Введение

Слова из эпиграфа принадлежат одному из великих математиков нашей планеты о комплексных или мнимых числах, не только расширяющих мировоззрение человека, но и лежащих в основе мощнейшего аппарата математики- ТФКП (теории функций комплексного переменного). С помощью этого раздела математики решают принципиальные задачи аэро - и гидродинамики (Н.Е.Жуковским рассчитана подъемная сила крыла самолёта), электротехники (практически любой раздел или направление), теории упругости (расчёты конструкций с отверстиями или границами произвольной формы, тонкими вырезами) и т.д.

Без знания комплексных чисел невозможно решение большинства задач квантовой механики, спектроскопии физических процессов, динамики диспергирующих сред, физики элементарных частиц, гидродинамики, волновых и колебательных процессов, многих задач теории упругости и пластичности.

Появление же собственно комплексных чисел было ответом на попытки человечества занумеровать точки плоскости и трёхмерного пространства; решить часто встречающиеся (колебания, собственные частоты) уравнения типа (чем они «хуже» элементарно решаемого? ); найти именноn корней из (почти все студенты, не знакомые с комплексными числами, утверждают, что этот корень равен 1 и других значений нет) и т.д.

Отечественные и зарубежные историки математики пришли к выводу, что комплексные числа впервые появились не позднее 1545 года в трудах итальянского врача, фамилию которого знают практически все люди - Джероламо Кардано («карданный вал», «карданов подвес», «карданная передача»- его изобретения). К сожалению, сам Кардано посчитал их «игрой разума» и «бесполезным понятием» (даже общепризнанный гений, И. Ньютон, не считал нововведение числами и почти как Г. Лейбниц относил их к чему- то «загадочному» и «мистическому»).

Первым пользу комплексных чисел оценил Рафаэль Бомбелли. В изданной в г. Болонья в 1572г «Алгебре» он с их помощью исследовал кубические уравнения, нашёл все три значения , установил простейшие правила действий над этими числами. Но и после этого, более трёхсот лет, до самого концаXIX века, комплексные числа употреблялись мало, хотя методология работы с ними совершенствовалась и развивалась. «Бум» в области использования комплексных чисел произошёл только в конце XIX – XX веке и был вызван необходимостью решения многих задач, поставленных пришедшейся на это время научно-технической революцией.

В данном учебном пособии излагаются основные сведения из теории комплексных чисел. Отобранный материал полностью соответствует программе математической подготовки студентов технологических вузов. Практика работы показывает, что этот материал усваивается подавляющим большинством студентов легко и поэтому не вызовет трудностей при его самостоятельном изучении. При предварительном изучении комплексных чисел студенты без существенных затруднений осваивают приёмы интегрирования функций, содержащих квадратные трёхчлены, а также структуру и приёмы решения «частотных» и «резонансных» обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и уравнений, описывающих различные волновые и колебательные процессы.