Министерство образования и науки рф
НИЖЕГОРОДСКИЙ ИНСТИТУТ
ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ (филиал)
ФГБОУ ВПО «МГУТУ имени К.Г.Разумовского»
Кафедра «Технические и естественнонаучные дисциплины»
Контрольная работа по дисциплине
Математика
Направление подготовки бакалавров – 260800 Технология продукции организация общественного питания
(профили: Технология и организация ресторанного сервиса; Технология и организация централизованного производства кулинарной продукции и кондитерских изделий)
Нижний Новгород – 2011
Контрольная работа №1
Вариант 1
1. Найти произведение
матриц
,
если
,
даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Во сколько раз объем шара больше объема наибольшего цилиндра, вписанного в этот шар?
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y
= x2
, y
=
.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 2
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. В окружность
радиуса
вписан прямоугольник. Каковы должны
быть размеры прямоугольника, чтобы
площадь его была наибольшей?
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y2 = 2x + 1, x – y - 1=0.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 3
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких значениях радиуса основания и высоты цилиндра это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен v ?
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y
= x2
, y
=
.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 4
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Требуется изготовить ведро цилиндрической формы без крышки, вместимостью 8 куб.ед. Найти высоту и диаметр дна ведра, при которых на его изготовление потребуется наименьшее количество материала.
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y2 = 9x , y = x + 2.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 5
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать 500 литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала?
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
,
y
= 1, y
= 4.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 6
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
,
.
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Консервная банка цилиндрической формы с дном и крышкой должна вмещать 250 см3. Каковы должны быть размеры банки, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала.
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y =
e
,
x = 0 , x = 2
.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 7
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Кровельщику надо сделать открытый желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно и бока желоба имеют ширину 10см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = x2,
y =
x3
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 8
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Имеется 200м железной сетки, которой надо огородить с трех сторон прямоугольную площадку, примыкающую четвертой стороной к длинной каменной стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы ее площадь была наибольшей?
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 9 - x2, y = 0.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 9
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3. Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр р фигуры задан. Каковы должны быть размеры прямоугольника, для того, чтобы окно пропускало наибольшее количество света, то есть имело наибольшую площадь?
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y = 2x , x = 0 , x = 2.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Вариант 10
1. Найти произведение матриц , если , даны:
,
.
2. Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна, и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.
.
3.Даны вершины
треугольника
,
Найти:
а) уравнения всех трех его сторон;
б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;
в) внутренний угол треугольника в градусах и минутах;
г) длину высоты, проведенной из вершины ;
д) площадь треугольника.
4. Найти пределы функций:
,
.
5. Найти производные следующих функций:
,
.
6. Исследовать
функцию и построить ее график:
.
7. Требуется
построить палатку в виде правильной
четырехугольной пирамиды. Найти отношение
высоты палатки к стороне основания при
условии, что при данной площади боковой
поверхности
объем палатки будет наибольшим.
8. Найти неопределенные интегралы:
,
,
.
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
y
=
x
, x
= e-1,
x
= e
.
10. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
,
,
.
11. Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Контрольная работа №2
Вариант 1
1. На двух автоматических станках изготавливаются гайки М-16 первого класса. Известно, что производительность первого станка в 2 раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления гайки 1-го класса на первом станке равна 0,99, а на втором – 0,96. Изготовленные за смену на обоих станках гайки находятся на складе. Определить вероятность того, что наудачу взятая гайка окажется 1-го класса.
2. Вероятность изготовления детали повышенного качества равна 0.8. Найти вероятность того, что среди 400 деталей будет: а) 300 деталей повышенного качества; б) не менее 300 деталей повышенного качества.
3. В населенном пункте имеется пять рынков. Вероятность того, что на рынке продается нужный товар, равна 0,9. Составить закон распределения числа рынков, на которых имеется нужный товар. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
4. У студента есть 10 учебников, два из которых по математике. Случайным образом он взял три учебника. Какова вероятность, что среди них окажутся оба учебника по математике?
5. Размер детали, выпускаемой цехом, есть нормально распределенная случайная величина со средним значением 5 см и дисперсией 0,81 см2. Определить максимально допустимое отклонение от среднего значения, которое не будет превзойдено при контроле детали с вероятностью 0,95.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
50,0 |
56,0 |
61,0 |
65,1 |
67,0 |
70,1 |
73,1 |
75,2 |
81,0 |
86,0 |
64,3 |
73,0 |
62,2 |
66,2 |
68,1 |
71,2 |
73,1 |
76,6 |
63,2 |
67,1 |
69,0 |
72,1 |
74,1 |
77,6 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 2
1. В зрительном зале кинотеатра имеется 9 рядов, пронумерованных числами от 1 до 9, а в каждом ряду по 9 кресел, также от 1 до 9. Зритель наудачу занимает место. Что вероятнее: сумма номеров ряда и места в ряду окажется четной или нечетной? Вычислить эти вероятности.
2. Брак при обработке панелей составляет в среднем 0.5%. Определить вероятность того, что в партии из 600 панелей окажется: а) по крайней мере 3 бракованных; б) число годных панелей не менее 596.
3. В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 руб., велосипед стоимостью 50 руб. и часы ценой 40 руб. Найти закон распределения случайной величины, равной выигрышу, и математическое ожидание выигрыша для лица, имеющего один билет, если число билетов равно 100.
4. Вероятность изготовления детали с дефектом на некотором предприятии равно 0,04. Какова вероятность приема детали системой контроля, если в этой системе вероятность приема годной детали равно 0,98, а вероятность приема дефектной - 0,05?
5. Средний диаметр детали 6 см и дисперсия равна 0,0004 см2 . Определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой детали от среднего размера, которое можно гарантировать с вероятностью не менее чем 0,9973.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
62,0 |
66,0 |
67,9 |
71,0 |
74,0 |
76,4 |
84,6 |
74,2 |
78,5 |
75,0 |
69,9 |
80,0 |
62,1 |
66,1 |
68,0 |
71,1 |
73,0 |
76,5 |
84,9 |
74,3 |
78,6 |
64,2 |
74,0 |
77,5 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 3
1. На конвейер поступают однотипные изделия, изготовленные двумя рабочими. При этом первый поставляет 60%, а второй 40% общего числа изделий. Вероятность того, что изделие, изготовленное первым рабочим, окажется нестандартным, равна 0.002, вторым – 0.01. Взятое наудачу с конвейера изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что оно изготовлено: а) первым рабочим; б) вторым рабочим.
2. По каналу связи передается 1000 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0.005. Найти вероятность того, что искажено не более 3-х знаков.
3. В автобусе 4 пассажира. Считается, что каждый из пассажиров с равной вероятностью может сойти на любой из оставшихся трех остановок. Пусть Х означает число пассажиров, сошедших на первой остановке. Написать закон распределения для случайной величины Х и найти ее математическое ожидание.
4. Из урны, в которой находится 10 шаров, 3 из которых белые, извлекают два шара. Какова вероятность, что оба они окажутся белыми?
5. Какова вероятность, что средняя масса 5 наудачу взятых пакетов с расфасованным товаром будет отклоняться от нормы не более чем на 2 грамма, если средняя масса одного пакета 1 кг., а среднее отклонение 1,5 грамма. Распределение массы пакетов считать нормальным со средним значением 1кг и средним отклонением 1,5 грамма.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
59,0 |
61,7 |
65,8 |
67,7 |
70,8 |
73,8 |
76,2 |
83,1 |
84,0 |
74,5 |
65,0 |
79,6 |
60,0 |
61,8 |
65,9 |
67,8 |
70,9 |
73,9 |
76,3 |
83,4 |
84,3 |
74,6 |
68,0 |
79,8 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 4
1. На двух автоматических станках изготавливаются одинаковые валики. Вероятность изготовления валика высшего сорта на первом станке равна 0,92, на втором – 0,8. Изготовленные валики находятся на складе в случайно образовавшемся порядке. Валиков, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором. Взятый наудачу со склада валик оказался высшего сорта. Определить вероятность того, что он произведен на первом станке.
2. В лотерее из 10 билетов ценные выигрыши падают на 3 билета. Определить вероятность получения хоты бы одного ценного выигрыша, если куплено 4 билета.
3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.7. Найти вероятность того, что при 400 выстрелах будет: а) ровно 290 попаданий; б) не менее 290 попаданий.
4. В корзине находится
5 белых и 4 красных шара. Наудачу вынимают
5 шаров. С.в.
число
красных шаров среди вынутых. Составить
ряд распределения с.в., найти ее числовые
характеристики.
5. Средний диаметр детали 2 см, а дисперсия равна 0,0009 см2 . Определить процент деталей, средний размер которых находится в пределах от 1,97 см до 2,01 см.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
55,0 |
58,0 |
61,5 |
65,6 |
67,5 |
70,6 |
73,6 |
76,0 |
82,5 |
70,0 |
64,8 |
79,2 |
59,0 |
61,6 |
65,7 |
67,6 |
70,7 |
73,7 |
76,1 |
82,8 |
83,7 |
74,4 |
64,9 |
79,4 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 5
1. Два игрока подбрасывают монету – первый 3 раза, а второй – 2 раза. Определить вероятность того, что число орлов у первого игрока больше, чем у второго.
2. Вероятность
рождения мальчика равна
.
Рассматривая данную ситуацию как
независимые испытания с одинаковыми
вероятностями, вычислить вероятности
следующих событий:
А) среди 100 новорожденных ровно 50 мальчиков;
В) среди 100
новорожденных будет больше мальчиков,
чем девочек, т.е. число мальчиков
51.
3. В урне находятся
карточки с номерами 1, 2, 3, 4, 5, внешне
неразличимые. Производится выбор без
возвращения до появления номера 5. Пусть
число выбранных карточек. Найти
распределение случайной величины
,
ее математическое ожидание, дисперсию
и среднее квадратическое отклонение.
4. В страховой компании застраховано 40%, 50% и 10% страхователей трех групп. Вероятности наступления страхового случая у страхователей этих групп соответственно равны 0.3; 0.1 и 0.2.У страхователя наступил страховой случай. К какой из групп он вероятнее всего относится?
5. Размер детали, выпускаемой цехом, есть нормально распределенная случайная величина со средним значением 0,55 см и дисперсией 0,01 см2. Определить максимально допустимое отклонение от среднего значения, которое не будет превзойдено при контроле детали с вероятностью 0,92.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
53,0 |
57,0 |
61,3 |
65,4 |
67,3 |
70,4 |
73,4 |
75,6 |
81,9 |
89,0 |
64,6 |
78,9 |
54,0 |
57,0 |
61,4 |
65,5 |
67,4 |
70,5 |
73,5 |
75,8 |
82,2 |
90,0 |
64,7 |
79,0 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 6
1. Технологический процесс был расстроен и в силу этого в среднем 20% продукции были бракованными. Каждая деталь из этой продукции поступала на контроль, который был несовершенным: если деталь была хорошей, то контроль пропускал ее в продажу с вероятностью 0,9, если же деталь была бракованной, то на контроле ее браковали с вероятностью 0,75. Покупатель наугад выбирает одну деталь из большой партии проконтролированной продукции. Какова вероятность того, что покупка окажется с дефектом?
2. Аппаратура содержит 2000 одинаковых элементов. Вероятность безотказной работы каждого из них равна 0.998. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?
3. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго - 0,8, для третьего - 0,75 и для четвертого - 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
4. Из 500 лотерейных билетов 5 выигрышных. Участник лотереи покупает 2 билета. Какова вероятность, что хотя бы один из них окажется выигрышным?
5. Средний диаметр детали 1 см, а среднее отклонение равно 0,01см. Определить процент деталей, средний размер которых находится в пределах от 0,97 см до 1,01 см.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
52,0 |
57,0 |
61,2 |
65,3 |
67,2 |
70,3 |
73,3 |
75,4 |
81,6 |
88,0 |
64,5 |
78,8 |
53,0 |
57,0 |
61,3 |
65,4 |
67,3 |
70,4 |
73,4 |
75,6 |
81,9 |
89,0 |
64,6 |
78,9 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 7
1. В трех урнах имеются белые и черные шары. В первой урне 3 белых и 1 черный шар, во второй – 6 белых и 4 черных., в третьей – 9 белых и 1 черный шар. Из наугад выбранной урны случайным образом выбирается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
2. Вероятность изготовления бракованного изделия равна 0.02. Из большой партии отбирается 100 штук и проверяется их качество. Если среди них окажется не менее 3-х бракованных, то вся партия возвращается на сплошную разбраковку. Определите вероятность того, что партия будет возвращена.
3. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. Составить таблицу распределения числа бракованных изделий из 6 взятых наудачу изделий. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
4. Из урны, в которой находятся 5 белых и 4 черных шара вынимают три шара. Какова вероятность, что шары будут одного цвета?
5. Какова вероятность, что средняя масса 2 наудачу взятых пакетов с расфасованным товаром будет отклоняться от нормы не более чем на 25 граммов, если средняя масса одного пакета 1 кг., а среднее отклонение 15 граммов. Распределение массы пакетов считать нормальным со средним значением 1кг и средним отклонением 15 граммов.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
62,6 |
66,6 |
68,5 |
71,6 |
73,5 |
77,0 |
63,6 |
67,5 |
69,4 |
72,5 |
74,5 |
78,0 |
62,7 |
66,7 |
68,6 |
71,7 |
73,6 |
77,1 |
63,7 |
67,6 |
69,5 |
72,6 |
74,6 |
78,1 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 8
1. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
2. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0.01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят не менее чем 4 абонента?
3. Изделия некоторого производства содержит 5% брака. Взято 5 изделий. Построить ряд распределения числа бракованных среди этих 5 изделий. Найти среднее число бракованных изделий и среднее квадратичные отклонение этой случайной величины.
4. Игральный кубик подбрасывают два раза. Какова вероятность, что сумма выпавших очков окажется равной шести?
5. Средний диаметр детали 8 см, а дисперсия равна 0,0004 см2 . Определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой детали от среднего размера, которое можно гарантировать с вероятностью не менее чем 0,99.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
62,8 |
66,8 |
68,7 |
71,8 |
73,7 |
77,2 |
63,8 |
67,7 |
69,6 |
72,7 |
74,7 |
78,2 |
62,9 |
66,9 |
68,8 |
71,9 |
73,8 |
77,3 |
64,0 |
67,8 |
69,7 |
72,8 |
74,8 |
78,3 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 9
1. В первой урне находится 6 белых и 4 черных шара, во второй – 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекается сразу 3 шара, и шары того цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
2. Известно, что вероятность рождения мальчика равна 0.512. Какова вероятность того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет не больше, чем девочек, т.е. мальчиков будет не больше 5000?
3. В городе 10 банков. Некто имеет 3 вклада в трех банках. Два банка обанкротились. Составить закон распределения числа его вкладов в обанкротившихся банках. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
4. В партии из 100 деталей содержится 5 бракованных. Для контроля качества проверяют три детали. Какова вероятность, что хотя бы одна из них окажется бракованной?
5. Распределение массы упаковки с товаром для данного производства считается нормальным со средним значением 0,5кг и средним отклонением 15 граммов. Какова вероятность, что средняя масса наудачу выбранной упаковки будет отклоняться от нормы не более чем на 10 граммов?
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
63,0 |
67,0 |
68,9 |
72,0 |
73,9 |
77,4 |
64,1 |
67,9 |
69,8 |
72,9 |
74,9 |
78,4 |
50,0 |
56,0 |
61,0 |
65,1 |
67,0 |
70,1 |
73,1 |
75,2 |
81,0 |
86,0 |
64,3 |
73,0 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Вариант 10
1. Бросаются две симметричные игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше 6.
2. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й урнах – по 1 белому 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что выбрана 4-я или 5-я урна, если известно, что извлеченный шар оказался белым?
3. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0.001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий более чем одно не выдержит испытание.
4. Вероятность того, что партия товара будет продана на оптовом рынке, равна 0,8. Составить закон распределения числа проданных из четырех партий товара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
5. Средний диаметр детали 3,5 см, а дисперсия равна 0,0001 см2. Определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой детали от среднего размера, которое можно гарантировать с вероятностью не менее чем 0,9973.
6. Дана выборка значений, полученных при наблюдении за нормально распределенной случайной величины Х, объема n = 24.
51,0 |
56,5 |
61,1 |
65,2 |
67,1 |
70,2 |
73,2 |
75,3 |
81,3 |
87,0 |
64,4 |
78,7 |
52,0 |
57,0 |
61,2 |
65,3 |
67,2 |
70,3 |
73,3 |
75,4 |
81,6 |
88,0 |
64,5 |
78,8 |
Построить полигон частот, гистограмму, эмпирическую функцию распределения. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины. Задаваясь доверительной вероятностью γ = 0,99, найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.