Задание 9.13

По заданному совместному распределению двух дискретных случайных величин найдите распределение каждой из них и проверьте их независимость.

9		1	2	3
	1	0.03	0.18	0.09
	2	0.07	0.42	0.21

Решение:

Для распределений из 9.12

Распределение х

Распределение у

Проверка независимости:

Условие независимости не выполняется, следовательно, X и Y зависимы.

Для распределений из 9.13

Распределение х

Распределение у

Проверка независимости:

Условие независимости выполняется, следовательно, X и Y независимы.

Задание 9.14

Вычислите распределение компонент заданной двумерной случайной величины и все их условные распределения. Постройте многоугольники соответствующих распределений. Выполните вычисления для распределений из задания 9.12.

9		0	9
	0	0.07	0.1
	2	0.17	0.29
	4	0.27	0.1

Решение:

Распределение СВ

Распределение СВ

Распределение СВ

Условные распределения при х=0, 2, 4

Условные распределения при у=0, 9

Задание 9.15

N	а	b
9	5.5	6.5

Найти распределение компонент двумерной случайной величины и все их условные распределения, если эта случайная величина распределена равномерно в области х² /а²+у² / b² 1.

Решение:

Проверка выполнения условия нормировки

Задание 9.16

Вычислите плотности вероятностей и условные плотности вероятностей нормального случайного вектора (X, Y) с заданными параметрами. Постройте график плотности вероятностей случайного вектора, графики плотности вероятностей компонент случайного вектора и графики условных плотностей вероятностей каждой компоненты, когда значение другой компоненты равно ее математическому ожиданию.

N	aX	X	aY	Y	kXY
9	1.3	5.5	0.2	0.2	0.5

Важный пример дает случайный вектор (ξ, η), имеющий нормальное распределение. В наиболее общем случае плотность вероятностей такого вектора зависит от пяти параметров а_ξ, а_η, σ_ξ, σ_η, k_ξη и имеет вид

При любых значениях параметров а_ξ, а_η, σ_ξ>0, σ_η>0, |k_ξη|1 эта функция удовлетворяет условиям нормировки: .

Кроме того, можно легко найти плотность распределения каждой из случайных величин ξ и η:

т.е. случайные величины ξ и η имеют нормальные распределения с параметрами a_ξ, σ_ξ > 0, и a_η, σ_η > 0: ξ ~ N(a_ξ, σ_ξ), η ~ N(a_η, σ_η).

Аналогично можно найти условное распределение.

Рассмотрим теперь условное распределение ξ при условии η = у. Для этого, выполнив несложные вычисления, найдем

Это нормальное распределение с параметрами и.

Аналогично можно найти условное распределение

которое также является нормальным распределением с параметрами

и .

Решение: