Задание 9.21
Вычислите коэффициент асимметрии СВ (=Х) с заданным распределением.
|
№ |
Распределение |
|
9 |
Парето с плотностью
|
при
и 0 при
В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени случайной величины , т.е. k = Мk.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется величина k , определяемая формулой k = М( - M)k.
Заметим, что математическое ожидание случайной величины — начальный момент первого порядка, 1 = М, а дисперсия — центральный момент второго порядка: 2 = М( — M)2 = D.
Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты. Одна из таких формул приведена выше: D = М( – M)2 = 2 – 12.
В дальнейшем будет использована формула 3 = 3 – 321+ 213
Нетрудно понять, что если плотность распределения вероятностей случайной величины симметрична относительно прямой х = М , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.
В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения служит коэффициент асимметрии, который определяется формулой
=
где 3
— центральный
момент третьего порядка;
=
=
— среднеквадратичное отклонение.
Коэффициент асимметрии — безразмерная величина, а по его знаку можно судить о характере асимметрии.
Решение:
Т.к
нельзя вычислить коэффициент ассиметрии.
Задание 9.22
Вычислите эксцесс случайной величины с заданным распределением. Выполните вычисления для распределений из задания 9.2l.
|
№ |
Распределение |
|
9 |
Парето с плотностью
|
при
и 0 при
Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, и поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие сравниваемого распределения от нормального, является эксцесс.
Эксцесс случайной величины определяется равенством
У нормального распределения, естественно, = 0. Если > 0, то это означает, что график плотности вероятностей p(х) сильнее "заострен", чем у нормального распределения, если же < 0, то "заостренность" графика p(х) меньше, чем у нормального распределения.
Задание 9.23
Вычислите среднее геометрическое и среднее гармоническое неотрицательной случайной величины с заданным распределением.
|
№ |
Распределение |
|
9 |
Парето с плотностью
|
при
и 0 при
Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина H = M( -1)-1. Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на отрезке [а, b], 0 < a < b, среднее гармоническое вычисляется следующим образом:
, 
Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина G = eM(ln) .
Решение:
