Елементарна математика

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

21

Дзеркальне відбиття щодо осі Oy.

y f ( x) y

y f(x)

Щоб побудувати графік y f( x),

графік y f(x) симетрично

O

x

відображують щодо осі Oy.

Щоб побудувати графік y f x ,

y

частину графіка y f(x), x 0,

y f( x )

доповнюють його відбитком щодо осі

Oy.

y f(x)

O

x

Щоб побудувати графік y f(x) ,

y

частину графіка y f (x), y 0, не

міняють, а частину графіка

y f(x)

y f (x), y 0, відбивають щодо осі

Ox.

O

x

Гармонічне коливання

y

T 2

M

y M sin( t ),

де t — час, M 0 — амплітуда,

0 — частота (колова),

t — фаза,

O

x

— початкова фаза.

M

Формула доповняльного кута

Asin t B cos t M sin( t ),

M A2

B2;

A

,

cos

2

B

2

A

B

sin

2

2

B

A

22

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

2.12. Деякі характеристики функції

Парна функція. Функцію f

Графік парної

y

називають парною, якщо:

функції

f (a)

1) її область означення D(f )

симетричний

щодо осі Oy.

симетрична щодо початку координат;

O

a

x

2) для будь-якого x D(f ) виконано

a

рівність f ( x) f (x).

Непарна функція. Функцію f

Графік непарної

y

називають непарною, якщо:

функції

f (a)

1) її область означення D(f )

симетричний

a

O

щодо початку

x

симетрична щодо початку координат;

a

координат.

2) для будь-якого x D(f ) виконано

f(a)

рівність f ( x) f (x).

Зростаюча функція. Функція

y

зростає на множині X, якщо для

f (x2)

будь-яких x1, x2 X

f (x1)

x1 x2 f (x1) f (x2)

x1

x2 x

Спадна функція. Функція спадає на

y

множині X, якщо для будь-яких

f (x1)

x1, x2 X

f (x2)

x1 x2 f (x1) f (x2)

x1

x2

x

Періодична функція. Функцію f

Графік періодичної складається з

називають періодичною з періодом

повторюваних фрагментів графіка

T 0,

якщо для будь-якого x D(f ) :

функції на проміжку [0;T ].

1) (x T) D(f );

y

2) f (x T) f(x).

f (a)

T

O a

T a T 2T x

Якщо функція f (x) періодична з

функція y Af(kx b) також є

періодом T, то

періодичною з періодом

T

k

24

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

Степеневі рівняння і нерівності (n )

a 0

a 0

a 0

x2n 1 a

( ; 2n 1 a)

x

2n

a

( 2n a; 2n a)

x2n 1 a

x 2n 1 a

x2n a

x 0

x 2n a

x2n 1 a

(2n 1 a; )

2n

a,

x2n a

x 0

x

2n 1

x

a

( ;a

2n 1

)

2n

a

x

2n 1 x a

x a2n 1

2n x a

[0;a2n )

2n 1 x a

(a2n 1; )

2n x a

x 0

x a2n

2n x a

[0; )

(0; )

(a2n ; )

Рівносильність деяких ірраціональних рівнянь та нерівностей.

2n

2n

 f

(x) g

(x) f(x) g(x) ;

0,

f(x)

2n 1

2n 1



2n

0,

 f

g(x);

f (x) g(x) g(x)

(x) g

(x) f(x)

2n

g(x)

2n

;

f(x)

2n

(x),



f (x)

f (x) g

g(x)

g(x) 0;

0,

g(x)

2n 1

2n 1

2n



f(x) g(x) f(x) g

(x); 

g(x) ,

2n

f(x)

f(x) g(x)

0,

g(x)

2n

2n

f(x) 0,



f (x)

0;

g(x)

f(x)

f(x) g(x);

 2n 1 f(x) g(x) f(x) g(x) 2n 1 ;

2n

f (x)

f (x) 0,



0

2n 1

2n 1

g(x)

f(x) g(x) f(x)

g(x)

;

g(x) 0;

0,

2n 1

2n 1

f (x)

f(x)

g(x) f(x) g(x);

g

,

2n

x D



f (x)g(x) 0

0,

2n

2n

g(x)

f (x)

g(x)

g(x) f (x)

0;

f (x)

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

25

Показникові рівняння і нерівності

0 a 1

a 1

b 0

b 0

y

y

0 a 1

a 1

y b

y

b

y ax

ax b

x loga b

x loga b

y ax

ax b

x loga b

loga b O

x

O loga b

x

ax b

x loga b

x loga b

Логарифмічні рівняння і нерівності

0 a 1

y

a 1

0 a 1

a 1

y loga b

y b

loga x b

x ab

0 x ab

ab

x

loga x b

x ab

O

ab

x

y b

y loga b

loga x b

0 x ab

x ab

Рівняння і нерівності з синусом

a 1

a

1

a 1

sin x a

arcsin a 2 n x arcsin a 2 n

sin x a

x ( 1)n arcsin a n, n

sin x a

arcsin a 2 n x arcsin a 2 n

y

y

1

a

y a

x

O

x

1

arcsin a

arcsin a

arcsin a

y sin x

1

26

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

Рівняння і нерівності з косинусом

a 1

a

1

a 1

cos x a

arccos a 2 n x 2 arccos a

2 n

cos x a

x arccos a 2 n, n

cos x a

arccos a 2 n x arccos a 2 n

y

1

x

arccosa

1

a

y a

O

x

y

arccosa arccosa

y cos x

1

Рівняння і нерівності з тангенсом

y

y arctg x

tg x a

y

y a

2 n x

arctg a n

a

arctga

x arctg a n, n

tg x a

arctg a x

x

O

tg x a

2

arctg a n x 2 n

2

Рівняння і нерівності з котангенсом

y

y arcctg x

ctg x a

arcctg a n x (n 1)

x

y a

a

ctg x a

x arcctga n, n

arcctg a