7. Формулы Эйлера

Показательная формула записи. Леонардо Эйлер распространил понятие степени на случай комплексного показателя. Он предложил (не получил!, не доказал!) считать, что

(6)

в случае, если какое-либо действительное число. Формула (6) носит название формулы Эйлера. Здесь показатель степени чисто мнимый.

В случае любого комплексного числа по аналогии будем иметь

(7).

Эта формула тоже не доказывается, а является отображением действия .

Такое определение позволяет распространить на случай комплексных показателей все остальные свойства показателей степени и, таким образом, подключить к операциям с комплексными числами уже созданный математический аппарат.

Действительно, если и, то

1. , 2., 3.(натуральное число).

Доказательство свойств 1., 2., 3., рекомендуем читателям выполнить в качестве упражнения.

Из (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа легко прийти к показательной форме его записи (8).

Здесь - модуль числа- аргумент.

В такой записи формула Муавра принимает вид , а формулы для нахождения корня-ой степени-,.

Если в (6) заменить на, то получим(7)

Из (6) и(7) получаем очень полезные и часто употребляемые формулы

(8), которые также называют формулами Эйлера. Обращаем внимание, что с помощью этих формул тригонометрические функции от вещественного аргумента выражаются через показательные функции от чисто мнимых аргументов.

Задачи

1. Показать, что если и, то

Тест

1. Число, записанное в координатной, тригонометрической и показательной форме

а) имеет один и тот же модуль, б) имеет разные аргументы, в) имеет один и тот же модуль, но разные аргументы

2. Справедливо ли утверждение

а) справедливо, так как cosφ- чётная функция,

б) несправедливо, так как sinφ – нечётная функция,

в) справедливо, так как cosφ – чётная функция, а sinφ – нечётная.

8.1 Функции комплексного переменного и примеры их практического применения

Говорят, что на каком-то множестве М точек плоскости задана функция , если указан закон, по которому каждой точкеz из М ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек . В первом случае функцияназываетсяоднозначной, во втором – многозначной. Множество М называется множеством определения функции , а совокупностьN всех значений , которыепринимает на М – множеством её изменения. Наиболее важную роль в приложениях играет случай, когда М иN являются областями, то есть обладают свойствами открытости и связности. Открытость – вместе с каждой точкой из множества этому множеству и достаточно малый круг с центром в этой точке. Связность – любые две точки множества можно соединить ломаной, состоящей из точек этого множества.

Если положить и, то задание функции комплексного переменногобудет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных:и.

Даже такие простейшие понятия из теории функций комплексного переменного позволяют получить результаты не менее удивительные, чем рассмотренные в §4 и §6. Вот пример из работ Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина, лежащий в основе теории профиля крыла (самолета, корабля и т.д.). За основу физической модели обтекающего потока были приняты уравнения движения плоскопараллельного течения идеальной несжимаемой жидкости. В этом случае оказывается, что воздействие потока на единицу размаха крыла приводит к математическому исследованию некоторых классов функций комплексного переменного. Если рассмотреть функцию , то как предположил Н.Е. Жуковский, функциябудет соответствовать потенциалу скоростей (вспомните основы теории поля!) плоскопараллельного течения идеальной несжимаемой жидкости, а функция- функции тока этого течения. Условиебудет определять семейство линий с одинаковым потенциалом, а- семейство линий тока.

Компоненты вектора скорости (по оси ох) и(по оси оу) какой либо частицы воздуха (жидкости или газа) определяются следующими соотношениями:

. Условия Д'Аламбера-Эйлера; (- так называемая, аналитическая функция).

Из следует, что.

Таким образом установлено, что производная от комплексного потенциала позволяет найти действительные (вещественные) компоненты вектора скорости.