорівнює

b a

.