Задание 9.28
Вычислите ковариационную и корреляционную матрицы двумерного случайного вектора из задания 9.14.
|
9 |
|
0 |
9 |
|
0 |
0.07 |
0.1 | |
|
2 |
0.17 |
0.29 | |
|
4 |
0.27 |
0.1 |
Ковариационной матрицей случайного вектора (, ) называется матрица вида
Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин ( ,).
Понятно, что значение ковариации зависит не только от "тесноты" связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений.
Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется коэффициент корреляции
Этот коэффициент обладает следующими свойствами:
• он безразмерен;
• его модуль не превосходит единицы, т.е. | k | 1;
• если и независимы, то k = 0 (обратное, вообще говоря, неверно!);
• если | k | = 1, то случайные величины и связаны функциональной зависимостью вида = a + b, где а и b — некоторые числовые коэффициенты;
• k = k = 1.
Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица
.
Если
и
,
то ковариационная и корреляционная
матрицы случайного вектора (
,)
связаны соотношением Cov(
,)
= K ,
где
.
Решение:
Р а с п р е д е л е
н и е д в у м е р н о й с л у ч а й н о й в
е л и ч и н ы
Р а с п р е д е л е
н и е с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
М а т е м а т и ч е
с к о е о ж и д а н и е
Р а с п р е д е л е
н и е с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы
М а т е м а т и ч е
с к о е о ж и д а н и е
К о в а р и а ц и я
Д и с п е р с и я
Д и с п е р с и я
Д и с п е р с и я +
Р а с п р е д е л е
н и е
+
Задание 9.29
По заданной
плотности вероятностей нормального
двумерного распределения:
найдите нормировочный множитель А,
вычислите ковариационную и корреляционную
матрицы.
-
N
aX
X
aY
Y
9
1.4
0.85
2.4
0.7
При любых значениях параметров a, a, , , k эта функция удовлетворяет условиям нормировки:
.
Параметры a, a, , , k имеют простой теоретико-вероятностный смысл:
a — математическое ожидание случайной величины , М = a ;
a — математическое ожидание случайной величины , М = a ;
—среднеквадратичное отклонение случайной величины , D = 2 ;
—среднеквадратичное отклонение случайной величины , D = 2 ;
k — коэффициент корреляции случайных величин и .
Таким образом, зная плотность вероятностей двумерного нормального распределения, можно найти его числовые характеристики и построить ковариационную и корреляционную матрицы:
,
.
Решение:
П л о т н о с т ь в
е р о я т н о с т е й x
М а т е м а т и ч е
с к о е о ж и д а н и е x
Д и с п е р с и я x
П л о т н о с т ь в
е р о я т н о с т е й y
М а т е м а т и ч е
с к о е о ж и д а н и е y
Д и с п е р с и я y
