Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4612 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Елементарна математика

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
12.05.2015
Размер:
2.61 Mб
Скачать
☆

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

2.1. Степені, корені, логарифми

Степені.

 

 

 

 

 

 

Властивості степенів.

 

 

xn x x x (n );

xaxb xa b ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n разів

xa xa b;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

1 (x 0); x1 x;

xb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

1

 

 

 

(xa )b xab;

 

 

 

 

 

 

 

 

x

xa (x 0,a )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xy)a

xaya

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арифметичний корінь n -го

Властивості коренів.

 

 

 

степеня. Арифметичним коренем n -

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

го степеня з невід’ємного числа x

a

 

a;

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 0) називають таке невід’ємне

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число a n

 

 

 

, що

am n n

am

,m ,n ;

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

an x.

2n

a2n

 

 

 

 

a

 

, n ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для від’ємних чисел x (x 0):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n 1 a2n 1 a, n

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

не існує;

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n 1 x 2n 1

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифми. Логарифмом

Властивості логарифмів.

 

додатного числа x за основою

loga(xy) loga x loga y;

 

a (a 0,a 1) називають показник

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степеня, до якого потрібно піднести

loga

loga x loga y;

 

 

y

 

 

число a, щоб одержати число x, і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

позначають loga x (x 0).

logar

x

p

 

p

loga x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

log

x b ab x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log ax

x;

aloga x

x,x 0;

 

 

a

 

 

 

 

 

 

loga 1 0, loga a 1.

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

logb x

 

 

 

 

 

 

 

log10 x lg x

 

 

— десятковий

loga x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

logb a

 

 

 

 

 

 

логарифм;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

loge x ln x — натуральний

loga b

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

lnb

 

lg b

;

логарифм.

 

 

 

 

 

 

 

logb a

lna

lga

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a loga x , x

0

 

 

 

 

12 Розділ 2. ФУНКЦІЇ

2.2. Тригонометричні функції

Синус. Синусом числа t

називають

 

 

 

y

 

Pt

 

II

y

 

 

 

 

I

ординату точки Pt

одиничного кола і

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

позначають sin t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(t 2 k) sin t,k

 

;

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin( t) sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Косинус. Косинусом числа t

 

 

 

 

 

y

 

Pt

 

II

y

 

 

 

 

I

називають абсцису точки Pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

одиничного кола і позначають cost.

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(t 2 k) cost,k ,

 

 

 

O

cost 1 x

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos( t) cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тангенс. Тангенсом числа t

 

 

 

 

 

y

tg t

 

 

 

II

y

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

називають ординату точки перетину

 

 

 

 

 

 

 

Pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямої x 1 (осі тангенсів) із

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

променем OPt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

1 x

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg(t k) tg t,k

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg t

 

 

sin t

;

 

 

 

 

tg( t) tg t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Котангенс. Котангенсом числа t

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

II

y

 

 

 

 

I

називають абсцису точки перетину

 

 

 

 

 

Pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямої y 1 (осі котангенсів) із

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

променем OPt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

ctg t 1 x

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg(t k) ctg t,k ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg t

 

cos t

;

 

 

ctg( t) ctg t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Стандартні» значення.

 

 

Формули зведення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

x

x

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

cos x

 

 

cos x

sin x

 

 

 

sin x

 

 

sin

0

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

1

0

1

 

0

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

sin x

 

sin x

cos x

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

1

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

0

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

ctg x

 

ctg x

tg x

 

tg x

 

 

 

tg

0

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

 

tg x

 

tg x

ctg x

ctg x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

13

2.3. Тригонометричні формули

Основні тригонометричні

Формули додавання.

 

 

 

 

 

тотожності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x y) sin x cos y sin y cos x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x cos2 x 1;

 

 

 

 

 

 

cos(x y) cos x cos y sin x sin y;

tg x ctg x

1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg x tg y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg(x y)

 

 

 

;

 

1 tg2 x

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

1 tg x tg y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg x ctg y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg(x y)

 

 

1 ctg

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg x ctg y

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формули кратних аргументів.

Формули зниження степеня.

 

sin 2x 2 sin x cos x;

sin2

x

1 cos 2x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 2x cos2 x sin2 x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 3x 3 sin x 4 sin3 x;

cos2

x

1 cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 3x 4 cos3 x 3 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формули половинного аргументу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

sin

x

 

 

 

 

1 cos x

;

 

sin x

 

 

 

 

 

 

, t tg

;

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1 t2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

 

 

1 cos x

;

 

cos x

 

1 t

, t tg

x

;

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1 cos x

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

x

 

 

 

tg

 

 

 

 

 

 

 

;

tg x

 

 

 

, t tg

 

 

 

 

 

2

 

 

sin x

1 cos x

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

2

 

 

 

Перетворення добутку

Перетворення суми

 

 

 

 

 

тригонометричних функцій у суму.

тригонометричних функцій у добуток.

2 sin x sin y cos(x y) cos(x y);

sin x sin y 2 sin x y cos x y

;

2 cos x cos y cos(x y) cos(x y);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin x cos y sin(x y) sin(x y)

cos x cos y 2 cos x y cos x y

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x cos y 2 sin x y sin y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Обернені тригонометричні функції

 

 

 

 

 

 

 

 

Арксинус. Арксинусом числа x

 

 

Арккосинус. Арккосинусом числа x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

називають число t

0;

, косинус

називають число t

 

 

 

 

 

 

;

 

 

, синус

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

якого дорівнює x і позначають

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

якого дорівнює x, і позначають

 

 

arccos x.

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos x

t

cos t x;

 

 

arcsin x t

sin t

x;

 

 

cos(arccos x) x,x [ 1;1];

 

sin(arcsin x) x,x [ 1;1];

 

 

arccos( x) arccos x

 

 

arcsin( x) arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арктангенс. Арктангенсом числа

Арккотангенс. Арккотангенсом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

числа x

називають число t 0; ,

x називають число t

 

 

 

;

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

котангенс якого дорівнює x, і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

тангенс якого дорівнює x,

 

і

 

 

 

 

позначають arcctg x.

 

 

 

 

позначають arctg x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcctg x

t

ctg t x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg x

t

tg t

 

x;

 

 

ctg(arcctg x) x, x ;

 

 

tg(arctg x) x, x ;

 

 

 

 

 

 

arcctg( x) arcctg x

 

 

arctg( x) arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Стандартні» значення.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

2

 

1

 

 

0

1

 

2

3

1

 

 

3 1 1

0

1

1 3

 

2

2

2

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg

 

0

arcsin

 

 

0

 

 

3

4

6

6

4

3

 

2

 

3

 

4

 

6

 

 

 

 

6

 

4

3

2

 

 

5

3

2

 

 

 

 

arccos

 

5

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

arcctg

 

 

 

 

6

4

3

2

3

4

6

 

 

 

6

 

4

 

3

 

 

2

 

3

 

4

6

 

 

 

Основні тотожності.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x arccos x

 

arctg x arcctg x

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

 

 

 

 

15

2.5. Графіки степеневих функцій

 

 

 

 

 

 

Лінійна функція y ax b

 

y

 

 

 

 

(a,b ).

 

 

 

 

 

 

 

b

 

b

 

 

 

D(f ) .

 

 

 

 

 

 

 

y ax b

 

 

Графіком є пряма лінія з кутовим

a

 

 

x

 

 

 

O

 

 

 

коефіцієнтом k a tg .

 

 

 

 

 

 

 

Особливості розташування прямої y kx b

 

 

 

 

 

 

b 0

 

 

 

 

b 0

k 0

 

 

 

k

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

 

 

y

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

b

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y b

 

 

 

 

 

 

O

k 0 x

 

 

 

 

O

O

x

 

a

O

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратична функція

 

 

y

y ax2

bx c

 

 

y ax2 bx c (a,b, c ).

 

 

 

 

 

 

D(f ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

x

 

 

 

 

 

y ax 2

bx c

O

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

2

 

b

2

4ac

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

, a 0.

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графіком є парабола.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Особливості розташування параболи y ax2 bx c

 

 

 

 

y

a 0,

y

a 0,

y

a 0,

y

y

x

y

 

x

 

D 0

 

D 0

 

D 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

a 0,

a 0,

 

a 0,

 

 

 

 

 

 

x

 

x

D 0

 

 

 

 

 

 

 

 

D 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Степенева функція y

x,

y

 

y

x

 

 

D(f ) [0; ), E(f ) [0; ).

1

 

 

 

 

 

Функція зростає на [0; ).

 

 

 

 

 

 

 

O

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

 

 

 

 

 

 

Степенева функція y x3.

 

 

y

y x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(f ) , E(f ) .

 

 

 

 

 

 

 

Функція непарна;

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

зростає на .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графіком є кубічна парабола.

 

 

 

 

 

 

 

Степенева функція y 3 x.

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

D(f) , E(f ) .

 

 

1

 

 

 

 

Функція непарна;

 

 

 

O

1

 

 

x

зростає на .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

k 0

y

 

k

 

y

k 0

Степенева функція y x .

 

 

 

 

 

 

 

y k

y x

 

 

 

D(f ) \ 0 ; E(f ) \ 0 .

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Функція непарна;

 

 

O

x

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0,

 

 

 

 

 

 

 

спадає на D(f ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0.

 

 

 

 

 

 

 

зростає на D(f ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графіком є гіпербола, що має асимптоти: вертикальну x 0 і горизонтальну y 0.

Функція модуль y

x

.

y

 

 

 

 

 

D(f ) , E(f ) [0; ).

 

y

 

x

 

 

 

 

 

Функція парна.

O

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

 

 

17

 

 

2.7. Графіки показникової і логарифмічної функцій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показникова функція y ax ,

 

 

 

y

 

 

 

a 0,a 1.

 

 

 

 

 

 

y ax ,

 

 

D(f ) , E(f ) (0; ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 1

 

 

 

0

a 1,

 

1

 

 

 

спадає на ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція

 

a 1.

 

 

 

 

 

 

 

зростає на ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

y ax ,

 

 

 

 

 

 

 

0 a 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логарифмічна функція

 

 

y

 

 

 

 

 

y loga x, a 0,a 1.

 

 

 

 

 

y loga x,a 1

 

 

D(f ) (0; ), E(f ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a

1,

O

 

1

x

 

 

 

 

 

спадає на ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція

 

a 1.

 

 

 

 

 

 

 

зростає на ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

O 1

x

y loga x, 0 a 1

Логарифмічна і показникова функції є взаємно оберненими.

loga ax x

aloga x x, x 0

18

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

2.8. Тригонометричні функції

 

 

 

 

 

 

Синус y sin x.

y sin x

y

 

 

 

 

D(f ) , E(f ) [ 1;1].

 

1

 

 

3

 

 

O

 

 

2

 

 

 

x

Функція непарна;

 

 

2

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

періодична з періодом T 2 .

 

Синусоїда

 

 

 

 

 

 

 

 

Косинус y

cos x.

 

y cos x

y

 

 

D(f ) , E(f ) [ 1;1].

 

 

 

1

 

3

Функція парна;

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

O

 

2 x

періодична з періодом T 2 .

 

1

 

 

 

Косинусоїда

 

 

 

 

 

 

 

 

Тангенс y tg x.

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k | k

 

,

 

 

 

 

D(f ) \

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E(f ) .

 

 

 

 

 

O

 

 

Функція непарна;

 

 

 

 

 

3 x

 

2

2

 

2

періодична з періодом T ;

 

 

 

 

 

зростає на D(f ).

 

 

 

Тангенсоїда

 

Графік має вертикальні асимптоти

 

 

 

 

 

 

xk, k . 2

Котангенс y ctg x.

 

 

y

 

D(f ) \ k | k , E(f ) .

 

 

 

 

Функція непарна;

 

 

 

 

періодична з періодом T ;

 

 

O

x

спадає на D(f ).

 

2

2

 

 

 

 

 

Графік має вертикальні асимптоти

x k, k .

Котангенсоїда

 

 

 

 

 

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

 

19

 

 

2.9. Обернені тригонометричні функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арксинус y arcsin x.

 

 

 

y

y arcsin x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(f ) [ 1;1], E(f )

 

;

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Функція непарна;

 

 

 

1 O

1

x

 

 

зростає на D(f ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арккосинус y arccos x.

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(f ) [ 1;1], E(f ) [0; ].

 

 

 

y arccos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція спадає на D(f ).

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 O 1 x

Арктангенс y arctg x.

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(f ) , E(f )

 

;

 

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція непарна;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

зростає на D(f ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графік має горизонтальні асимптоти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арккотангенс y arcctg x.

 

 

y

 

y arcctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D(f ) , E(f ) 0; .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція спадає на D(f ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графік має горизонтальні асимптоти

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0, y .

Прямі і обернені тригонометричні функції є взаємно оберненими:

sin(arcsin x) x, x [ 1; 1],

 

 

 

 

 

 

 

arcsin(sin x) x, x

 

 

 

;

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

tg(arctg x) x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

arctg(tg x) x, x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

20 Розділ 2. ФУНКЦІЇ

2.10. Геометричні перетворення графіків функцій

Паралельне перенесення вздовж

 

y

 

 

 

 

осі Ox. Щоб побудувати графік

y f (x a ) y f(x) y f (x a )

y f (x a), графік y f(x)

паралельно переносять уздовж осі Ox

 

 

a

a

 

 

на a (праворуч для a 0, ліворуч для

 

O

 

 

 

x

a 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Паралельне перенесення вздовж

 

 

y

y f (x) b

осі Oy. Щоб побудувати графік

 

 

 

b

 

 

y f (x) b, графік y f(x)

 

 

 

 

y f(x)

паралельно переносять уздовж осі Oy

 

 

 

b

на b (вгору для b 0, вниз для

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

x

b 0).

 

 

 

 

 

 

 

y f (x) b

 

 

 

 

Стискання (розтягування) вздовж

y

y f(x)

y f(kx), 0

k 1

осі Ox. Щоб побудувати графік

 

 

 

 

 

 

y f (kx), графік y f(x)

 

 

 

 

 

 

розтягують у 1 разів (0 k 1)

O

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

k

 

 

y f(kx),k 1

 

 

уздовж осі Ox чи стискають у k разів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k 1) вздовж осі Ox

 

 

 

 

 

 

Стискання (розтягування) вдовж

 

y

y cf (x), c 1

 

осі Oy. Щоб побудувати графік

 

 

 

 

 

 

y cf (x), графік y f(x) стискають

 

 

y f(x)

 

 

в 1 разів (0 c 1) вздовж осі Oy

 

 

y cf (x)

 

 

c

 

 

 

 

чи розтягують у c разів (c 1) вздовж

 

O

0 c 1

 

x

осі Oy.

 

 

 

 

 

 

Дзеркальне відбиття щодо осі Ox.

 

 

y

y f(x)

 

Щоб побудувати графік y f(x),

 

 

 

 

 

 

графік y f(x) симетрично

 

 

 

 

 

 

відображують щодо осі Ox.

 

 

O

 

x

 

 

 

 

y f (x)

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности