Билет №29

Переход к новому базису

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый и новый Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода:

причем, коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица — неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е.:

Подставив значения из системы в левую часть этого равенства, получим после преобразований:

т.е. в матричной форме: или

Билет №30

Пусть Xn , Ym — линейные пространства и ^

A

: Xn → Ym — линейный оператор.

Пусть e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn и f1, f2, … , fm — некоторый базис в Ym . Тогда "x О Xn можно представить в виде:

x = α1e1 + α2e2 + … + αnen

и его образ y = ^

A

x О Ym можно представить в виде:

y = β1f1 + β2f2 + … + βmem .

Поставим задачу: выразить координаты образа произвольного вектора через координаты этого вектора (т.е. координаты образа через координаты прообраза: β через α ).

Используем угловые скобки для обозначения координат.

Из свойств линейности угловых скобок по второму аргументу и линейности оператора ^

A следует:

Βi^= бfi, yс = бfi, A^xс = бfi, A^(α1e1 + α2e2 + … + αnen)с =

=бfi, α1 A^e1 + α2 A^e2 + … + αn A^enс =

= α1 бfi A^e1с + α2 бfi, A^e2с + … αn бfi, A^enс.

Так как в последнем выражении в угловых скобках стоят числа, обозначим их

aik = бfi, A^ ekс, (i = 1, … , m, k = 1, … , n).

Очевидно, что aik — i –ая координата образа k –ого базисного вектора.

Окончательно получаем искомое выражение координат образа через координаты прообраза

n

βi = ∑ Aik*Ak i = 1, … , m.

k=1

Итак, действие линейного оператора A ^

: Xn → Ym определяется набором из m × n чисел, которые удобно располагать в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m

строк и n столбцов.

Теперь дадим определение матрицы линейного оператора:

Матрицей линейного оператора ^

A

: Xn → Ym в базисах e1, e2, … , en и f1, f2, … , fm называется матрица размера m × n , у которой

1. столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства Xn A^e1, A^e2,…,A^en

2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора.

Матрицы мы будем обозначать теми же буквами, что и операторы (только без крышки):

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

A = (aik) = … … … …

… … … …

am1 am2 … amn

Билет №31

Билет №32

Пусть А – линейный оператор. Будем говорить, что А имеет обратный, если для каждого существует точно одно , такое что . При этом под обратным понимается оператор с областью определения и множество значений D(A), заданный соотношением , где

Вопрос существования обратного оператора – это вопрос об условиях разрешимости операторного уравнения

Билет №33

Пусть линейный оператор A^ Xn → Xn осуществляет взаимно однозначное отображение. Следовательно, существует обратный оператор A^ − 1

Пусть A — матрица оператора A^ в некотором базисе. Очевидно, что A — квадратная матрица порядка n и det A ≠ 0 , так как Rg A^ = n . Следовательно, матрица A имеет обратную A^-1

Теорема 1. Матрица оператора A^-1 , обратного оператору A^ , есть обратная матрица A^-1

Билет №34

Пусть L — линейное пространство над полем K, — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение

Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех собственных векторов соответствующих

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор что для некоторого натурального числа m

Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то m называется высотой корневого вектора x.

Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов соответствующих данному

Где

Билет №35

Билет №36

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;

2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;

3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче.

В прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b, (1)

где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.

Уравнением (1) может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ox.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом разрешено относительно текущей координаты y.

2. Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0. (2)

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или

Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.

в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или

уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.

Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

Это уравнение оси Ox.

д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy.