- •Федеральное агентство по образованию московский государственный университет технологий и управления
- •Кафедра физики и высшей математики
- •К.В. Головко, к.В. Малакеева
- •Введение
- •1. Методические указания по работе с модулем
- •2.Комплексные числа и их характеристики
- •3. Комплексные числа в полярных координатах
- •Пример:
- •Примеры:
- •6. Извлечения корня
- •7. Формулы Эйлера
- •8.1 Функции комплексного переменного и примеры их практического применения
- •Литература
- •1. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа . Изобразить числа,ина плоскости.
- •Математика
- •Головко Кристина Витальевна Малакеева Кира Витальевна
Литература
Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2, ФМ, М., 1959г.
Г. П. Толстов, Элементы математического анализа, т. 1, ФМ, М., 1974г.
Ф. И. Маркушевич, Комплексные числа и комформные отображения , 2-ое изд., М., 1960г.
Словарь основных терминов
мнимая единица: , то есть число, квадрат которого равен -1 (i2 = -1).
число z = x + iy называется комплексным (иногда «мнимым») числом, если x и y какие- либо действительные числа.
действительной или вещественной частью комплексного числа z называют число x, а число y - его мнимой частью. Часто употребляется обозначение x = Re z, y=Im z (от слов reality и imaginaire, фр. )
модулем или абсолютной величиной комплексного числа z называется неотрицательное число r, вычисляемое по формуле .
аргументом, реже фазой комплексного числа называют угол φ (см. полярные координаты и рис. 1)и пишут φ = Arg z. При z ≠ 0 аргумент определяется по формулам cos = , sin =
Сложение комплексных чисел определяется следующим образом
z1 +z2 = (х1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
Вычитание комплексных чисел вводится как разность z1 и z2, то есть z1 – z2 = (x1 + iy1) – (x2 + iy2) = (x1 – x2) + i(y1 – y2).
Корнем ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, что. Гденатуральное число.
Умножение двух комплексных чисел проводится по правилам умножения многочленов с учётом правила возведения в степень мнимой единицы I:
где n- любое натуральное число.
При и:
= .
Задания для контрольных работ.
1. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа . Изобразить числа,ина плоскости.
1. , |
6., |
2. , |
7., |
3. , |
8. , |
4. , |
9. , |
5. , |
10. , |
2. Вычислить произведение .
|
|
1. , |
6. , |
2. , |
7., |
3. , |
8., |
4. , |
9. , |
5., |
10. , |
Ответы к тестам:
К § 1: 1. – в); 2. – а); 3. – а); К § 2: 1. – б); 2. – б); 3. – а); б); К § 3: 1. – б); 2. – а); 3. – б; 4. – а); К § 4: 1. - а) ; 2. – б); 3. - б) ; 4. - б); К § 5: 1. - б) ; 2. –а); К § 6: 1. - а) ; 2. – в)
Итоговый тест
1. У чисел имеет и
а) аргументы будут равными,
б) модули будут равными
2. Что означает запись ?
а) обозначения числа комплексного сопряжённого z,
б) указание на то, что на оси Z расположены только векторы
3. Что такое i при записи z = x + iy?
а) обозначение силы тока,
б) мнимая единица
4. Какие значения может принимать степень корня комплексного числа?
а) натуральное число, б) любое число
При возведении в степень n аргумент исходного комплексного числа
а) остается неизменным, б) увеличивается в n раз.
6. Для того, чтобы выразить cos3φ и sin3φ через cosφ и sinφ нужно:
а) воспользоваться формулой из базового курса тригонометрии,
б) воспользоваться формулой Муавра, и правилами алгебры,
7. При перемножении ирезультатом является
а) действительное число, б) место мнимое число,