Примеры:

1. Вычислить .

(берём главное значение аргумента).

.

2. Выразить ичерези.

Решение:

Воспользуемся формулой Муавра

Для нашего случая, положив z= 1, получаем

или

Приравнивая действительные и мнимые части обеих частей равенства, получим

и

Примечание: Совершенно аналогично, используя бином Ньютона для левой части равенства и пределов выкладки «в лоб», можно получить выражения для ичерезипри любом натуральном.

Задачи

1. Вычислить i²⁰⁰⁴, i¹⁹⁹⁷, i²⁵, i¹⁶

2. Перемножить Результаты записать в координатной и тригонометрической формах.

Тест

1. При перемножении ирезультатом является

а) действительное число, б) место мнимое число, в)нуль,

2. Угол φ отсчитывается.

а)по часовой стрелке, б) против часовой стрелке, в)направление отсчёта безразлично, г) направление отсчёта безразлично.

3. При возведении в степень n аргумент исходного комплексного числа а) остается неизменным, б) увеличивается в n раз, в) уменьшается в n раз.

4.Для того, чтобы выразить cos5φ и sin5φ через cosφ и sinφ нужно:

а) воспользоваться формулой из базового курса тригонометрии,

б) воспользоваться формулой Муавра, и правилами алгебры,

в)задачу можно не решать, так как она решения не имеет.

6. Извлечения корня

Введение операции извлечения корня из комплексного числа формально ничем не отличается от известного из программы средней школы вавилонского (2000 лет до нашей эры) определения. Только вместо слова «число» употребляется словосочетание «комплексное число».

Определение. Пусть натуральное число. Корнемой степени из комплексного числаназывается такое комплексное число, что.

Примечания:

1. Для извлечения корня ой степени комплексное (или вещественное) число должно быть представлено в тригонометрической форме по формулам (2).

2. В данном определении использована формула Муавра (4).

Чтобы найти неизвестные и, определяющие искомый комплексный корень, из определения имеем два уравненияи, из которых следует, что(корень арифметический) и.

Таким образом существует и имеет значения

, то есть бесчисленное множество значений, из которых толькоштук будут различными, а остальные отличатся от них на величину кратную, то есть будут совпадать с одним изпервых значений.

Стало быть, чтобы получить различных значений корня, нужно положить

Окончательно, для определения иимеем

;(5)

Пример: Найти

Представим 1 в виде комплексного числа, используя тригонометрическую форму записи (2)

Таким образом, в нашем случае и.

Воспользуемся (5): ;

Вычисляем первое значение корня, соответствующее

Второе значение должно соответствовать

Третье значение

Для геометрической интерпретации используем единичную окружность. Все три значения изображают соответствующими точками на единичной окружности. Стрелочки у этих точек не ставим, чтобы студенты не отождествляли радиус- вектор с комплексным числом. Прямые нужно нарисовать для того, чтобы студенты убедились, что по модулю все значенияравны единице.

Пример: Вычислить .

Модуль числа -8 равен , аргумент равен

Используем формулу извлечения корня:

, где .

при :

,

при :

,

при :

.

Пример: Решить уравнение .

Так как , а в тригонометрической форме, то, где, то

, при ,

, при

, при.

Задачи

1. Найдите пользуясь материалом пособия и не делая вычислений ,

Тест

1. Как располагается в плоскости Z все значения ?

а) в виде точек действительной оси на расстоянии 2π друг от друга, начиная с 1,

б) в виде 360 единичных векторов, имеющих начало в точке (0,0) и отстоящих друг от друга на 1⁰,

г) в виде 360 точек плоскости Z, равномерно расположенных по окрестности единичного круга с центром в точке (0,0), начиная с точки (1,0).

2. Какие значения может принимать степень корня?

а) натуральное число, б) любое, в) любые положительные.