Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Елементарна математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

10. Парні, непарні і періодичні функції

13) y arccos(cos x);

14) y arcsin(sin x);

15) y arcctg(ctg x);

16) y arctg(tg x).

Відповіді

9.4. 1) D(y) [0; 3];

2) D(y) ( ; 1] [0; );

3) (6; 7) (7; );

4) D(y) ( 4; 3) ( 3; ); 5)

; 6) D(y) [ 1;11];

D(y)

x 2 n, n ; 8) x

n, n .

9.5. 1) E(y) [1; ); 2) E(y) ( ;14]; 3)

E(y) [4; 6]; 4) E(y) [4; 8];

7) E(y)

; 3

E(y) 0;

; 6)

E(y)

;

; 5

; 8) y

10. Парні, непарні і періодичні функції

Навчальні задачі

10.1.1. Дослідити на парність (непарність) функцію y 3x7 2x3 sin x.

Розв’язання. [2.12.1, 2.12.2.]

[Крок 1. Виписуємо область означення функції і перевіряємо її на симетричність щодо точки 0. ]

Область означення D(y) ( ; ) є симетричною щодо точки 0. [Крок 2. Знаходимо y( x). ]

y( x) 3( x)7 2( x)3 sin( x) 3x7 2x 3 sin x.

[Крок 3. Порівнюємо y( x) з y(x).]

y( x) y(x).

[Крок 4. Висновуємо про функцію y.] Функція y є непарною.

10.1.2. Дослідити на парність (непарність) функцію y						cos x	.
10.1.2. Дослідити на парність (непарність) функцію y							.
Розв’язання. [2.12.1, 2.12.2.]					x2 25
Розв’язання. [2.12.1, 2.12.2.]
Область означення D(y) ( ; 5) ( 5; 5) (5; )						є симетричною щодо
точки 0.
y( x)	cos( x)		cos x	.
y( x)	( x)2 25			.
	( x)2 25	x2 25

y( x) y(x).

Функція y є парною.

92	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

10.1.3. Дослідити на парність (непарність) функцію y x 1 .

Розв’язання. [2.12.1, 2.12.2]

Область означення D(y) ( ;1) (1; ) не є симетричною щодо точки 0.

Функція y ні є парною, ні є непарною (загального вигляду).

10.1.4. Дослідити на парність (непарність) функцію y 2x.

Розв’язання. [2.12.1, 2.12.2.]

Область означення D(y) ( ; ) є симетричною щодо точки 0. y( x) 2 x.

y( x) y(x), y( x) y(x).

Функція y ні є парною, ні є непарною.

10.2. Продовжити функцію y x2,	x (0; ) на ( ; 0] так, щоб продов-
жена функція на стала:
1) парною;	2) непарною:
Розв’язання. [2.12.1, 2.12.2.]

Продовжуємо функцію y x2 на проміжок ( , 0)

начуємо в точці x 0 значенням a :

y(0) a.

1. Для парності функції потрібно, щоб

x ( ; 0) y(x) g(x) y( x) ( x)2 x2, y(0) a y( 0) a.

Значення a можна вибирати довільно.

Отже, y(x) x2, x ( ; 0), y(0) (рис. 1).

2. Для непарності функції потрібно, щоб

x ( ; 0)

y(x) g(x) y( x) ( x)2 x2; y(0) a y( 0) a a 0.

Отже, y(x) x2, x ( ; 0] (рис. 2).

виразом y g(x) і дооз-

y(0)

O x

Рис. 1 до зад. 10.2

Рис. 2 до зад. 10.2

10.3.1. З’ясувати, чи є функція f(x) cos2 2x періодичною і визначити найменший період T.

Розв’язання. [2.15.5, 2.12.6, 2.8.2.]

10. Парні, непарні і періодичні функції

Оскільки cos2 2x	1 cos 4x	, то період заданої функції збігається з періодом
функції cos 4x.	2
функції cos 4x.

Функція cos x періодична з найменшим періодом 2 . Отже, найменший період

T функції cos 4x дорівнює T 2	.
4	2
Функція f (x) є періодичною; найменший період функції T				.
				2
10.3.2. З’ясувати, чи є функція f (x) tg x		2 tg x	періодичною і визначити най-
	2	3

менший період T.

Розв’язання. [2.12.5, 2.12.6, 2.8.3.]

Найменший період функції tg 2 дорівнює T1 2 , а найменший період функ-

ції tg 3 дорівнює T2 3 .

x x

Найменшим періодом функції f (x) tg 2 2 tg 3 є «найменше спільне крат-

не» чисел 2 та 3 — число T 6 .

Функція f (x) є періодичною; найменший період функції T 6 .

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

10.4. З’ясувати, чи функція f	є парна, непарна чи загального вигляду, якщо:
1) f (x) ex2 cos x;	2) f (x) x2 8x 20;

3) f (x) arcsin(x 1);

5) y ln 11 xx ;

7) y 2 sin x ;

9) y x2, x ( ;1];

4)	y	x 3	;
		x2 1
6)	y	1	, x ( 1;1);

		1 x 4

8) y x 3 x 3 ;

10) y sin x, x [0; ].

10.5.Продовжити функцію f (x), x (0; ) на ( ; 0] так, щоб функція на

була: а) парною, б) непарною:

1) f (x) x 1;

2) f (x) ex 1.

10.6.З’ясувати, чи є функція f періодичною, і в разі періодичності визначити найменший період T :

1) f (x) 3 sin 4x;

2) f (x) sin2 3x;

94	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

3) f (x) sin x	ctg x;	4) f (x) x2;
2

5)f (x) sin x 21 sin 2x 13 sin 3x;

6)f (x) 3 sin x 5 cos x;

7) f (x) 5; 8) f (x) {x}.

Відповіді

10.4. 1) парна; 2) загального вигляду; 3) загального вигляду; 4) непарна; 5) непарна; 6) парна; 7) парна; 8) непарна; 9) загального вигляду; 10) загального вигляду.

1, x

1, x 0,

10.5. 1) f

, x 0, f

0, x 0,

1, x 0;

1 x, x

1, x 0,

2) f

0, x 0,

a , x 0, f

1, x 0,

1, x 0;

10.6.

T ;

2) ;

3) 4 ;

4) неперіодична; 5) періодична, T 2 ; 6) неперіодична;

min

7) періодична з будь-яким періодом; 8) періодична, Tmin 1.

Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ

11. Елементи геометрії

Навчальні задачі

11.1.1. У трикутнику ABC C 90 , AB 10, AC 4

6. Знайти sin A.

Розв’язання. [3.1.3.]

sin A BC .

За теоремою Піфагора

[3.1.2]

Рис. до зад. 11.1.1

AB2 AC2

102 (4

6)2

100 96

4 2.

sin A

1 .

11.1.2. У

рівнобедреному трикутнику ABC з

основою

AC бічна сторона

AB 8,

а cos A

. Знайти висоту BD.

Розв’язання. [3.1.3]

AD AB cos A 8

За теоремою Піфагора

[3.1.2]

AB2 AD2

82 (2

7)2

64 28

36 6.

BD 6.

Рис. до зад. 11.1.2

11.2.1. На

картатому

папері

клітинками

1 см 1 см зображено

трикутник.

Знайти його площу.

Розв’язання. [3.1.4.]

Довжина основи трикутника a 6, а в висота h 3.

S 12 ah 12 6 3 9 см2.

Рис. до зад. 11.2.1

96	Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ

11.2.2. На картатому папері з клітинками 1 см 1 см зображено фігуру. Знайти

її площу.

Розв’язання. [3.1.8.]

Зафарбовано чверть круга радіусом 3.

S r2 32 9 см2.

S 1 S	1	9 см2.
4	4	4

Рис. до зад. 11.2.2

11.3.1.Прямокутний паралелепіпед описано навколо колового циліндра, радіус основи і висота якого дорівнюють 6. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

Розв’язання. [3.2.2.]

Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат зі стороною a 2r 2 6 12.

Vпар Sоснh,

Sосн S a2 144.

Vпар 144 6	864.	Рис. до зад. 11.3.1

11.3.2.У циліндричну посудину налили 2100 см3 води. Рівень води при цьому досягає висоти 20 см. У рідину повністю занурили деталь. При цьому рівень рідини в посудині піднявся на 5 см. Чому дорівнює об’єм деталі?

Розв’язання. [3.2.4.]

За законом Архімеда об’єм зануреної деталі V дорівнює

об’єму витиснутої рідини. Нехай площа основи циліндра дорівнює S.

Початковий об’єм води

V1 Sh 20S 2100 см3.

Отже, площа основи

S	2100	105 см2.	Рис. до зад. 11.3.2
	20

Об’єм деталі

V105 5 525 см3.

11.3.3.Циліндр і конус мають спільну основу і спільну висоту. Обчислити об’єм конуса, якщо об’єм циліндра дорівнює 60.

Розв’язання. [3.2.4, 3.2.5.]

Об’єм конуса з радіусом основи R і висотою h

Vкон 13 R2h.

11. Елементи геометрії

Об’єм циліндра з радіусом основи R і висотою h

Vцил R2h.

Отже, V		1 60 20.
кон		3
		3
					Рис. до зад. 11.3.3
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
11.4. 1.	У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC бічна сторона

AB 14, cos A				195	. Знайдіть висоту, проведену до основи.
AB 14, cos A			14		. Знайдіть висоту, проведену до основи.
			14
2.	У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC бічна сторона

AB 20, cos A			2 6 . Знайдіть висоту, проведену до основи.
			5

3.У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC бічна сторона AB 10, а висота, проведена до основи, h 19. Знайдіть cos A.

4.У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC бічна сторона

AB 10, а висота, проведена до основи, h 221. Знайдіть cos A. 5. У трикутнику ABC C 90 , AB 20, AC 16. Знайдіть sin A.


6.	У трикутнику ABC C 90 , AB 30, AC 3 19.			Знайдіть sin A.
7.	У трикутнику ABC C 90 , sin A	11
		11	, AC 10		3. Знайдіть AB.
			, AC 10		3. Знайдіть AB.
	14
8.	У трикутнику ABC C 90 , cos B 20 , AB 29. Знайдіть AC.
	29

9.У трикутнику ABC C 90 , tg A 32010 , BC 3. Знайдіть AB.

10.У трикутнику ABC C 90 , tg A 158 , BC 2. Знайдіть AB.

11.5.1. Знайдіть площу трикутника з вершинами у точках (4; 7), (6; 7), (10; 9).

2.Знайдіть площу трикутника з вершинами у точках (4; 7), (8; 7), (6; 9).

3.	Знайдіть	площу	чотирикутника		з	вершинами	у	точках
(8; 0), (10; 4), (2; 8), (0; 4).
4.	Знайдіть	площу	чотирикутника		з	вершинами	у	точках
(1; 7), (9; 2), (9; 4), (1; 9).
5.	Знайдіть	площу	трапеції	з		вершинами	у	точках
(1; 1), (10; 1), (8; 7), (1; 7).
6.	Знайдіть	площу	трапеції	з		вершинами	у	точках

(1; 1), (10; 1), (6; 7), (4; 7).

98	Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ

11.6.1. Прямокутний паралелепіпед описано навколол циліндра, радіус якого і висота дорівнюють 9. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

2.Прямокутний паралелепіпед описано навколол циліндра, радіус якого дорівнює 5. Об’єм паралелепіпеда дорівнює 50. Знайдіть висоту циліндра.

3.Прямокутний паралелепіпед описано навколо сфери радіусом 6. Знайдійть його об’єм.

4.Прямокутний паралелепіпед описано навколо сфери радіусом 8. Знайдійть його об’єм.

5.У циліндричну посудину налито 3000 см3 води. Рівень води при цьому досягає висоти 15 см. У рідину повністю занурили деталь. При цьому рівень рідини у посудині піднявся на 6 см. Чому дорівнює об’єм деталі?

6.У циліндричну посудину налито 1700 см3 води. Рівень води при цьому досягає висоти 10 см. У рідину повністю занурили деталь. При цьому рівень рідини у посудині піднявся на 5 см. Чому дорівнює об’єм деталі?

7.У посудини, що має форму правильної трикутної призми, налили

1100 см3 води і занурили у воду деталь. При цьому рівень води піднявся з 22 см до 25 см. Знайдіть об’єм деталі.

8. У посудини, що має форму правильної трикутної призми, налили

1400 см3 води і занурили у воду деталь. При цьому рівень води піднявся з 24 см до 27 см. Знайдіть об’єм деталі.

9.Циліндр і конус мають спільні основу і висоту. Обчисліть об’єм циліндра, якщо об’єм конуса дорівнює 10.

10.Циліндр і конус мають спільні основу і висоту. Обчисліть об’єм циліндра, якщо об’єм конуса дорівнює 20.

Відповіді

11.4. 1) 1; 2) 4; 3) 0, 9; 4) 0, 4; 5) 0, 6; 6) 0, 9; 7) 28; 8) 21; 9) 7; 10) 4, 25.

11.5.1) 2; 2) 4; 3) 40; 4) 16; 5) 48; 6) 33.

11.6.1) 729; 2) 2; 3) 216; 4) 512; 5) 1200; 6) 850; 7) 150; 8) 175; 9) 30; 10) 60.

12. Метод координат

Навчальні задачі
12.1. Запишіть			рівняння прямої, яка проходить через точки A1(2; 3) та
A2(3; 1).
Розв’язання. [3.3.1.]
A A : x 2					y 3	4(x 2) y 3 y 11 4x.

1	2	3	2	1 3

Пряма A1A2	має рівняння y 11 4x.

12. Метод координат	99
12.2.1. Записати рівняння прямої L1, яка проходить через точу A1( 1; 2)	пара-
лельно прямій L2 : y 3x 2.

Розв’язання. [3.3.5.]

Шукаємо рівняння прямої L1 у формі

y k1x b1.

Пряма L2 має кутовий коефіцієнт k2 3.

Оскільки пряма L1 паралельна прямій L2, то k1 k2 3.

Отже, пряма L1 має рівняння y 3x b.

Оскільки точка A1 L1, то

2 3 b b 5.

Пряма L1 має рівняння y 3x 5.

12.2.2. Записати рівняння прямої L1, яка проходить через точу A1( 1; 2) перпе-

ндикулярно до прямої L2 : y 3x 2.

Розв’язання. [3.3.4.]

Шукаємо рівняння прямої L1 у формі

y k1x b1.

Пряма L2	має кутовий коефіцієнт k2	3.
Оскільки пряма L1 перпендикулярна до прямої L2, то
	k		1	1 .
	k			1 .
	1	k2			3
		k2			3
Отже, пряма L має рівняння y 1 x b.
	1	3
Оскільки точка A1 L1, то		3
Оскільки точка A1 L1, то
	2 1	b b 5 .
	3				3
Пряма L	має рівняння y 1 x 5 .
1	3	3
	3	3
12.3. Переконатися, що рівняння x2 y2					2x 4y 20 0 є рівнянням ко-
ла. Знайти його центр і радіус.
Розв’язання. [3.4.2.]

[Вилучаємо повний квадрат.]

100	Розділ 3. ГЕОМЕТРІЯ

x2 y2 2x 4y 20 0

(x2 2 1 x 12) (y2 2 2 y 22) 1 4 20 0

(x 1)2 (y 2)2 25.

Маємо рівняння кола з центром у точці O(1; 2) радіусом R 5.

x2 y2

12.4. Зобразити множину точок, яку задає система

y x2.

Розв’язання.

Нерівність

		x2 y2 2
задає	круг з центром у початку координат і радіусом

R	2 разом з колом, яке його обмежує.

Нерівність

y x2

задає множину точок розташованих над параболою y x2.

2 x

Рис. до зад. 12.4

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

12.5.Визначте кутовий коефіцієнт k і відрізок b, який відтинає пряма на осі Oy :

1) 5x y 3 0;	2) 2x 3y 6 0;
3) 3x 2y 0;	4) y 3 0.

12.6.Задано пряму 2x 3y 4 0. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку M0(2;1):

1)паралельно заданій прямій;

2)перпендикулярно до заданої прямої.

12.7. 1. Задано	рівняння двох сторін	прямокутника 2x 3y 5 0,
3x 2y 7	0і одна з його вершин	A(2; 3). Складіть рівняння двох

інших сторін прямокутника.

2. Задано рівняння двох сторін прямокутника x 2y 0, x 2y 15 0 і рівняння однієї з його діагоналей 7x y 15 0. Знайдіть вершини прямокутника.

12.8.Обчисліть кутовий коефіцієнт k прямої, що проходить через точки:

1) M1(2; 5), M2(3; 2);

2) P( 3; 1),Q(7; 8).

12.9.З’ясуйте, що задає рівняння. Для кола визначте центр і радіус.

1) (x 5)2 (y 2)2	25;	2) (x 2)2 y2	64;
3) (x 5)2 (y 2)2	0;	4) (x 2)2 y2	0;
5) x2 y2 2x 4y 14 0;		6) x2 y2 6x 4y 14 0;
7) x2 y2 x 0;		8) x2 y2 y 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20197.83 Mб6електричний струм.doc
#
12.05.20156.13 Mб18електроніка.doc
#
17.03.2016629.27 Кб14Електроніка.pdf
#
12.05.2015378.44 Кб57Електротехническая часть.docx
#
24.08.2019520.19 Кб1Елемент_база.doc
#
12.05.20152.61 Mб28Елементарна математика.pdf
#
12.05.2015398.96 Кб13Елементи теорії графів. Для 1к.pdf
#
13.09.20191.46 Mб1ЕМСТ_Шпора(ALL).docx
#
07.07.2019858.35 Кб23ЕП відповіді.docx
#
18.08.2019365.06 Кб1Естамп-Іванов-Ахметов.doc
#
22.11.20191.93 Mб1Еталонні відповіді.docx