- •Федеральное агентство по образованию московский государственный университет технологий и управления
- •Кафедра физики и высшей математики
- •К.В. Головко, к.В. Малакеева
- •Введение
- •1. Методические указания по работе с модулем
- •2.Комплексные числа и их характеристики
- •3. Комплексные числа в полярных координатах
- •Пример:
- •Примеры:
- •6. Извлечения корня
- •7. Формулы Эйлера
- •8.1 Функции комплексного переменного и примеры их практического применения
- •Литература
- •1. Найти алгебраическую и тригонометрическую формы числа . Изобразить числа,ина плоскости.
- •Математика
- •Головко Кристина Витальевна Малакеева Кира Витальевна
1. Методические указания по работе с модулем
Приступая к освоению данного модуля, Вы должны помнить, что только самостоятельная работа с модулем позволит Вам приобрести необходимые умения и навыки. Для того, чтобы быстрее и качественнее освоить модуль, в конце пособия приведен словарь основных понятий модуля, предложен опорный конспект, вопросы для самоконтроля, типовые примеры и задачи с решениями, а также тесты с ответами и итоговый тест, который оцениваете Вы сами.
Для более полного понимания материала познакомьтесь со словарем основных понятий модуля. Затем прочитайте внимательно опорный конспект, обратив внимание на выделенные основные понятия и примечания. Разберите решение приведенных примеров и задач. Чтобы закрепить усвоенный материал, попробуйте ответить на вопросы, предложенные Вам для самопроверки, решить задачи и ответить на тесты. Если Вы испытываете затруднения при ответе, то можете ознакомиться с ответами на тесты, приведенными в конце пособия. Знакомство с ответами позволит Вам проверить правильность Ваших ответов. Ответы на вопросы для самопроверки можно найти в тексте каждого раздела. В составе модуля предусмотрена контрольная работа, которая может быть проведена как в условиях кафедры в период лабораторно-экзаменационной сессии, так и по месту Вашего проживания. Без выполнения контрольной работы модуль не оценивается. Контрольную работу и результаты итогового теста оценивает преподаватель.
2.Комплексные числа и их характеристики
Введем в рассмотрение мнимую единицу , то есть число, квадрат которого равен -1 (i2 = -1). Пусть x и y какие- либо действительные числа. Тогда число z = x + iy называется комплексным (иногда «мнимым») числом.
Число x обычно называют действительной или вещественной частью комплексного числа z, а y - его мнимой частью. Часто употребляется обозначение x = Re z, y=Im z (от слов reality и imaginaire, фр. )
Если х = 0, то число z называют чисто мнимым. Если х = у =0 одновременно, то мы имеем дело с комплексным числом 0.
Из сказанного следует, что комплексное число можно изобразить точкой на плоскости (рис.1). Возьмём для этого прямоугольную систему координатных осей (хОу). Вещественные числаz = х + оi изображаются точками на оси x, числа z=o+iy точками на оси у. Эти оси и называют, соответственно, вещественной (или действительной) и мнимой. Тогда любой точке плоскости М (х, у), координатами которой являются действительная и мнимая части комплексного числа х + iy,может быть поставлено в соответствие это число. И наоборот: каждому комплексному числу соответствует лишь одна точка этой плоскости. Из- за наличия взаимно однозначного соответствия между точками этой плоскости и комплексными числами, рассматривается плоскость называется комплексной плоскостью или плоскостью комплексного переменного z и обозначается обычно.
Комплексные числаz1 = x1 + iy, и z2 = x2 + iy2 считаются равными, т.е. z1 = z2, тогда и только тогда, когда х1 = х2 и у1 = у2. Такое определение равенства чисел является естественным и по причине введения комплексной плоскости. По этой же причине ясно, что понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не
определяются1. Довольно часто, особенно в электротехнике, а также при изучении различных колебательных и волновых процессов комплексным числам ставятся в соответствие вектора с началом в точке (0;0) и концом в точке М (х;у) – (На рис. 1 стрелочка у М на прямой ОМ не поставлена специально!). Аналогия комплексных чисел с векторами является совсем не полной: определены сложение и вычитание, но не определены аналоги скалярного, векторного и смешанного произведений.
Вопросы
1.На какой оси комплексной плоскости будут располагаться
а) действительные числа?
б) чисто мнимые числа?
2. Изобразите на комплексное число 0.
Тест
1. Что такоеi при записи z = x + iy?
а) обозначение силы тока, действующей в любой точке .
б) обозначение момента инерции относительно начала координат ?
в) i =
г) 3,1416….
2. Что обозначает значок ?
а) комплексную плоскость,
б) указание на то, что рассматривается трёхмерное пространство,
в) указание на то, что интегрирование проводится по замкнутому контуру,
г) вычисляется работа, совершаемая в цикле Карно.
3. Что означает запись ?
а) обозначения числа комплексного сопряжённого z,
б) указание на то, что на оси Z расположены только векторы,
в) рассматривается точка симметричная z относительно начала координат.