Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Елементарна математика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

			5. Степенева функція				61
5.16. Винесіть множник з-під знака кореня:
1)			2)
	27;			125;
3)	3		4)	3
		16;			54;

5)		a2b;	6)		a5b;
			8) 3			.
7) 3 a3b;					x14

5.17.Внесіть множник під знак кореня: 1) 25;

3)532;

5)x2 5y;

5.18.Спростіть вирази:

1)372 250 38;

3) ( 41)2 ; 5) (2 5)2 ;

7) (1 6)2(1 6)2; 9) 419 105 419 105;

11) 6 11 6 11 2 ;

13)7 43 7 43;

5.19.Виконайте дії:

1)(1 c)2 2c;

3) (3m 23n)(3m 23n);

5)	a	b		;
5)				;
	a		b

7) (x y)(x xy y);

9)		m n		;

	3 m 3		n

11) (1 a)(1 4a)(1 4a);

2) 53;

4) 334;

6) x3 8y.

2) 20 45 125; 4) 4( 37)4 ; 6) (3 4)2 ;

8) (5 1)2(5 1)2; 10) 343 4 343 4;

12) 4 7 4 7 2

14)3 22 3 22.

2)(x y)2 2xy;

4)(a b)(a b);

6)	x 4y		;

	x 2	y

8) (3a 6ab 3b)(6a 6

10)3k 3l ;

;

b);

12)(m n)(4m 4n)(4m 4n).

5.20.Розв’яжіть рівняння:

1)		x 1 2;		2)		x 4;
3)				4)
		x 2;				x 3 1;
5)	3		2;	6)	3		3;
		x				x

7) 23 x3 3 x2 5;				8)		x2 4 x4 8;

62	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

9) x 2 x;

11) x2 11 1 x;

13) x x;

15) x 3 2x 5;

17)(x2 9)2 x 0;

18)3x 6x 12;

5.21.Розв’яжіть нерівності:

1)x 0;

3) x 1;

5) x 4 5;

7) x 1 3;

9) (x 6)x 0;

11)(x 1)x 3 0;

13)x x 6;

15)x x 2;

5.22.Побудуйте графік функції:

1)y x 1;

3) y 3;

5) x 2;

7)y 2x 4;

9)y x 2 ;

11)y x 2;

13) y x 1 x 1 ;

10)2x 3 x 3;

12)3 x2 5x 3;

14) x 9 x 9;

16)x 2 4 x;

18)(x2 1)x 9 0;

19)x 4x 6 0.

2)x 0;

4)x 3;

6) x 3 2;

8) x 1 2;

10)(x 5)x 2 0;

12)(x 1)9 x 0;

14)x 2x 1;

16)x 1 3 x.

2) y 2x 1;

4) y 1;

6) x 3;

8) y x2 1;

10) y x 3 ;

12) y x 3;

14) y x 2 x 3 .

Відповіді

5.11. 1)	x 1;		2) 9x 2; 3)				1	(x 1) 3; 4) 1							(x 2) 4; 5) b4 5;								6) a2			3;		7) c 2 11;			8) a 4 5.
							3							5
5.12. 1)	x 32;		2) x25; 3) x 21; 4)								x 35;		5) x 12; 6)				x 56; 7)				x, x 0;					8) x2;				9) x1 2;		10) x 3 4.
5.13. 1)	13; 2) 2; 3) 198; 4)							10	;	5) 833; 6) 150; 7) 10; 8) 15; 9) 3; 10) 12.
								81
																			7a2				2ab2
5.14. 1)			2) 3 y2 ;			3) b2;		4) l		8;		5) ab2;			6) ab2			7)			; 8)					.
		x;															;
		x;															;		13b					c3
																			13b					c3
	4			6			4		5				6		8		6		3 3			10			13 8				4		12			7		12		5
	4	8;	2)	6	27;	3)	4	27b	5	;		4)	6	32a	8	; 5)	6		3 3	;	6)	10		a	13 8		;	7)	4	a; 8)	12		a	7	; 9)	12	b	5	;
5.15. 1)		8;	2)		27;	3)		27b		;		4)		32a		; 5)		4a b		;	6)			a	b		;	7)		a; 8)			a		; 9)		b		;

10) 20a11b21; 11) 6x; 12) a; 13) 32mn2 ; 14) 1564k2l5 ; 15) 108; 16) 39.

6. Показникова і логарифмічна функції

; 7) a 3

; 8) x 4 3

5.16. 1) 3

3; 2) 5

5; 3) 23 2; 4) 33 2; 5)

b; 6) a2

3) 3

4) 3

5.17. 1)

5) 5 x10y;

6) 8 x24y.

20; 2)

75;

250;

108;

5.18. 1) 2

2; 2) 0; 3) 41; 4) 37; 5)

5 2; 6)

3; 7) 25; 8) 16; 9) 4; 10) 3; 11) 22; 12) 2;

13) 4; 14) 2.

5.19. 1) 1 c; 2) x y; 3) 3

4) a2 b;

;

x 2

9) 3

;

10) 3

; 11) 1 a;

7) x3

y3 ; 8)

12) m n.

5.20. 1) 5; 2) 16; 3) ;

4) ; 5) 8;

6) 27; 7) { 5;1}; 8) { 4}; 9) 1; 10) 6;

11) 4; 12) 1;

13) 0; 14) 9; 15) 2;

16) 3; 17) { 3;2}; 18) 9; 18) 729; 19) 16.

5.21. 1) [0; ); 2) 0;

[0; ); 4)

; 5) [21; );

[1; );

7) [1;10); 8)

[ 1; 3);

9) {0} [6; );

10) {2} [5; );

11) { 1; 3}; 12)

( ; 1] {9};

13) (9; );

14) (1; ); 15) [0; 4);

16) (2; ).

6. Показникова і логарифмічна функції

Навчальні задачі

6.1.Обчислити:

1)	log		2	8;	2)	log 1	;
			2			2 2
3)	log1 2 1;				4)	log1 2	2;
5)	5log5 3;				6) 10log100 16;
7)	log3			15 log3 5;	8)	log6 2 log6 3;
		1
	7log5 7 ;
9)	7log5 7 ;				10) log2 log3 3 3.

Розв’язання. [2.1.5, 2.1.6.]

1.log2 8 log2 23 3 log2 2 3.

2.log2 21 log2 2 1 1.

3.log1 2 1 0.

4.log12 2 log2 1 212 12 log2 2 12 .

5.5log5 3 3.

6.	10log100	1 log		16			1
		1 log		16			1	16	4.
		16 102	10		162			16	4.
			10
7.	log3 15 log3 5 log3					15	log3 3		1.
						5

64	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

8. log6 2 log6 3					log6(2 3)			log6			6 1.
1

9. 7log5 7		7log7 5			5.
											1
										1								3
												2
												2
									1	2								4			3
10. log		log		3	3 log	log			3	2			log		log		3	4	log
10. log	2	log	3	3	3 log	log	3		3				log	2	log	3	3		log	2	4
	2		3		2		3							2		3				2	4

log2 3 log2 4 log2 3 2.

6.2. Злогарифмувати lg

3a2 3

, де a 0,b 0,c 0.

c4(a

Розв’язання. [2.1.6.]

3a2 3

lg 3a2

3 b lg c4(a b)

c4(a b)

lg 3 lg a2 lg b13 lg c4 lg(a b)

lg 3 2 lg a 13 lg b 4 lg c lg(a b).

6.3.Зпотенціювати 2log2 a 2 log2 b 3 log2 c.

Розв’язання. [2.1.6.]

			ab2
2log2 a 2 log2 b 3 log2 c	2log2 a log2 b2 log2 c3	2log2 ab2 log2 c3	2log2
				c3

6.4.1. Розв’язати рівняння 7x 5.

Розв’язання. [2.14.1.]

7x 5 x log7 5.

x log7 5.

ab2 . c3

6.4.2.				x 2			x2	.
6.4.2.	Розв’язати рівняння 6					6		.
Розв’язання.										x
	x 2	x	2			2			2	x	1	1,
	x 2	x				2			2		1
	6	6		x 2	x		x			x 2 0 x		2.

											2
											2
x1 1, x2 2.
6.5.1.	Розв’язати рівняння log3 x 2.
Розв’язання. [2.14.2.]

log3 x 2 x 32 9.

x 9.

6. Показникова і логарифмічна функції

6.5.2. Розв’язати рівняння log5(x2 1) log5(7x 7).

Розв’язання.
						2	1	7x 7,
	2			x			1	7x 7,
log5(x	2	1)	log5(7x 7)
log5(x		1)	log5(7x 7)
					7x 7			0
					7x 7			0

x 1,

x 6 x 6.

x 1

x 6.

x2 7x 6 0,

x 1

6.6.1.	Розв’язати нерівність 2x				5.
Розв’язання. [2.14.1.]
				2x	5		x log2 5.
x ( ; log2 5).
					x
6.6.2.				1		4.
6.6.2.	Розв’язати нерівність					4.

				2
Розв’язання. [2.14.1.]
	1 x		x	log1 2			4 x 2 log2 2	x 2.

		4

	2
x [ 2; ).
6.6.3.	Розв’язати нерівність 3x				0.
Розв’язання. [2.14.1.]

Оскільки 3x 0 для будь-якого x, то нерівність не має розв’язків. Отже, x .

6.6.4. Розв’язати нерівність 2x 2.

Розв’язання. [2.14.1.]

Оскільки 2x 0 для будь-якого x, то нерівність правдива для будь-якого x.

Отже, x ( ; ).

6.7.1. Розв’язати нерівність log2 x 2.

Розв’язання. [2.14.2.]

log2 x 2 x 2 2 x 14 .

	1
	1
x		; .

4

66	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

6.7.2.	Розв’язати нерівність log3 x 2.
Розв’язання. [2.14.2.]
						0,
					x	0,
	log			x 2			0 x 9.
	log		3	x 2			0 x 9.
			3			2
					x	3
x (0; 9].
x (0; 9].
6.7.3.	Розв’язати нерівність log1 2 x 2.
Розв’язання. [2.14.2.]
						0,
					x	0,

	log	x 2					2	0 x 4.
	log	x 2						0 x 4.
	1 2					1
					x

						2

x (0; 4).

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

6.8.Знайдіть логарифм:

1)	log2 2;				2)	log5		5;
3)	log2 1;				4)	log5		1;
5)	log2	4;			6)	log5		125;
7)	log2	64;			8)	log5			1	;
								25

9)	log	1	;		10)		log	5	0, 04;
	2	8
11) log2			3		12)
				2;			log5 5			5.

6.9.Обчисліть:

1)	log4 8;					2)	log8 16;
3)	log1 3 27;					4)	log27 243;
		log3		81				log4			16
5)			7		;	6)				5		;

		log49		3				log25			2

7)	3log3 7;					8)	4log4 5;
9)	9log3 6 1;					10)			22 log4 6 1;
11) log4 2 log4 8;						12)			log2		5 log2		8	;
13) log3 2 log3 54;						14)							5
									log7 196 log7 4;

6. Показникова і логарифмічна функції

15)		9		16) log2		1 log2	4
15)	log3 8 3 log3	9	;	16) log2	3	1 log2	4	;
		2				2	3

17) log		5 log	35 log		56;	18)	log		8 log		2 log		25	;
	2	2		2				5		5		5	4

19)						8							20)	log	log		27;
19)		log	2	log		8		5;					20)	log	log	3	27;
			2			5								1 3		3
		2												1

21)		6log5 6;											22)	25log3 5;
				1										1

23)		643 log27 8;											24)	81log5 9;
25)		log3 log2					5 log5 8 ;						26)	log5 128 log2					1	.
25)		log3 log2					5 log5 8 ;						26)	log5 128 log2						.
6.10. Спростіть:																		125
6.10. Спростіть:
1)	log2		14 log						14 log	2	7 2 log2	7
		2					2			2	2		;
					log2 14 2 log2 7								;
					log2 14 2 log2 7

2) 2 log3 12 4 log23 2 log23 12 4 log3 2 ; 3 log3 12 6 log3 2

3)log2 3 log3 4 log4 5 ... log18 19 log19 20 log20 21;

4)log3 12 log3 2 ; log36 9 log108 3


	5)			log13(27 10											2)			log5	(11 6 2)	6)		log7(21 12 3)															log3	(13 4 3)
		13		log13(27 10											2)		5	log5	(11 6 2)		7	log7(21 12 3)													3		log3	(13 4 3)
		13															5		;		7														3			;
	7)	log62 7								log8				7		log6 7			;	8)	log22 3								log5 3							log2 3			.
	7)	log62 7								log8 6						log42 6			;	8)	log22 3								log5 2										.
										log8 6						log42 6													log5 2							log6 2
6.11.	Злогарифмуйте вираз:
	1)	log2(16a2b3);																		2)	log5		125a							4		;
	1)	log2(16a2b3);																		2)	log5				b4							;		3
						1

													7
													7											625( ab)
	3)	log	2					a				b		;						4)	log	5													;
			2																			5

				8																													c
																																	c

															4									25								6 7
															4									25							5a b
	5)	log2(48a									a b );									6)	log5


																													c			3
																													c
							3																				6						3
					b		3																		a		6
					b																				a
	7)	log2							;											8)	log5

																															.
					4a			5																5		b		2
					4a																					b
6.12.	Розв’яжіть рівняння:
	1)	2x 1;																		2)	5x 0;

68	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

3)	2x	5;					4)	4x		13;
	2x 3								1	1 x
5)	2x 3		0, 5;						1			49;
5)	4		0, 5;				6)					49;
									7
									7
	x2
7)	x2	4		x 2		;	8)		x 4		9		x 2	;
7)	4	4				;	8)	9			9			;
9)	2x	2x 5			264;		10)		3x 2			3x 72;

11)	2 22x		3 2x 2 0;			12)	3 25x 14 5x 5 0;
				1	;			3	;
13)		5x 2		1		14)	3 92x 1	3
						14)	3 92x 1
				5 5				5 3
				5 5				5 3

15) 72x 1 4 21x 32x 1 0; 16) 9 16x 7 12x 16 9x 0.

6.13.Розв’яжіть рівняння:

1) log2 x 5;

3) log2(2x 1) 4;

5) log9(x2 5) log9(1 x); 7) log3 log2 log1 3(x 1) 0;

9)log22 x 2 log2 x 3 0;

11)x5x 1 1;

6.14.Розв’яжіть нерівність:

1)5x 1 25;

3)	3x		9;
		1	x 2
5)		1		27;
5)				27;

	3

7) 4x 6 2x 8 0;

6.15. Розв’яжіть нерівність: 1) log5(3 8x) 0;

3) log2(x 3) 3;

5) log3(3x 1) log3(2x 3);

7) lg2 x 4 lg x 3 0;

Відповіді

2) log1 2 x 3;

4)log3(2x 1) 2;

6)log5(9 x2) log5(9 4x);

8)log4 log3 log2 x 0;

10)lg4 x 5 lg2 x 4 0;

12)x3 x x.

2)62x 361 ;

4)	2x		64;
		1	2x 2
6)		1		4;
6)				4;

	2

8) 9x 10 3x 9 0.

2)log12(7 3x) 0;

4)log15(3 2x) 1;

6)log17(4x 3) log17(x 3);

8) log23 x 3 log3 x 2 0.

6.8. 1) 1; 2) 1; 3) 0; 4) 0; 5) 2; 6) 3; 7) 6; 8) 2; 9) 3; 10) 2; 11) 13 ; 12) 32 .

																							7. Тригонометричні функції. Ч. 1																															69
6.9. 1)		3 ;		2)		4			;		3)			3;				4)			5		; 5) 48; 6) 64; 7) 7; 8) 5; 9) 4; 10) 12; 11) 2; 12) 8;																												13) 3;
		2				3															3
14) 2; 15) 6;						16) 1; 17) 3; 18) 2; 19) 1 ; 20) 1;																														21) 25; 22) 9;							23) 9;				24) 25; 25) 0; 26) 21.
																											3
6.10. 1) 1; 2) 1; 3) log2 21; 4) 1; 5) 8; 6) 4; 7) 0; 8) 0.
6.11. 1) 4 2 log													2	a 3 log								2	b; 2)				3 4 log		5			a 4 log					5	b; 3) 3 log									a 7 log					b;
													2									2							5								5									2		2		2
																																																2
4) 4 3 log						5	a 3 log										5			b			1 log		5		c; 5) 4 log								3 3 log					a 4 log						b;
		2				5											5						2		5									2		2			2						2
		2																					2													2
6) 5 6 log					5	a 7 log										5		b 3 log						5		c; 7) 3 log				2		b 5 log					2	a 2; 8)					6 log				b 18 log				5		a.
2					5											5								5						2							2						5			5					5
2																																											5
6.12. 1) 0;				2) ;								3) log2 5; 4) log4															13; 5) 5	;			6) 3;					7) { 1; 2}; 8) 9;								9) 3; 10) 2; 11) 1; 12) 1;
																											4
13) 12 ;				14)					1				;	15) 1; 16) 2.
13) 12 ;				14)				10					;	15) 1; 16) 2.
		5						10
									1						17																			10							1							1		1
									1						17																			10							1							1		1
6.13. 1) 32; 2)											; 3)								; 4)				4; 5) 3; 6) 0;							7)						; 8) 8; 9)						; 8		; 10)					;		;10;100			;
6.13. 1) 32; 2)											; 3)								; 4)				4; 5) 3; 6) 0;							7)						; 8) 8; 9)						; 8		; 10)					;		;10;100			;
									8						2																			9							2							100		10
									8						2																			9							2							100		10
	1
	1	;1								{1; 2}.
11)		;1	; 12)							{1; 2}.
	5
	5
6.14. 1) ( ; 3);													2) ( ; 1]; 3)													[2; );			4)				(6; );					5) ( 1; );								6) ( ; 0);							7) (1;2);
8) ( ; 0] [2; ).
								1												7														3				1						3
6.15.			;					1						2)		2;				7								1;						3				1	; 4					3	; 2		;
6.15.	1)		;							;				2)		2;					;		3) (3;11]; 4)					1;								; 5)			; 4	; 6)					; 2		;
																																												4
								4												3														2				3						4

7) ( ; 0) (1000; ); 8) [3; 9].

7. Тригонометричні функції. Ч. 1

Навчальні задачі

7.1.Визначити знак sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2.

Розв’язання. [2.2.1–2.2.4.]

Оскільки 2 2 , то точка P2 одиничного

кола лежить у 2-й чверті.

sin 2 0, cos 2 0,

tg 2 cossin 22 0, ctg 2 cossin 22 0.

sin 2

cos 2

1 x

Рис. до зад 7.1

70	Розділ 2. ФУНКЦІЇ

7.2.Знайти cos , tg , ctg , якщо sin 45 , 32 .

Розв’язання. [2.3.1.1, 2.2.3, 2.2.4.]

Точка P одиничного кола лежить у 3-чверті, отже				cos 0 і
				4	2	3
		2			2
cos	1 sin	2					;
cos	1 sin		1				;
				5		5
				5		5

	sin	4		3	4		1	3
	sin	4		3	4		1	3
tg			:			; ctg			.
tg			:			; ctg			.
	cos			5	3		tg	4
	cos	5		5	3		tg	4

7.3.Зведіть до функції гострого кута:

	1)	sin	17		;				2) cos 735 ;
			3
	3)	tg( 1759 );							4) ctg		7	.
	3)	tg( 1759 );							4) ctg			.

	5)	cos	2	;					6) sin	5 .
			3							6
Розв’язання. [2.2.6, 2.12.5.]
	17
													3
1. sin													3
		sin			3 2		sin		sin					.
		sin			3 2		sin		sin					.
	3									3			2
	3					3		3		3			2

2.cos 735 cos(2 360 15 ) cos 15 .

3.tg( 1759 ) tg(41 10 180 ) tg 41 .

	7
4. ctg	7		2								ctg			1.
4. ctg		ctg	2			ctg					ctg			1.
													4
					4					4			4
	2										1
5. cos	2				cos						1	.
5. cos		cos			cos							.
	3							3			2
	3			3				3			2
	5								1
6. sin	5				sin				1	.
6. sin		sin			sin					.
	6						6		2
	6			6			6		2



	tg cos( ) tg
					2
7.4. Спростити вираз					2	.
7.4. Спростити вираз						.


	sin	ctg		tg

	2		2		2

Розв’язання. [2.2.6.]


	tg cos( ) tg
					2
					2



	sin	ctg		tg

	2		2		2

( tg )( cos ) ctg 1. cos ( tg )( ctg )

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.11.20197.83 Mб6електричний струм.doc
#
12.05.20156.13 Mб18електроніка.doc
#
17.03.2016629.27 Кб14Електроніка.pdf
#
12.05.2015378.44 Кб57Електротехническая часть.docx
#
24.08.2019520.19 Кб1Елемент_база.doc
#
12.05.20152.61 Mб28Елементарна математика.pdf
#
12.05.2015398.96 Кб13Елементи теорії графів. Для 1к.pdf
#
13.09.20191.46 Mб1ЕМСТ_Шпора(ALL).docx
#
07.07.2019858.35 Кб23ЕП відповіді.docx
#
18.08.2019365.06 Кб1Естамп-Іванов-Ахметов.doc
#
22.11.20191.93 Mб1Еталонні відповіді.docx