Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Елементарна математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

4. Многочлени			51
[Крок 2. Наносимо на числову вісь знайдені ко-
[Крок 2. Наносимо на числову вісь знайдені ко-
рені і вилучаємо їх.]				x
рені і вилучаємо їх.]	2	4		x
	2	4

[Крок 3. Визначаємо знак многочлена в кожному з

інтервалів, на які розбивають корені рівняння чис-	Рис. до зад 4.16.1
інтервалів, на які розбивають корені рівняння чис-
лову вісь, проводячи хвилясту криву.]
[Крок 4. Записуємо відповідь.]
x (2; 4).

Коментар.  «Змійку» запускають праворуч від найбільшого кореня:

1)зверху, якщо старший коефіцієнт многочлена додатний;

2)знизу, якщо старший коефіцієнт многочлена від’ємний.

На тих проміжках, де крива проходить:

1)вище числової прямої, виконано нерівність f (x) 0;

2)нижче числової прямої, виконано нерівність f (x) 0.

Оскільки нерівності строгі, то точки x 2 та x 4 не включаємо у відповідь.
4.16.2. Розв’язати нерівність x2 4x 3												0.
Розв’язання. [2.13.2.]
								x			4,					1,
						x	1	x		2	4,	x		1		1,
							1			2				1
									3					2 3.
						x1x2			3			x		2 3.


[Оскільки нерівності нестрогі,									то точки x 1
[Оскільки нерівності нестрогі,									то точки x 1
та x 3 включаємо у відповідь].																		1		3	x
x ( ; 1] [3; ).																		1		3
x ( ; 1] [3; ).																			Рис. до зад 4.16.2
																			Рис. до зад 4.16.2
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
4.17. Розв’яжіть рівняння:
1) 3x 75;												2) 5x 65;
3) 9x 0;												4) x 0;
5)	x			8;								6)	5x				6;
5)	3			8;								6)					6;
	3													3
7)		6			5;							8)		9			0;
7)	5x				5;							8)	4x				0;
	5x												4x
9) 3x 5 16;												10) 1 2x 15;
11) 5(x 3) 80;												12) 6(2x 9) 102;
13)				7		1;						14)					12		3;

			2x 1												3x 7
15)			2x 1			2 ;						16)			2x 1				x 4 .
15)			3x 5			2 ;						16)					5		x 4 .
			3x 5			5											5	7

52	Розділ 1. ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНИ

4.18.

Розв’яжіть рівняння:

x2 9;

x2 400 0;

3) x2 5x 0;

4) 2x2 3x 0;

5) x2 6x 8 0;

6) x2 7x 12 0;

7) x2 4x 4 0;

8) x2 6x 9 0;

x2 4x 5 0;

10) x2 6x 10 0;

11) 2x2 x 3 0;

12) 3x2 4x 7 0;

13) x2 x 1

14) 4x2 5

2x 2 0.

4.19.

Розв’яжіть рівняння:

1) x4 26x2 25 0;

2) x4 6x2 8 0;

3) x4 4x2 5 0;

4) x4 8x2 9 0;

5) x3 x2 10x 8 0;

6) x3 6x2 5x 12 0;

7) 4x3 13x 6 0;

8) x3 5x2 12 0.

4.20. Розкладіть многочлен на множники:

x2 5x 6;

2) x2 8x 15;

6x2 5x 6;

4) 10x2 17x 3;

5x2 23x 10;

6) 7x2 8x 1.

4.21.

Розділіть многочлен на многочлен у стовпчик:

2x3 5x2 14x 8

;

2x3 3x2

11x 6

;

x 3

x4 3x 3 x2 8x 4

;

x4 x3 3x2 2x 2

x2 4x

x2 x 1

4.22.

Розкрийте дужки:

1) (x 3ay)2;

2) (2a 5b)2;

3) (x 3y)3;

4) (3x 2y)3;

5) (2a b)3;

6) (3x 2y)3;

7) (2a b)3;

8) (3x 2y)3;

9) (x y)4;

10) (x 3y)4;

11) (x y)5;

12) (x y)5.

4.23.

Скоротіть дріб:

a2 4

;

y2 49

;

7a 14

2 5y

7 6c c2

;

5a a2

21 3c

34a

7a2

4. Многочлени

4.24. Вилучіть повний квадрат двочлена:

1) x2 4xy 4y2;

2) x2 6xy 9y2;

x2 2x 10;

x2 8x 5;

5) x2 4x 9;

6) x2 x 1;

2x2 4x 9;

3x2 24x 43;

4x2 3x 6;

10) 2x2 3x 1.

4.25.

Спростіть вирази:

n ! (n 1)!

;

(n 1) ! n !

;

(n 2) !

(n 1)! n !

;

4n2

n !

1)!

(2n 1) !

(2n 1)!

4.26.

Розв’яжіть нерівності:

2x 22;

4x 28;

7x 21;

8x 48;

3x 15;

5x 30;

x 1

2x 1

4.27.

Розв’яжіть нерівності:

x2 16;

(x 1)2

6) (x 2)2 0;

(x 2)2 0;

8) (x 3)2

9) (x 1)(x 4) 0;

10) (x 3)(x 2) 0;

11) (x 3)(5 x) 0;

12) (x 2)(4 x) 0;

13)

x 2

14)

2x 1

x 3

x 4

15)

x 1

16)

x 3

17)

18)

19) (x 4)5(x 1)4(x 2)7 0;

20) (x 7)4(x 6)5(x 9)3

21) x4(x 6)5(x 9)3 0;

22) (x 4)5(x 3)4(x 2)7

54	Розділ 1. ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНИ

4.28.

Розв’яжіть рівняння:

1) 2x

x 3

2) 5x

48;

x 3

x 5

x 1

x 2

5) x2 5

24 0;

6) x2

x 1

1 2x.

4.29.

Розв’яжіть нерівність:

x 1

3x 5

9x 1;

2x 5

3x 8

x 2;

5) x2

2 0;

6) x2 3

2 0;

2x2 12x 13

x2 3x

Відповіді

4.17. 1) 25; 2) 13; 3) 0;

4) 0; 5) 24; 6)

18 ;

; 8)

;

9) 7; 10)

11) 19; 12) 13;

13) 4;

14) 1; 15)

; 16) 3.

4.18. 1) 3;

20;

3) 0; 5;

4) 0;

3 ;

2; 4; 6) 3; 4; 7) 2; 8) 3;

9) ;

10) ;

11)

3 ;1;

12) 1;

7 ; 13)

5 ;

14)

; 2.

7) 2; 1 ;

; 8) 2; 3

4.19. 1) 1; 5;

4) 3; 5)

4;1; 2; 6) 1; 3; 4;

33 .

2) 2; 2;

4.20. 1) (x 2)(x 3);

2) (x 3)(x 5); 3)

; 4) 10

;

0; 6) 7 x 1

5) 5 x 5 x

4.21. Розділіть многочлен на многочлен у стовпчик:

1) 2x x 16

; 2) 2x2

3x 2

;

3) x2 x 1;

4) x2 2x 4

4x 2

2 x 1

4.22. 1) x2 6axy 9a2y2; 2)

4a2 20ab 25b2;

3) x2 6xy 9y2; 4) 9x2 12xy 4y2;

5) 8a3 12a2b 6ab2 b3 6) 27x 3 54x2y 36xy2 8y3;

7) 8a3 12a2b 6ab2 b3; 8) 27x 3 54x2y 36xy2 8y3;

9) x 4 4x 3y 6x2y2

4xy3 y4; 10) x 4

12x 3y 54x2y2 108xy3

81y4;

11) x5 5x4y 10x3y2 10x2y3 5xy4 y5; 12)

x5 5x4y 10x3y2

10x2y3 5xy4 y5.

Продовження на ст. 102.

Розділ 2. ФУНКЦІЇ

5. Степенева функція

Навчальні задачі

5.1.Записати у вигляді степеня (з дробовим або від’ємним показником):

1)		1	;	2)	3			;
						a

	a3
							1		.
3)		3 a2 ;		4)

Розв’язання. [2.1.1, 2.1.4.2.]					4 a5

1.1 a 3. a3

2.3a a13.

3.3a2 a23.

4.	1	1	a 5 4.
		a5 4
	4 a5

5.2.Виконати дії:

	1) x3 x5;	2)	x5		;
	1) x3 x5;	2)	x3		;
			x3
	3) x 3 5 ;	4) x0;

	5) 3 x6 ;	6)		x6 .
Розв’язання. [2.1.1, 2.1.2, 2.1.4.]
1. x3 x5 x 3 5 x8.
2. x5	x5 3 x2.
x3

3.x 3 5 x3 5 x15.

4.x0 1.

5.3x6 x63 x2.

6.x6 x62 x 3 .

56	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

5.3.Обчислити:

						212 312													5
				1)		212 312										2)			5	410 ;
													;
						10						15	;
						2			3
								4
				3)				4			;					4)					12	.
				3)							;					4)						.
							25													3
Розв’язання. [2.1.2, 2.1.4.]
1.	212 312									212 10				22			4	.
1.	210 315									315 12				22		27		.
	210 315									315 12					33	27
					410 5
2.	5	410			410 5							42			16.
3.		4							4			2 .
3.												2 .
	25						25					5

4.			12				12
			12				12							4	2.
							3
	3
	3

5.4.Винести множник з під кореня:

	5
1)		27 ;	2)	24;
3)	4		4)	3	a11b4	.
		2500;

Розв’язання. [2.1.4.]

1. 527 525 22 525 522 254.

2. 24 22 6 22 6 26.

3. 42500 454 4 454 44 5422 52.

4. 3a11b4 3a9a2b3b 3a9b3 3a2b a3b3a2b.

5.5.Внести множник під корінь:

1) 33			2) a2 5	b	.
	6;

Розв’язання. [2.1.4.]

1. 336 333 36 333 6 3162.

2. a2 5b 5a10 5b 5a10b.

5.6.Спростити вираз:

1)		811 4 20;		2)	3					3
1)	4	811 4 20;		2)	3	81			49	3	24;
					5			.
							192t
3)	4		4 3a3 ;	4)
	4	27a
		27a
Розв’язання. [2.1.1, 2.1.2, 2.1.4.]					5 6t11
Розв’язання. [2.1.1, 2.1.2, 2.1.4.]

1.4 8114 20 4 481 1 4 3 1 13.

2.381 49 324 333 3 7323 3 333 33 7323 33

5. Степенева функція

333 7 233 1133.


3.	4		4	3a3			4	27a 3a3			4 34a4 3a.
		27a
	5											5
4.		192t			5 192t				5 32				32	2	.

	5 6t11					6t11				t10		5 t10		t2

5.7.Спростити вираз:


	1) 3 5 3 5;														2) 7 2 6.
Розв’язання. [1.9.6, 1.9.8, 2.1.4.]
																	[1.9.8]
1.	3 5 3 5					(3				5)(3 5)											32 (	5)2

											9 5					4 2.
													[1.9.6]
2. 7 2			1 2 1						(									(1
2. 7 2		6	1 2 1					6	(			6)2						(1		6)2		1 6

								(1 6)											6 1.
5.8.	Зобразити графік функції y													1 x 1.
Розв’язання. [2.5.1.] 														2
Розв’язання. [2.5.1.] 																						y
[Знаходимо точки перетину прямої з осями коорди-																						y				1 x 1.
нат і заповнюємо таблицю .]																						1			y	1 x 1.
				x	0		2																			2
																										2


				y	1		0															O		2		x
[Зображуємо пряму.]																							Рис. до зад 5.8
																							Рис. до зад 5.8

Коментар.  Оскільки графіком лінійної функції є пряма, то, для того щоб зобразити її, достатньо вибрати будь-які дві різні точки на цій прямій. Скажімо, точки перетину прямої з осями координат A(0; y1), B(x2; 0). Для цього поклада-

ють, спершу x 0 і знаходять y1, потім — y 0 і знаходять x2 з лінійного рівняння.

Покладаючи x 0, маємо y1 1.

Покладаючи y 0, маємо 0 12 x2 1 x2 2.

5.9.1. Розв’язати рівняння 3x 6 9 2x.

Розв’язання. [2.13.4.5.]

І спосіб (з перевіркою знайдених коренів).

3x 6 9 2x; 3x 6 2 9 2x 2

3x 6 9 2x 5x 15 x 3.

58	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

Перевірка.
Для x 3 :	3 3 6 3;	9 2 3	3.
x 3 — корінь рівняння.
ІІ спосіб (еквівалентних перетворень).

3x 6 0, 3x 6 9 2x

3x 6 9 2x

x 3.


x 2,
	x 3.
	x 3.
x 3

5.9.2. Розв’язати рівняння x 11 1 x.

Розв’язання. [2.13.4.3]

І спосіб (з перевіркою знайдених коренів). x 11 1 x; x 11 2 (1 x)2

	2		2	x	1
	2		2		1
x 11 1 2x x		x		3x 10 0 x	2
					2

Перевірка.

Для x 2 : 2 11									9 3;1 ( 2) 3.
x 2 — корінь рівняння.

Для x 5 : 5 11						16 4;					1 5			4.
x 5 не є коренем рівняння.
Отже, x 2.
ІІ спосіб (еквівалентних перетворень).


							x 0,
					1		x 0,
																			1 x 0,
		x 11 1 x					11 0,
		x 11 1 x			x		11 0,																	2
																								2
											2						2		x 11 1 2x x
											2								x 11 1 2x x
								x 11				(1
								x 11				(1			x)


															x 1,
				1,
			x	1,
																x		5,		x 2.
																x		5,		x 2.
				2	3x				10		0
			x		3x				10		0

																x 2
x 2.
x 2.
5.10.1. Розв’язати нерівність
5.10.1. Розв’язати нерівність										2x 1		2.
Розв’язання. [2.13.4.9.]
																1					1
																1					1
			2x 1 0,														,					,
			2x 1 0,
												x								x
	2x 1 1						2		2							2					2		x 1.
	2x 1 1															2					2		x 1.
													2x		1 1						1
			( 2x		1)				1				2x		1 1					x	1

x (1; ).

								5. Степенева функція										59
5.10.2. Розв’язати нерівність
5.10.2. Розв’язати нерівність									2x 1 3.
Розв’язання. [2.13.4.8.]
													1			1
													1			1
				2x 1		0,								,			,
				2x 1		0,
											x				x
	2x 1			3			2						2			2
	2x 1			3	2x 1		2	2					2			2
								2				1	9
								3			2x	1	9		x 4



									1		x 4.
										2
		1	; 4
x			; 4	.
		2
		2

5.10.3. Розв’язати нерівність x 6 2.

Розв’язання. [2.13.4.8.]

Оскільки x 6 0, то початкова нерівність розв’язків не має. x .

5.10.4. Розв’язати нерівність x 2 1.

Розв’язання. [2.13.4.9.]

Оскільки x 2 0, то початкова нерівність правдива для всіх x з області

означення функції f (x) x 2.

D(f ) : x 2 0 x 2.

x [2; ).

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

5.11. Запишіть у вигляді степеня (з дробовим або від’ємним показником):

1)	1 ;							2)		9		;
1)	1 ;							2)	x2			;
		x							x2
3)				1			;	4)					1		;

		3(x				3				5(x			4
		3(x		1)						5(x			2)

5)		5 b4 ;						6)		3 a2 ;
7)	1				;			8)			1			.
7)					;			8)						.
	11 c2									5 a4
5.12. Запишіть у вигляді степеня з основою x :
1) (x7 x9)2;								2) x7 (x9)2;
			2	3										7
			2						x
	x								x
3)						;		4)

													;
			9									6
	x								x

60	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

					3															6																						4				8
					3			x			4																										x					4
		x						x																													x
	5)																															6)
																									;																											;
																									;																											;
							x		5																														3
							x																										x
	7) x1 8 4																															8) x8 9 3																					9												;
																				8						x5				;																													x7
												x								8						x5				;																		x											x7

			4 x 3 3
																	x

																																10) 5 x 4 3																												4								.
	9)																				;																																x2											x 11

							3 x
							3 x
5.13.	Знайдіть значення числових виразів:
	1)			269																												2)		96 43
																;																																	;
		13			8		8				3					;																	27						4						5				;
		13					8																										27												2
			3	5					7																9						12												6												5
	3)		3						5								22											3 4 ;				4)				12																		40									;
	3)	15			7				8								22								8			3 4 ;				4)	4			9									5									8		5					4		;
		15					2															11						9					4							9					2											5
	5)			3410																		76						27				6)	163 321																						1810
																		:													;																					:															;
		11						17				9						:							14				8		;		2					8							6							:			7					5						8	;
		2						17																	14								2										5												2					5
	7)																															8)			3											3
				20									5;
				20									5;																								135														25;
			4						4
	9)			27													12															10) 4																							4
				27													12						;																	32 3																		8 27.

							4 4
							4 4
5.14. Спростіть (всі змінні вважайте додатними):

	1)		4 x2 ;																													2)		6 y4 ;

	3)		4 b8 ;																													4)					l16 ;

	5)			a2b4 ;																												6) 3 a3b6 ;

	7)			49a4										;																					8) 4		16a4b8														.
				169b2																																							c12
5.15.	Перетворіть заданий вираз до вигляду n																																								:
5.15.	Перетворіть заданий вираз до вигляду n																																		A						:
	1)					4																										2)		3								6
	1)			2		4					2;																					2)		3			3					6					3;

	3) 4 3b3																															4)												6 4a5 ;
	3) 4 3b3																		3b;													4)					2a							6 4a5 ;

	5) 3								6															;								6) 5 a4b3 10 a5b2 ;
	5) 3			ab					6						4ab									;								6) 5 a4b3 10 a5b2 ;

	7) 4 a3 :																															8) 6 a5 : 4																						;
	7) 4 a3 :																a;															8) 6 a5 : 4																		a				;

	9)	12 a2b3											: 6 ab4 ;																			10) 4 a3b5 : 5																														;
	9)	12 a2b3											: 6 ab4 ;																			10) 4 a3b5 : 5																									ab					;
																																12) 3

						3
	11)									;																																		a3 ;
	11)								x	;																																		a3 ;
	13) 4 23																										;					14) 5 4 3																							;
	13) 4 23									2m4n8																	;					14) 5 4 3														k2l5									;

	15) 5 23
	15) 5 23									2			2 ;																			16)									34 33												3		.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20197.83 Mб6електричний струм.doc
#
12.05.20156.13 Mб18електроніка.doc
#
17.03.2016629.27 Кб14Електроніка.pdf
#
12.05.2015378.44 Кб57Електротехническая часть.docx
#
24.08.2019520.19 Кб1Елемент_база.doc
#
12.05.20152.61 Mб28Елементарна математика.pdf
#
12.05.2015398.96 Кб13Елементи теорії графів. Для 1к.pdf
#
13.09.20191.46 Mб1ЕМСТ_Шпора(ALL).docx
#
07.07.2019858.35 Кб23ЕП відповіді.docx
#
18.08.2019365.06 Кб1Естамп-Іванов-Ахметов.doc
#
22.11.20191.93 Mб1Еталонні відповіді.docx