Задание 9.9

Постройте графики плотности распределения и функции распределения Парето для указанных значений a и .

№	а	
9	2,2	1.5

Распределение Парето. Распределение Парето часто применяется в экономических исследованиях. Плотность вероятностей для случайной величины, распределенной по Парето, имеет вид

где .

Как видно из этой формулы, случайная величина, распределенная по Парето, принимает значения только в области x > а.

Решение:

Задание 9.10

Постройте графики плотности распределения и функции распределения для логистического распределения при значениях параметров  = а и =  для значений а и  из задания 9.9.

№	а	
9	2,2	1.5

Логистическое распределение. Это еще одно распределение, широко применяемое в экономических исследованиях. Оно имеет следующую функцию распределения:

R

где  и  - параметры распределения.

Плотность распределения вероятностей для логистического распределения вычисляется по формуле:

R

По своим свойствам логистическое распределение очень похоже на нормальное.

Решение:

Задание 9.11

Найдите медиану, верхнюю и нижнюю квартили, а также 95%-ную квантиль для нормального распределения N(a,), а и =для значений и  из задания 9.9.

№	а	
9	2,2	1.5

При решении практических задач часто требуется найти значение я, при котором функция распределения случайной величины принимает заданное значение, т.е. требуется решить уравнение F_ξ (x) = p. Решения такого уравнения в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилъю x_p (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины ξ, имеющей функцию распределения F_ξ(x), называют решение x_p уравнения F_ξ (x) = p, p (0,1).

Для некоторых p уравнение F_ξ (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых — ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые квантили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана — квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль — квантиль уровня 0.25;

верхняя квартиль — квантиль уровня 0.75;

децили — квантили уровней 0.1, 0.2, ..., 0.9;

процентили — квантили уровней 0.01, 0.02, ..., 0.99.

Решение:

квантиль уровня 0.95

Задание 9.12

По заданному совместному распределению двух дискретных случайных величин найдите распределение каждой из них.

9		0	9
	0	0.07	0.1
	2	0.17	0.29
	4	0.27	0.1

Решение:

Распределение х

Распределение у