Задание 9.5

Найдите наименьшее число испытаний Бернулли, необходимое для того, чтобы с вероятностью, не меньшей заданной, можно принять относительную частоту успехов за вероятность успеха в одном испытании с погрешностью, не превышающей заданную.

Варианты 1-10. Провайдер утверждает, что вероятность соединиться с сетью с первого звонка достаточно велика. Сколько нужно произвести экспериментов, чтобы с вероятностью не менее  можно было утверждать, что относительная частота соединений с первого звонка отличается от заявленной вероятности не более, чем на ?

№		
9	0.92	0.07

Определим, сколько нужно произвести испытаний, чтобы отклонение относительной частоты успехов от вероятностиp было меньше e с вероятностью, большей или равной , т.е. найдем n, для которого выполняется неравенство

.

Доказано, что число n обеспечивает выполнение этого неравенства, если оно удовлетворяет соотношению

где x_ — решение уравнения .

Следует обратить особое внимание на замечательный факт — искомое значение n не зависит от p и поэтому формулой следует пользоваться для оценки минимально необходимого числа испытаний при неизвестной вероятности р. Если вероятность p изначально известна, то необходимое число испытаний определяется формулой .

Решение:

Искомое значение n= 157.

Задание 9.6

Постройте графики плотности распределения и функции распределения ² c указанным числом степеней свободы, равным п = 9.

Распределение xи-квадрат (²-распределение). Пусть ₁, ₂, … _n - независимые случайные величины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Составим случайную величину

.

Ее распределение называется ²-распределением с n степенями свободы. Для справочных целей приведем здесь выражение плотности распределения этой случайной величины:

,

где Г(x) — гамма-функция Эйлера:

.

Решение:

Задание 9.7

Постройте графики плотности распределения и функции распределения Стьюдента с указанным числом степеней свободы, равным k = №. Здесь № — номер варианта.

.

Распределение Стьюдента. Пусть случайная величина  имеет стандартное нормальное распределение, а случайная величина ²-распределение с n степенями свободы. Если  и независимы, то про случайную величину

говорят, что она имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы п. Доказано, что плотность вероятности этой случайной величины вычисляется по

R

При больших n распределение Стьюдента практически не отличается от N(0,1).

Решение:

N	п	т
9	6	3

Задание 9.8

Постройте графики плотности распределения и функции распределения Фишера для указанных значений n и m.

F-распределение Фишера. Пусть случайные величины и независимы и имеют распределение ² с n и m степенями свободы соответственно. Тогда случайная величина имеетF-распределение с плотностью вероятности

, x > 0.

Решение: